勾股定理竟然引發了第一次數學危機？

最新 08-29

長久以來，數學都是精密、嚴格、準確的象徵。

人類非理性的行為主導了社會、政治、經濟、文化等領域的蓬勃發展，而在理性統治的時代，現代科學也在不斷用實驗和數據支撐或者反駁前人的論斷，從而引領人們走向一條自我進化之路。路的遠方只能無限接近真理，卻永遠無法抵達那裡。於是，在世間萬物變化無窮的表象之下，數學成了人們最後確定性的倚靠。

如果數學的根基被動搖，人類認識世界的邏輯基礎就可能被顛覆。當一加一不再等於二，人類文明構建的宏偉大廈即可能在頃刻之間坍塌，所有固若金湯、堅不可摧的真理信條也會在瞬間失去存在的理由。世間一切文明亦會在一夜之間灰飛煙滅。宇宙最終只能沉寂於混沌的深淵。從某種角度來說，數學不能出現矛盾，也不能出現危機。數學，就是人類文明最後的避風港。

不幸的是，在兩千多年的歷史進程里，堅如磐石的數學大廈仍然出現了裂痕。人們在無意之間鑿開的罅隙卻很快激發連鎖反應，最終引起科學界的大地震。無數歷史上最傑出的科學大家加入了修補大廈的工作，為挽救數學的完美與精確而殫精竭慮。等到危機過去，人們才發現，數學並不是無瑕的美玉，也並非無所不能的利器。數學理論即便可以幫助人們邁入天翻地覆的文明，但是在認識宇宙終極真理的道路上，它一樣無能為力。甚至連數學本身，也並非無懈可擊。人們總能在構建數學王國的磚石中，找到那些無可避免的殘缺。

曾幾何時，在人類匍匐在真理的道路探尋未來時，數學帶來過光明。在科學尚在蒙昧的襁褓階段時，數學也曾哺乳過文明。歷史上，數學就是人類文明最忠實可靠的朋友。然而這位朋友，卻經歷過人們三次血與火的洗禮。幸運的是，每一次，它都將自己一部分最深邃的秘密展現給信仰追隨它的人們。每一次的危機都帶來人們觀念上的革命，每一次革命都讓後人更加了解數學——人類文明的守護者，更真實的內心。

讓我們重回歷史上那三次危機的現場。危機的導火索，卻是那樣的漫不經心。一切彷彿都在印證，真理給予人類的恩賜，同樣都是有心栽花花不開，無意插柳柳成蔭。

（一）無理數的覺醒-畢達哥拉斯的怒火

數與形，是人類最早認識世界的基礎。因此，作為數的代表-整數與事物形狀的代表-幾何，就這樣進入人們理性思辨的世界。

第一次數學危機，就誕生在人們對整數和幾何的認識之中。「根號2是否是有理數」這樣一個問題，引起了古希臘先賢們的爭論，並逐漸演變成一場巨大的風波，最終竟然引導古希臘的數學走向了一條截然不同的發展道路。

事件的起因，卻要從勾股定理說起。

公元前5世紀，古希臘的天才人物畢達哥拉斯（Pythagoras）創建了宗教、政治、學術合一的畢達哥拉斯學派。其主要的研究涵蓋幾何、算術、天文和音樂，並在其中追求宇宙和諧統一的規律。

畢達哥拉斯學派（圖片來源：搜狗百科）

彼時，畢達哥拉斯學派對整數有著異乎尋常的信仰。他們發現，大自然很多事物都可以通過數量的大小和關係進行解釋和說明。這種對整數的痴迷就來源於音樂的啟迪。

一次偶然的經歷，畢達哥拉斯意識到音樂中音調的和諧完全由整數之比決定。音樂和數這看起來毫無關聯的事物居然通過整數連接在了一起，這讓畢達哥拉斯受到很大啟發，並由此斷言宇宙萬物都可歸結於整數或者整數之比（註：畢達哥拉斯時代的整數指代自然數）。這成了後來畢達哥拉斯學派的信條之一：一切事物都按照數來安排。具體而言，萬物都是整數或者整數之比的和諧產物。進一步，宇宙的本質就在於整數的和諧。

