他把公式寫在了雲上

在數學中，最優輸運理論（optimal transport theory）是一個極其活躍的研究領域，吸引了一些數學領域裡最頂尖的頭腦，Alessio Figalli則作為其中主要的領導者與創新者脫穎而出。他的作品包括大約150篇著作，就算對一個已到退休年齡的數學家來說，這都是非常顯著的成就，而他竟在34歲就創造了如此豐碩的成果，這簡直令人吃驚。比他的著作數量更重要的是它們的廣度和深度，這一切都顯示出他廣泛的好奇心、傑出的洞察力和極高的技術能力。

Alessio Figalli在英國杜倫大學（Durham University）數學系圖書館。他的妻子Mikaela Iacobelli是杜倫大學數學系的教授，他自己則是瑞士蘇黎世聯邦理工學院（ETH）的數學教授。| 圖片來源：Tom Parker /QuantaMagazine

要在很短的篇幅內對Figalli的成就做一個全面的概述是不可能的。因此，在這裡我們首先要簡要地介紹最優輸運的概念，然後描述三個用以說明Figalli的工作範圍和精湛技藝的問題。

五歲的Alessio Figalli在羅馬的幼兒園。他說：「我總是試圖平衡如何取得好成績，與要花多少時間來取得這樣的成績。我一直在做最優化，想要通過最少的努力來取得最好的結果。」 | 圖片來源：Alessio Figalli

最優輸運理論

假如書架上放著n本書，那麼將這套書整體向右移動一個位置的最佳方法是，將第n本書向右移動一個位置，然後將第（n-1）本書向右移動一個位置…… 依此類推，最後將第1本書向右移動一個位置。這個方法的「成本（cost）」是n步。還有另外一種最優解法的「成本」也是n步，那就是直接將第1本書向右移動n個位置。這兩種方法都是最優輸運映射。

大約250年前，法國數學家蒙日（Gaspard Monge，1746-1818，微分幾何之父）在其作品中第一次對這類問題進行了嚴格分析，他分析了如何將建築材料從來源地運輸到建築地點，能使成本最低。從抽象的幾何學的角度來看這個問題，蒙日得出的結論是，最優輸運映射是使建築材料行經路程最短的那個。

蒙日在為拿破崙修建防禦工事的過程中，尋找運輸建築材料的最有效方法。| 圖片來源：QuantaMagazine

最優輸運問題非常直觀，然而它背後蘊藏的數學複雜性不容小覷。其複雜性來源於將材料從一個位置移動到另一個位置，或者更複雜的情況下，將多個物品從多個初始位置移動到多個目標位置的多種可能性。

例如，如果不局限於用一個個小推車來運輸建築材料，那麼或許可以將一個小推車中的建築材料分送到多個目標位置，比如說用鏟子來分割。為了找到最優方法，運輸材料可以被分割為無限小的分量，然後確定這一份運到這裡，那一份運到那裡。這樣就會有無限多的自由度，只有用數學分析才能研究無限小或無限大尺度上的變化。

此後約150年間，蒙日的工作一直無人繼續發展，部分原因是缺乏必要的數學工具。到了二十世紀四十年代，經濟學家和數學家康托羅維奇（Leonid Kantorovich，1912-1986）應用測度論和泛函分析這些現代數學工具，讓這個主題重現生機。他擴寬了這個問題的設置，使之包含更複雜的情形，例如幾家麵包店為幾家不同的咖啡店供應物品。在這種情況下，最優輸運映射將麵包店與咖啡店匹配，使得運輸烘焙食品的總成本最低。1975年，康托羅維奇因為他的工作獲得了諾貝爾經濟學獎。

等周問題

在二十世紀八十年代，數學家在最優輸運領域取得了一些重要的理論進展，爆炸式地引發了在城市規劃、工程設計、流體力學、圖像處理、形狀識別和生物學等領域的新應用。這些進展也刺激了最優輸運在數學領域內的應用，尤其是在黎曼幾何和偏微分方程方面。Figalli及其合作者Francesco Maggi與Aldo Pratelli研究的等周問題（isoperimetric problem），就是它在偏微分方程方面的一個典型例子。

經典的等周問題可以闡述為：對於確定數量的圍欄，什麼形狀所包圍的土地面積最大？可以證明，最佳形狀是一個圓，要用圍欄包圍一塊固定的面積，圓形能使圍欄的長度最小化。

古希臘傳說中關於迦太基的建立有這樣一個故事。Dido女王來到北非，向當地的國王請求一塊土地來建造城市。國王答應給她一塊牛皮能夠包圍大小的土地，於是女王將牛皮裁切成條狀，連接起來，在靠近海岸的地方圍成一個圓形，因為圓形能夠以最短的周長，包圍最大的面積。這就是迦太基城，而這個故事說的就是等周問題。| 圖片來源：IMU

