謬證大全：1＋1≠2的n種可能

1=2？史上最經典的「證明」

設 a = b ，則 a·b = a^2 ，等號兩邊同時減去 b^2 就有 a·b – b^2 = a^2 – b^2 。注意，這個等式的左邊可以提出一個 b ，右邊是一個平方差，於是有 b·(a – b) = (a + b)(a – b) 。約掉 (a – b) 有 b = a + b 。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。約掉 b ，得 1 = 2 。

這可能是有史以來最經典的謬證了。 Ted Chiang 在他的短篇科幻小說 Division by Zero 中寫到：

There is a well-known 「proof」 that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: 「Let a = 1; let b = 1.」 It ends with the conclusion 「a = 2a,」 that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.

這個證明的問題所在想必大家都已經很清楚了：等號兩邊是不能同時除以 a – b 的，因為我們假設了 a = b ，也就是說 a – b 是等於 0 的。

無窮級數的力量 (1)

小學時，這個問題困擾了我很久：下面這個式子等於多少？

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

一方面，

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …

= 0 + 0 + 0 + …

= 0

另一方面，

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …

= 1 + 0 + 0 + 0 + …

= 1

這豈不是說明 0 = 1 嗎？

後來我又知道了，這個式子還可以等於 1/2 。不妨設 S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + … ， 於是有 S = 1 – S ，解得 S = 1/2 。

學習了微積分之後，我終於明白了，這個無窮級數是發散的，它沒有一個所謂的「和」。無窮個數相加的結果是多少，這個是需要定義的。

無窮級數的力量 (2)

同樣的戲法可以變出更多不可思議的東西。例如，令

x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

則有

2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …

於是

2x – x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) – (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1

也就是說

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1

平方根的陰謀 (1)

定理：所有數都相等。

證明：取任意兩個數 a 和 b ，令 t = a + b 。於是，

a + b = t

(a + b)(a – b) = t(a – b)

a^2 – b^2 = t·a – t·b

a^2 – t·a = b^2 – t·b

a^2 – t·a + (t^2)/4 = b^2 – t·b + (t^2)/4

(a – t/2)^2 = (b – t/2)^2

a – t/2 = b – t/2

a = b

怎麼回事兒？

問題出在倒數第二行。

永遠記住， x^2 = y^2 並不能推出 x = y ，只能推出 x = ±y 。

平方根的陰謀 (2)

1 = √1= √(-1)(-1)= √-1·√-1= -1

嗯？

只有 x 、 y 都是正數時， √x·y= √x·√y才是成立的。

-1 的平方根有兩個， i 和 -i 。 √(-1)(-1)展開後應該寫作 i·(-i) ，它正好等於 1 。

複數才是王道

考慮方程

x^2 + x + 1 = 0

移項有

x^2 = – x – 1

等式兩邊同時除以 x ，有

x = – 1 – 1/x

把上式代入原式中，有

x^2 + (-1 – 1/x) + 1 = 0

即

x^2 – 1/x = 0

即

x^3 = 1

也就是說 x = 1。

把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 。也就是說， 3 = 0 ，嘿嘿！

其實， x = 1 並不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在實數範圍內，方程 x^2 + x + 1 = 0 是沒有解的，但在複數範圍內有兩個解。

另一方面， x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一個解。 x^3 = 1 其實一共有三個解，只不過另外兩個解是複數範圍內的。考慮方程 x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x^3 = 1 的兩個複數解正好就是 x^2 + x + 1 的兩個解。因此， x^2 + x + 1 = 0 與 x^3 = 1 同時成立並無矛盾。