與此同時，數學歷史上最偉大的定理之一-勾股定理-也誕生在畢達哥拉斯學派對幾何學孜孜不倦的追求之中。所謂「勾股定理」，就是一個直角三角形三邊長必須滿足的數量關係，即斜邊長的平方等於長與寬各自的平方之和。這與古代中國獨立發現的「勾三股四弦五」的特例有異曲同工之妙。意外的是，這一成就畢達哥拉斯千古英名的定理卻也成了該學派信仰的「掘墓人」。

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勾股定理示意圖（圖片來源：http://www.sohu.com/a/34394091_139985）

由於相信萬物都是整數或者整數之比，那麼兩條幾何線段長度之間的比值，其結果也必然是整數之比。這也意味著存在第三條線段，能同時量盡事先給定的兩條線段。這種性質被畢達哥拉斯學派稱為「可通約」。基於對整數的信條，他們認為任何兩條線段都是可通約的。直到「不可通約量」的發現，終於引起了該學派巨大的信仰危機。這一「離經叛道」的結果，卻是由畢達哥拉斯的學生希帕索斯（Hippasus）做出的。

希帕索斯考慮一個邊長為1的等邊直角三角形，根據勾股定理，其斜邊長應該是「2的平方根」。如果畢達哥拉斯學派的斷言是正確的，那麼直邊和斜邊應該是可通約的，因此存在一個有理數（即整數之比），恰好等於「根號2」。希帕索斯很快就證明，這是一個矛盾的結論。他興高采烈地將自己的非凡發現告訴老師畢達哥拉斯。在經過仔細的檢查之後，畢達哥拉斯進入了「兩難」的境地。要麼承認希帕索斯顛覆性的結論，從而推翻他的數學與哲學的信條；要麼違背理性的原則，堅決反對這一發現。左右為難之下，畢達哥拉斯將其視為學派的秘密，下令禁止傳播這一結論。事情的發展還是超乎畢達哥拉斯的預料，希帕索斯最終將發現泄露出去，從而激怒了畢達哥拉斯。畢達哥拉斯隨後下令處死他的學生。希帕索斯最終為此付出生命的代價，將一腔熱血獻祭給了第一次數學危機。

這一認識上的危機給古希臘的數學帶來巨大的地震。為了維護學派的信仰，畢達哥拉斯認定類似於「根號2」這樣的數是不可說、也無定形的數，其秘密屬於眾神的範疇，凡人不應該接觸和認識到這些數的存在。這些數被稱為「沒有理性的數」，它們的存在即宣告了無理數的誕生。

第一次數學危機持續了2000多年。公元前3世紀，畢達哥拉斯學派的歐多克斯(Eudoxus)試圖通過在幾何學中引進不可通約量的概念來解決它的矛盾。他認為，幾何線段先天就存在著「可通約」和「不可通約」的限制，這在某種程度上大大拓展了人們對數的認識，也為無理數找到了存在的基礎。直到1872年，德國數學家戴德金(Dedekind）從連續性的要求出發，通過有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的分析基礎上，才揭開了無理數的神秘面紗，從而結束了無理數被認為「無理」的時代，也結束了自古希臘時代就延續至今的數學史上的第一次大危機。

德國數學家利烏斯·威廉·理查德·戴德金

（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831-1916）（圖片來源：百度百科）

第一次數學危機誕生於幾何學。萬物皆依賴於整數的思想被瓦解，幾何學的地位開始擢升。古希臘人開始明白知覺和經驗的局限性，一切真理只有通過推理和證明才能確保可靠。此後，演繹和推理的方式逐漸登上古希臘科學的舞台，在此基礎上建立的幾何公理體系讓希臘民族走向了以歐幾里得（Euclid）和亞里士多德（Aristotle）為代表的邏輯論證之路。古希臘也因此成為現代科學國家的先驅者。

相比之下，四大文明古國的中國、印度、埃及和巴比倫卻一直停留在實驗科學的階段，以經驗作為檢驗真理的唯一標準，而忽視了推理和證明的重要性，從而與現代科學的誕生擦肩而過。

（本文中標明來源的圖片均已獲得授權）

出品：科普中國

製作：中國科學院數學與系統科學研究院黃逸文

監製：中國科學院計算機網路信息中心

本文來源於「中國科普博覽」公眾號（kepubolan），轉載請註明公眾號出處