肥皂泡為等周問題提供了另一個絕佳例子：在包圍固定體積的空氣的情況下，肥皂泡使得一種特定類型的能量——肥皂薄膜的表面張力最小化。

肥皂泡在空氣中近似為球形，因為球形是最穩定的形狀，在包圍固定體積空氣的情況下，球形的表面積最小，因而需要最小的能量來保持形狀。| 圖片來源：IMU

當物理學家說一個肥皂泡穩定時，意思是指如果輕微地碰一下肥皂泡，它只會輕微地晃動，一個輕微的碰觸不會導致形狀發生極大的改變。而數學家則會用公式和不等式來描述當肥皂泡被輕微碰觸時，到底會發生什麼。他們會證明，數學表徵具有一定程度的穩定性，與我們在自然界中觀察到的相符合。

晶體和肥皂泡類似，它們也採用了能量最小化的形狀，儘管這是一種由晶體的原子結構決定的、截然不同的形狀。雖然肥皂泡和晶體的特性在一個世紀前就被理解了，然而，這些特性被極端理想化了，並且沒有考慮其他可能的作用力。例如，如果從外部對一個晶體施加某種能量，比如說熱能，那麼這個晶體會如何形變？變化後的形狀會與之前的形狀相似，還是截然不同？數學家想要精確的量化這種穩定性。

這個問題被Figalli及合作者當作一個最優輸運問題解決了。當施加的能量大小為E時，理想的晶體形狀被「輸運」到一個新的形狀。以晶體轉變為新形狀時必須移動的點陣的距離的平方作為損失函數，也就是這個過程的成本。Figalli等人得到了令人驚訝的簡單結果：當系統確立解的穩定性時，平均來說，每個點移動的量與深層的理論結果相等，這意味著，如果增加的能量保持適度，那麼形狀的變化也將是如此。

（左）加熱晶體，它會發生緩慢地發生形變，從最低能量態轉變為較高的能量態。（右）這個過程從最優輸運的角度來看，就是找到最優的方法將晶體從初始的穩定態移動到略微擴大的、變形的狀態，也就是找到前後兩種晶體形狀之間的最優輸運映射。Figalli等人證明，如果晶體系統的能量增加一定量，那麼，晶體最終形狀與初始形狀的差異不會超過一個特定值。他們還證明，這個值是增加的能量引發晶體形變程度的嚴格上限。| 圖片來源：QuantaMagazine

從「蒙日-安培方程」到「半地轉方程」

與Figalli的工作有關的第二個例子是他與幾個合作者共同完成的，這個工作同樣產生了深刻的理論成果，而且有些成功可以立即應用於推進對半地轉方程的理解。二十世紀九十年代，氣象學家首先提出了半地轉方程，用它們來模擬大氣和海洋中的大規模的動力學。氣象學家藉此表達對大規模流動現象的物理學理解，並涉及了諸如速度、壓強、地轉風等物理量。

雖然半地轉方程似乎直觀地提供了大氣和海洋現象的正確描述，但要獲得方程的可靠解卻很困難。在這種情況下，方程可能不存在解，或者存在很多解，卻無法分辨哪個解能表達實際的物理現象。計算機幾乎幫不上什麼忙，因為需要的近似可能最終提供的是不正確的解。我們需要的是對方程系統的穩健的理論理解，以及對於解的存在性與唯一性的嚴格結果。

這些正是Figalli及合作者創造的進展。他們考慮了另一個方程——蒙日-安培方程（Monge-Ampere equation），這個方程在數學中被廣泛研究，特別是在微分幾何中，並且出現在科學和工程領域的諸多問題中。

Figalli等人證明了蒙日-安培方程的正則性（regularity）。和穩定性一樣，正則性是物理現象的數學表徵最重要的特性之一。在物理學中，正則性意味著系統平滑地演化。例如，天空中的一片雲會緩慢地改變形狀，但是它不會突然變成一種全然不同的形狀。如果從數學上描述雲的演化，將會看到類似的事情：隨著方程的輸入值緩慢變化，代表雲朵形狀的輸出值也會緩慢變化。| 圖片來源：IMU

在半地轉的情境下，蒙日-安培方程表達的是從一種密度到另一種密度的最優輸運，其中，「成本」是行經距離的平方（動能的一種形式）。這些密度可以是水滴，或者是雲中的粒子，它們都以最優的方式四處移動。對於一個確定的密度，蒙日-安培方程提供了最優輸運映射。