注意，一旦引入複數後，這個謬論才有了一個完整而漂亮的解釋。或許這也說明了引入複數概念的必要性吧。

頗具喜劇色彩的錯誤

眾所周知，

1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2

讓我們用 n – 1 去替換 n ，可得

1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2

等式兩邊同時加 1 ，得：

1 + 2 + 3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1

也就是

n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1

展開後有

n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 – n / 2 + 1

可以看到 n = 1 是這個方程的唯一解。

也就是說?? 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 僅在 n = 1 時才成立！

這個推理過程中出現了一個非常隱蔽而搞笑的錯誤。等式兩邊同時加 1 後，等式左邊得到的應該是

1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1

1 塊錢等於 1 分錢？

我要用數學的力量掏空你的錢包！請看：

1 元 = 100 分 = (10 分)^2 = (0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分

用這個來騙小孩子們簡直是屢試不爽，因為小學（甚至中學）教育忽視了一個很重要的思想：單位也是要參與運算的。事實上， 「100 分 = (10 分)^2」 是不成立的， 「10 分」 的平方應該是 「100 平方分」 ，正如 「10 米」 的平方是 「100 平方米」 一樣。

數學歸納法的杯具 (1)

下面這個「證明」是由數學家 George Pólya 給出的：任意給定 n 匹馬，可以證明這 n 匹馬的顏色都相同。

對 n 施歸納：首先，當 n = 1 時命題顯然成立。若命題對 n = k 成立，則考慮 n = k + 1 的情形：由於 {#1, #2, …, #k} 這 k 匹馬的顏色相同， {#2, #3, …, #k+1 } 這 k 匹馬也相同，而這兩組馬是有重疊的，可知這 k+1 匹馬的顏色也都相同了。

這個證明錯在，從 n = 1 推不出 n = 2 ，雖然當 n 更大的時候，這個歸納是正確的。這是數學歸納法出錯的一個比較奇特的例子：基礎情形和歸納推理都沒啥問題，偏偏卡在歸納過程中的某一步上。

數學歸納法的杯具 (2)

下面，我來給大家證明，所有正整數都相等。

為了證明這一點，只需要說明對於任意兩個正整數 a 、 b ，都有 a = b 。

為了證明這一點，只需要說明對於所有正整數 n ，如果 max(a, b) = n ，那麼 a = b 。

我們對 n 施歸納。當 n = 1 時，由於 a 、 b 都是正整數，因此 a 、 b 必須都等於 1 ，所以說 a = b 。若當 n = k 時命題也成立，現在假設 max(a, b) = k + 1 。則 max(a – 1, b – 1) = k ，由歸納假設知 a – 1 = b – 1 ，即 a = b 。

這個問題出在， a – 1 或者 b – 1 有可能不是正整數了，因此不能套用歸納假設。

1 是最大的正整數？

來自網友 boring David 發來的郵件：

證明： 1 是最大的正整數。假設最大的正整數不是 1 ，是 a ，則必有 a > 1 。於是有 a^2 > a ，即 a^2 是一個比 a 更大的正整數，與 a 的最大性矛盾。因此 1 是最大的正整數。

這個證明是錯誤的。在假設最大正整數是 a 之前，你得先說明它的存在性，排除最大的正整數根本不存在的可能性（而事實情況正是後者）。

所有三角形都是等腰三角形

別以為謬證都是隱藏在數字和字母之中的。下面就是一個經典的幾何謬論。

畫一個任意三角形 ABC 。下面我將證明， AB = AC ，從而說明所有三角形都是等腰三角形。

令 BC 的中垂線與 ∠A 的角平分線交於點 P 。過 P 作 AB 、 AC 的垂線，垂足分別是 E 、 F 。由於 AP 是角平分線，因此 P 到兩邊的距離相等，即 PE = PF 。於是，由 AAS 可知 APE ≌ APF 。由於 DP 是中垂線，因此 P 到 B 、 C 的距離相等，由 SSS 可知 BPD ≌ CPD 。另外，由於 PE = PF ， PB = PC ，且 ∠BEP = ∠CFP = 90° ，由 HL 可知 BEP ≌ CFP 。現在，由第一對全等三角形知 AE = AF ，由最後一對全等三角形知 BE = CF ，因此 AE + BE = AF + CF ，即 AB = AC 。

