解微分方程為什麼會出現個e？

Q：

解微分方程為什麼會出現個e？

比如一解線性的情況 今天突然想起 是不是因為x加1分之一的極限是e 但為什麼是e呢。好突兀啊

A：

你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...

想像你生活在那個微積分初創的年代，你還不知道什麼通解公式之類的玩意兒,自然常數 e 還未曾知曉...

你是一個站在時代前沿的數學家，你想知道微分方程：

的解.

你覺得可以有一個性質良好的函數作為解，比如在上解析...

於是你可以在原點將這個函數展開：

因為上解析嘛，所以上光滑，求導得：

然後代入得：

要使得等式恆成立，所有項數都應該是 0

上面一個遞推式直接迭代可以解得：

也就是說解可以寫成：

的形式...

後來發現每次都要寫這麼一坨級數太煩了，經過研究發現定義

能減少很多麻煩.

然後進一步定義歐拉數

這個函數性質很好，可以把加法變乘法：

>>級數絕對收斂時算符可以交換

人們知道有這種性質的可以叫指數函數，於是，最後定義自然指數函數為

所以不是為什麼出現了個 e，出現的是

至於為什麼會出現，樓上說的很明白了.

因此指數函數是求導運算元的特徵函數------運算元作用於函數後的不變數，求導仍是本身.

這個和線性代數里矩陣與特徵值是相似的...

特徵值是矩陣變換後的基，特徵函數也是運算元變換後的基...

至於基為什麼這樣...唉...捉雞啊...這可以另開一個問題了...

再舉一個例子，把傅里葉變換看成一個運算元，其特徵函數(之一)為

所以傅里葉變換里這個東西經常出現...

沒有也正常，因為傅里葉變換的特徵函數可以長得很不一樣，比如

，這倆也是.

本文來自醬紫君：

https://www.zhihu.com/question/33177784/answer/237992320

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