一課研究——如何培養學生「有序、有據地思考數學問題」的能力
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向你介紹我是誰
大家好！我是「一課研究」第15組的學員占曉媛，來自嘉興南湖國際實驗學校，很高興與您在一課研究的微信中相遇！
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本期內容有哪些
１.聽一聽：「比、比例」的教學建議
２.讀一讀：如何培養學生「有序、有據地思考數學問題」的能力
３.數學奇才
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輕輕鬆鬆聽聽書
此內容節選自數學特級教師吳正憲的《小學數學教學基本概念解讀》一書
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堅持閱讀８分鐘
如何培養學生「有序、有據地思考數學問題」的能力
——從「正比例」教學中一個問題的討論談起
教材內容
北師大版六年級下冊第41頁「正比例」。
課前思考
正比例是刻畫變數之間互相關係的重要模型，正比例的學習使學生從常量的世界進入變數的世界，從對「數量」的理解轉向對「關係」探討，開始接觸一種新的思維方式。教過「正比例」的教師都會有這樣一個感覺：上課講講，學生好像都懂，做出作業卻錯的不可思議！特別是一些判斷兩個量是否成比例的題。為什麼會有這樣的情況呢？難道只是學生口中所說的「沒有看清楚嗎？」如何引導學生學會思考解決這樣的問題呢？
我們認為，引導學生用正比例的意義判斷兩個量是否成正比例，關鍵是要讓學生明白怎樣思考這樣的問題，培養學生學會有序、有據地思考數學問題的能力。如，在「正比例」的教學中，按照教材編排，學生在第一課時討論了「正方形面積與邊長，正方形周長與邊長，路程、速度與時間」的關係，初步理解了什麼是正比例。在第二課時，組織學生討論：「圓的面積與半徑成正比例嗎？你是怎麼想的？」如何引導學生「有序、有據地思考數學問題」，在思考討論中發展學生的思維能力，是我們在教學中應重點思考的問題。
課堂寫真
呈現問題：圓的面積與半徑成正比例嗎？你是怎麼想的？
在出示上題後，就開始有學生舉手了。
師：你能把自己的想法寫下來嗎？
學生進行獨立思考、嘗試寫出自己的想法，教師巡視，在大部分學生有了想法後，教師開始組織反饋。
生1：我認為是成正比例關係。
此時馬上有同學舉手表示不贊同，我沒有立即否定生1，而是示意其他人安靜，聽他講完理由。
生1:因為半徑越大，面積就越大。
師：哦，看起來是這樣，面積隨著半徑的擴大而擴大。
生（馬上反駁）：但是它們的比值是不一定的，所以他們不成正比例關係。
生（在底下輕聲說）：比值其實也是確定的。
師：哦？能把你的思考過程分享給大家嗎？（學生講解）有一點我們可以肯定，面積和半徑是一組相關聯的量。我們一起來看一下剛才這位同學的思考過程。
投影展示：
師：同意嗎？（大部分不同意）和他想法一樣的請舉手。
生：我是用舉例子的方法說明的。
投影展示：
生：不對不對，比值都不一樣怎麼成正比例關係呢？
此時其他學生開始議論，一個是6.28，一個是12.56，怎麼會一樣呢？
師：πr是一個確定值嗎？
生：不是，r在變化，那麼πr的值也在變化。
師：對啊，實際上你已經說明了他們之間的比值是在變化的，並不是一個確定的值。那我們再看剛才這位同學寫的：「成正比例，因為π一定，面積÷半徑=2π（一定）」，2π是不是一個確定的值？
生：是的。
生：可是圓的面積除以半徑不等於2π，而是等於πr。
師：你們現在都同意「圓的面積和半徑之間不存在正比例關係」嗎？誰能說明理由？
一個學生投影展示：
師：你們能看懂他的意思嗎？
生：他的意思是當半徑為1的時候，面積是3.14,；當半徑為2的時候，面積是12.56；當半徑為3的時候面積是28.26……他們的比值是不同的，所以圓的面積和半徑不成正比例關係。
生：（邊說邊進行展示，見下圖）我和他的想法是一樣的。
師：你們發現了沒有，要說明兩個量是否成正比例，我們都需要看什麼？
生：看兩個量得比值是否一定。
師：是的，我們知道判斷是否成正比例，除兩個量是一組相關聯的量外，還必須滿足相對應的數的比值是一定的。圓的面積=πr2 ，半徑=r，所以面積除以半徑的比值是「πr」，它不是一個確定的值。還有，同學們剛才採用舉例的方法，也是說明問題的好方法。
接下來，同桌兩人結合剛才的討論交流，根據各自寫的理由進行討論。教師對個別學生進行指導。
課後思考
如何引導學生「有序、有據地思考數學問題」?從上述案例中,我們可以得到以下啟示:
1.設計有挑戰性的學習任務,引領學生進行數學思考
教師要結合具體的學習內容設計具有一定挑戰性的學習任務,以問題或學習任務引領學生進行數學思考。如上述案例中,在學生結合具體情境初步理解「正比例」後,讓學生思考討論「圓的面積和半徑成正比例嗎」的問題,能有效激發學生運用正比例知識進行思考,是培養學生有序、有據地思考問題的有效途徑。
2.引導學生獨立思考,並用舉例、列表、畫圖、文字描述等方式表達自己的想法。
上述案例片段中,在呈現問題後,教師注重讓學生獨立思考問題,引導學生「有序、有據地思考問題」,並嘗試讓學生把自己的想法寫下來,而且鼓勵學生用多種方式表達自己的思考。從學生的作品看,學生的思考是豐富多彩的,學生的表達方式也是多種多樣的。
3.收集典型作品,組織學生展開充分的分享、交流和討論。
在組織反饋時,教師要注意收集典型作品,組織學生交流和討論。如上述案例中,教師從一個「錯例」切入,引導學生進行分析,交流自己的思考過程,並逐步將一些正確的思考問題的方法呈現出來,最後讓學生逐步明確,要判斷兩個量是否成正比例,關鍵是要從正比例的意義出發,先看兩個量是否關聯及其變化的關係,再看兩個量的比值是否一定。同時,在討論中讓學生明白,當一個問題想不清楚時,通過舉例幫助思考也是一種非常好的方法,從而逐步學會有序、有據地思考問題。
值得進一步探討的是,在上述案例中,從教師課後整理的學生作品看,學生在自己獨立思考問題、嘗試說明時,出現了許多好的思路,根據意義判斷、假設數據計算說明、列表說明等,課堂上如何將這些學生想問題的思路充分呈現出來與大家交流分享,是教學中需要進一步研究和思考的問題。
（註：此文已發表）
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數學奇才
數學課上，小明趴在桌子上睡覺，數學老師沒有發覺，還在滔滔不絕地講課。下課了，小明醒來，問同桌的數學課代表：我睡了多久了？數學課代表說：你已經睡了一節課，大概2400秒，40分鐘，三分之二小時，三十六分之一天，一千零八十分之一個月，一萬二千九百六十分之一年，一百二十九萬六千分之一世紀了吧！
你若盛開 蝴蝶自來
本期審核人：魯孟軍 彭含雙
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