這個證明過程其實字字據理，並無破綻。證明的問題出在一個你完全沒有意識到的地方——這個圖形就是錯的！事實上， BC 的中垂線與 ∠A 的角平分線不可能交於三角形的內部。我們可以證明， P 點總是落在 ABC 的外接圓上。如圖， P 是 BC 的中垂線與外接圓的交點，顯然 P 就是弧 BC 的中點，即弧 BP = 弧 PC 。因此， ∠BAP = ∠CAP ，換句話說 P 恰好就在 ∠A 的角平分線上。

P 在 ABC 外的話，會對我們的證明產生什麼影響呢？你會發現，垂足的位置發生了本質上的變化—— F 跑到 AC 外面去了！也就是說，結論 AE + BE = AF + CF 並不錯，只是 AF + CF 並不等於 AC 罷了。

一個可怕的邏輯錯誤

下面這個勾股定理的「證明」曾經發表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 雜誌上：

假設勾股定理是正確的，於是我們可以得到

AB^2 = AC^2 + BC^2

BC^2 = CD^2 + BD^2

AC^2 = AD^2 + CD^2

把後兩式代入第一個式子，有

AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2

但 CD^2 = AD·BD ，因此

AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2

即

AB^2 = (AD + BD)^2

即

AB = AD + BD

而這顯然成立。因此，我們的假設也是成立的。

這個證明是錯誤的。假設結論正確，推出一個矛盾，確實能說明這個假設是錯誤的（這就是反證法）；但假設結論正確，推出它與條件吻合，這卻並不能說明假設真的就是正確的。錯誤的假設也有可能推出正確的結果來。最經典的例子就是，不妨假設 1 = 2 ，由等式的對稱性可知 2 = 1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 。但 3 = 3 是對的並不能表明 1 = 2 是對的。

如此反證

下面這個有趣的故事來源於 Lewis Carroll 的一篇題為 A Logical Paradox 的小論文。

Joe 去理髮店理髮。理髮店有 A 、 B 、 C 三位師傅，但他們並不總是待在理髮店裡。 Joe 最喜歡 C 的手藝，他希望此時 C 在理髮店裡。他遠遠地看見理髮店還開著，說明裡面至少有一位師傅。另外， A 是一個膽小鬼，沒有 B 陪著的話 A 從不離開理髮店。

Joe 推出了這麼一個結論： C 必然在理髮店內。讓我們來看看他的推理過程。

反證，假設 C 不在理髮店。這樣的話，如果 A 也不在理髮店，那麼 B 就必須在店裡了，因為店裡至少有一個人；然而，如果 A 不在理髮店， B 也理應不在理髮店，因為沒有 B 陪著的話 A 是不會離開理髮店的。因此，由 「C 不在理髮店」 同時推出了 「若 A 不在則 B 一定在」 和 「若 A 不在則 B 也一定不在」 兩個矛盾的結論。這說明， 「C 不在理髮店」 的假設是錯誤的。

從已有的條件看， C 當然有可能不在理髮店。但是，為什麼 Joe 竟然證出了 C 一定在理髮店呢？因為他的證明是錯的。其實， 「若 A 不在則 B 一定在」 和 「若 A 不在則 B 也一定不在」 並不矛盾——如果事實上 A 在理髮店，那麼這兩個條件判斷句都是真的。 「若 A 不在則 B 一定在」 真正的否定形式應該是 「A 不在並且 B 也不在」 。

自然語言的表達能力

我曾在 另類搞笑：自我指涉例句不完全收集 一文中寫過：

定理：所有的數都可以用 20 個以內的漢字表達（比如 25852016738884976640000 可以表達為「二十三的階乘」， 100000000000000000000000 可以表達為「一後面二十三個零」）

證明：反證，假設存在不能用 20 個以內的漢字表達的數，則必有一個最小的不能用 20 個以內的漢字表達的數，而這個數已經用「最小的不能用 20 個以內的漢字表達的數」表達出來了，矛盾。

