虎父無犬子——紀念數學家昂利·嘉當逝世十周年

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提到「虎父無犬子」這句話，大家可能會想到三國的孫堅孫策孫權父子、運動員中的馬爾蒂尼父子、文學界的大仲馬小仲馬父子等。而提到法國的數學家，大家可能會想到費馬，帕斯卡，勒讓德，拉格朗日，拉普拉斯，蒙日，傅立葉，柯西，伽羅華，龐加萊等。今天我們就來介紹兩位法國數學家——嘉當父子。

老嘉當叫埃利·約瑟夫·嘉當，他生於1869年法境阿爾卑斯山的一個小村莊里，他的父親是一個鐵匠。由於幼年時的天才表現，得到當時政治家賞識，並被保薦獲得國家助學金，從而得以完成初等教育。1888年嘉當進入法國高等師範學校，畢業後先後在法國多所大學任教。在1894年取得博士學位後，他在蒙比利埃和里昂任教，並於1903年在南錫當上教授。他在1909年到巴黎任教，1912年成為巴黎大學教授直至1942年退休。1931年當選為法國科學院院士。

在數學研究中，他的主體工作就是研究李群和微分幾何，從簡單李代數的基礎材料上的工作開始，把恩格爾（Christian Engel）和基靈（Wilhelm Killing）先前的工作整理起來。這被證明是有決定性意義的，至少對於分類來講，他鑒定出4個主要的族和5個特殊情況。他還引入了代數群的概念，這在1950年之前並沒有被認真地發展過。

埃利·嘉當

那麼什麼是群？學過高中數學的讀者都知道集合的概念吧。群也是一種集合，而如果我們再給這個集合附加一些條件和運算就得到了群。因此，群說白了就是一種代數結構。

從某種意義上講，群是為了描述對稱性和變換而生。群是個集合，而且是個定義了某種運算的集合，這個運算被稱作群乘法，當然這只是個叫法，具體的運算還得你自己定義，而這個群乘法滿足下面四條，我們用整數集空心Z 來說明：

首先，選定整數加法為群乘法。

1、群乘法滿足封閉性，就是不管你咋算，群里倆元素算來算去，結果還得在群裡面。顯然，整數怎麼加都還是整數

2、群乘法滿足結合律，顯然，加法自動滿足這個。

3、存在恆元，或者叫單位元，也就是不管誰跟它做群乘法，還是原樣。顯然，誰加零都還是他自己。

4、存在逆元，就是群中每個元素，都能找到唯一的另一個元素，跟它做群乘法之後得恆元。顯然，在這裡逆元就是它相反數。

那麼這四條是怎麼定義出來的呢？

群是描述對稱的，首先，不管怎麼說，你讓某個東西保持不變，也是一種變換。這個變換大名叫恆等變換。那麼，恆等變換，就對應著恆元。

其次，無論怎樣變換，比如你先轉個30度，再轉個60度，我都可以直接拿另一個變換代替，這就是封閉性。

再次，某個變換，一正一反，一定得回到原來的模樣，這就是逆元。

最後，你先轉30後轉60和先轉45後轉45，效果一致，這就是結合律。當然這一條只是一個不太嚴謹而且不能直接類比到其他地方的例子，但是這對於大家領會群的概念是非常有用的。

那麼李群是什麼呢？李群是挪威數學家李提出的，大家可以粗略地認為無限個群元素的群就是李群。而李代數則是和李群相關的但是由可以獨立存在的一種代數結構。

昂利·嘉當

嘉當對微分幾何學的貢獻是巨大的，在眾多深刻的結果中特別引人注目的是他關於活動標架法，纖維叢的聯絡論以及對稱空間的研究。在許多先驅者們前赴後繼之後，他便是是活動標架法的集大成者。另外，嘉當還是纖維叢聯絡論的開創人（什麼是纖維叢，纖維叢就是你在空間的每一個點都放一個坐標系），在黎曼幾何方面最重要的工作無疑是黎曼對稱空間的理論，這一理論的發現、發展和完善皆歸功於嘉當一個人。老嘉當在數學界有著崇高的地位，楊振寧先生曾用「千古寸心事，歐高黎嘉陳」這樣的詩句，把歐拉、高斯、黎曼、嘉當和陳省身五位幾何宗師並稱。

微分幾何在廣義相對論中有著很廣泛的應用，一言以蔽之，如果一個人同時懂微分幾何和廣義相對論，那麼他將會領略到這門學科的美麗。

與父親相比，小嘉當——昂利·嘉當的名氣相對要小一些，但是也不可否認他也是一位非常優秀的數學家。他曾經先後任教於斯特拉斯堡大學（所以他對於數學非常熟練）和巴黎高等師範學院，為代數幾何的研究做出了傑出的貢獻。說來有趣，代數幾何這個名詞看起來很簡單，比前文提到的微分幾何要更加「接地氣」，畢竟在中學時期我們都接觸過代數和幾何。但是這兩個詞聯繫起來之後卻是一個非常深奧的理論。李政道先生曾說，如果有朝一日代數幾何被應用到理論物理研究中，那麼我一周就把它學會。可見，代數幾何是一個大有可為的學科。

2008年8月13日，昂利·嘉當逝世，距今已經整整十年了。他的離開也為這段故事數學界的父子傳奇畫上了句號。

小貼士

為什麼同樣是法國人，踢足球的Henry翻譯成亨利，而Henri卻叫昂利？這是因為，法語中的H不發音。但是亨利多年在英超踢球，早期的翻譯一直是用英文讀音翻譯，後來就將錯就錯了。事實上，法國人名翻譯非常複雜，因為法國作為一個民族大熔爐，想要正確翻譯一個人名，非得查一查他出生地和祖上不可。

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作者：沈智王紀堯

配圖：王紀堯

校對：葉君耀

排版：王紀堯

責任編輯：解仁江

牧夫新媒體編輯部

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