用微小粒子的集合來模擬雲的形狀變化。| 圖片來源：IMU

過去五十年來，關於蒙日-安培方程的所有已知結果都未能提供一個明確的方法，來將最優運輸連接到半地轉現象的情境中。這就是為什麼Figalli與合作者Guido De Philippis一起完成的工作讓人如此興奮。他們在理解蒙日-安培方程解的結構方面取得了突破，而這個方程恰好提供了使得最優輸運理論能夠應用於半地轉方程所需的東西。

他們考慮氣流從最初的形狀和位置轉變為接下來的形狀和位置的最優輸運映射，並證明，在初始形狀中接近的點，在接下來的形狀中仍然彼此接近。接著，他們證明，輸運映射的這個特點蘊含著半地轉方程解的正則性。

他們的工作優雅地平衡了技術策略與創造性的洞察力。在這之後，De Philippis、Figalli與Luigi Ambrosio、Maria Colombo一起，直接攻克了半地轉方程，並提供了三維凸域中一個基本完整的解。

自由邊界問題

與Figalli的工作相關的最後一個例子是自由邊界問題（free boundary problem）。這些問題在數學中已經得到了深入的研究，特別是在極小曲面（minimal surface）幾何方面，並且經常出現在物理和生物學，以及許多工業和金融問題中。

考慮一塊淹沒在水中的冰，冰塊內部是溫度低於0攝氏度的區域，冰塊外部則是溫度高於0攝氏度的區域。那麼分割這兩個區域的邊界的形狀是怎樣的呢？

另一個例子是所謂的障礙問題（obstacle problem）。假設在一根水平放置的線上固定了一個彈性膜，在線與彈性模的下方置有一個障礙物，比如說一個靜止在桌面上的球。如果將膜降低到障礙物上，就會看到彈性模的兩個不同區域：與球接觸的部分，和沒有與球接觸的部分。這兩個區域的邊界就是所謂的自由邊界。

當障礙物是一個球時，兩個區域的邊界是一個圓形。但是，如果障礙物更加複雜或不規則，那麼邊界的形狀就很難預測了。數學家以抽象的形式研究這些問題，其中發生接觸的物體可以是任何維度的。

直覺上，我們猜測自由邊界是平滑的，但是要證明這一猜測卻極其困難。原則上，自由邊界可以是一個非常不規則的集合，甚至是圖形的分形結構，或者還可能擁有奇點，也就是扭結（kink）、褶皺（fold）、或自相交（self-intersection）。在二十世紀七十年代之前， 我們對自由邊界的形狀和平滑性知之甚少，哪怕是最簡單的情形。一個關鍵的進展出現在1977年，Luis Caffarelli證明了，在一組奇點之外，自由邊界是平滑的。他還給出了關於這組奇點的形狀的一個相當精確的幾何描述。

在接下來的40年里，我們僅在二維物體的情形中取得了確定的結果。因為這個原因，當Figalli與合作者Joaquim Serra在2017年對自由邊界給出了完整而明確的描述時，收穫到了熱烈的稱讚。他們證明，在三維情形下，自由邊界非常光滑，直到出現一些孤立的奇點。並且，對於任意維度，他們證明了關於自由邊界上的奇點特性的一個明晰的結果。在這項工作中所引入的新方法正在產生廣泛的影響。

Figalli思維之敏捷讓他的同事們非常讚歎。他的合作者David Jerison說：「他難以置信的快，快速處理基本問題，快速分離出重點。」 他的妻子Iacobelli說，當別人介紹Figalli的一長串成就時，他看起來很害羞，而這份謙遜吸引了她。他的合作者Ambrosio說，Figalli有著非常平和、友善的性情。或許正是這種平和的性情，使他在面對數學中巨大的不確定時，始終保持鎮定。| 圖片來源：IMU

Figalli的研究領域被強大的技術機器所包圍，外人往往很難穿透。作為操作這一機器的大師，Figalli通過他傑出的闡釋，解決了種種技術細節，揭示了概念結構，並拓展了這個領域。他的影響也因為他在與學生和年輕同事分享想法時的友善與慷慨而被放大。他的個人素養和數學才華的結合，使得Figalli成為了一個理想的領導者。而他在數學領域的影響，也才剛剛開始。

編譯：收藏沙子的旅人

參考來源：

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/figalli-final.pdf

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/ALESSIO_FINAL.mp4

https://www.quantamagazine.org/alessio-figalli-a-mathematician-on-the-move-wins-fields-medal-20180801/

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