當然，這個定理明顯是錯的，因為 20 個漢字的組合是有限的，而數是無限多的。這個證明錯在哪兒了呢？我也沒辦法一針見血地道出個所以然來，大家一起來討論吧。

有趣的是，我們有一個與之相關的（正確的）定理：存在一個實數，它不能用有限個漢字來表達。這是因為，有限長的漢字字元串是可數的，而實數是不可數的。更有趣的是，這個定理的證明必然是非構造性的。

兩邊同時取導數 (1)

取一個正整數 N 。則有

N^2 = N + N + N + … + N （ N 個 N ）

兩邊同時取導數，有

2N = 1 + 1 + 1 + … + 1 = N

兩邊同時除以 N ，得

2 = 1

數學威武！

這個推理是有問題的（廢話）。隨著 N 的增加，等式右邊的 N 的個數卻沒變，因此 N^2 的增長率比等式右邊更大。

兩邊同時取導數 (2)

令 x = 1 ，兩邊同時取導數， 1 = 0 。哈哈！

問題出在哪兒？這裡有意略去答案不寫，呵呵。

鏈式法則也出錯？

下面這個例子告訴我們，數學符號混淆不得，分清每個數學符號的意義有多重要。

定義 f(x, y) := (x + y)^2 ，然後令 x = u – v ，令 y = u + v 。我們有：

?f/?x = ?f/?y = 2(x + y)

?x/?v = -1

?y/?v = +1

根據鏈式法則，有

?f/?v = (?f/?x)·(?x/?v) + (?f/?y)·(?y/?v)

= 2(x + y)·(-1) + 2(x + y)·(1)

= 0

但是， f(u, v) = (u + v)^2 ，因此 ?f/?v = 2(u + v) = 2y 。這豈不是說明 y = 0 了么？但是，條件里並沒有什麼地方規定 y = 0 呀？這怎麼回事？

問題出在，整個推理過程把兩個不同的函數都用 f 來表示了。事實上，一個函數是 f(x, y) := (x + y)^2，另一個函數是 F(u, v) = f(u – v, u + v) = (2u)^2 。鏈式法則求的並不是 ?f/?v ，而是 ?F/?v 。

不定積分的困惑

我們嘗試用分部積分法求解 ∫ (1/x) dx 。

令 u = 1/x ， dv = dx

du = -1/x^2 dx ， v = x

於是 ∫ (1/x) dx = (1/x)x – ∫ x(-1/x^2) dx = 1 + ∫ (1/x) dx

怎麼回事？

不怎麼回事。這個等式是成立的。別忘了，不定積分的最後結果要加上一個常數 C 。

記得學高數時，求一積分，兩哥們兒做出來的答案差別很大，而且試了很久也沒能把其中一個答案變形成另外一個。後來終於恍然大悟：他們的答案是有可能不相同的，可以差一個常數嘛！

貌似漏掉了什麼

很多 Goldbach 猜想、孿生素數猜想的「證明」都栽在了下面這個有時候很不容易注意到漏洞。

讓我們來證明一個看上去有些不可思議的結論： π^e 是一個有理數。首先注意到，對任意有理數 r ， logπr 都是無理數，否則令 s = logπr ，我們就有 π^s = r ，這與 π 是超越數矛盾。

現在，假設 π^e 是無理數，也就是說對任意有理數 r ， π^e 都不等於 r 。這也就是說，對任意一個 r ， logππ^e 都不等於 logπr 。由前面的結論， logππ^e 就不等於任意一個無理數。但 logππ^e 是等於 e 的，這與 e 的無理性矛盾了。因此，我們的假設是錯的—— π^e 是一個有理數。

對於有理數 r ， logπr 確實是無理數；但遍歷所有的有理數 r ，並不能讓 logπr 遍歷所有的無理數，而 e 正好就等於某個漏掉的無理數。

不過，也不要想當然地認為， π^e 當然是一個無理數。目前為止， π^e 是否有理還是一個謎。

資料來源於 http://www.matrix67.com/blog/archives/3718

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