從地心說看中國與西方的科學差距

知識 08-31

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落後了

那就奮起直追

前些天偶爾在社區圖書館逛逛，在書架上看到一套叢書《西方的偉大著作》。

其中一本《Ptolemy, Copernicus, Kepler》(托勒密，哥白尼、開普勒）立刻引起了我的強烈興趣。

哥白尼幾乎公認是日心說--地球繞太陽轉--的提出者，開普勒中學物理課本里講到過他的行星運動三大定律。

其第一條說，行星繞太陽以橢圓軌道運行，太陽在橢圓的焦點，第二條說，行星與太陽連線相同時間掃過的面積相同，第三條，我就不複述了。牛頓正是從開普勒定律得出了萬引有力的平方反比律。

但從中學開始，我對開普勒三定律帶著一種更深的莫名的神奇感：他是如何總結出那三條定律呢？須知，在地球上看行星，能夠測量的也就是行星相對於星空的位置（或者說角度）而不知道距離，何況地球不但在自轉還在繞太陽公轉。這太不可思議。

有一個說法認為開普勒是人類歷史上最聰明的人之一，我完全贊同。

托勒密呢？我也讀過一些零星的描述，知道他的理論是太陽、行星都繞地球做圓周運動，對於不能跟觀測吻合的情況，他就在大圓上加個小圓，甚至還有人（傳訛）說他在小圓上再加小圓。各種當代著作里對托勒密的學說近乎嘲諷。哥白尼我曾經在科普文中寫到過，從間接的資料知道他的日心說當時不被接受並非由於教廷反對，而是因為其精度不如托勒密的理論。但我從未讀過這三人自己的著作。現在機會來了。

坐下打開書一看，發現托勒密、哥白尼與開普勒三人的著作都是高度數學化的。托勒密的書叫《ALMAGEST》，意思就是《專著》（原希臘文書名是《數學化專著》（Mathēmatikē Syntaxis））。

這本書有好幾百頁，詳細列出了各種幾何圖形，各種證明、計算，各種數據。光憑這一點，我對托勒密的看法已經發生了不小的轉變。因為這已經完全具備了科學的特徵。數學化的天文理論是具備可證偽性的硬道理。是對是錯，托勒密給你一個計算方法還有具體的例子，你不信可以自己去算並且跟實際情況比對。哥白尼的書跟托勒密著作非常相似，充斥各著種幾何證明與計算，從其插圖就知道太陽在中間。

但這些古書對於現代人來說過於繁瑣，一時無法看明白。這主要是因為他們使用的數學工具過於簡陋，基本只是歐幾里得幾何，現在看來應該非常直接的計算在書中卻非常繁瑣，各種古代天文術語更令人費解。

我匆匆翻看了一陣，用手機拍了幾張照片就走了。

至少我已經知道，托勒密學說絕不是空穴來風似的哲學虛詞，而是數學化的硬科學。那麼托勒密學說到底是怎麼回事？與其試圖去讀那麼厚的書，我們不妨按照現代人已經知道的知識去重構其「地心說」理論。

首先，太陽繞地球轉有錯嗎？

當然沒有！當一個人以自我為中心，整個世界都在圍著他轉。如果從太陽看地球繞太陽轉，那麼從地球看，太陽就是在繞地球轉。這既是我們的實際體會，也是簡單的參照坐標變換。地球 E 到太陽 S 為 ES，那麼太陽到地球是 SE = -ES（忽略向量符號）。當ES轉圓圈，-ES 當然也是轉圓圈，而且轉的方向相同。那麼行星呢？太陽S 到行星P為 SP，太陽到地球為 ES，那麼地球E到行星P就是 EP = SP - SE。換言之，從地球上看，行星的軌道就是行星繞太陽的軌道減去地球繞太陽的軌道。

如此看來，托勒密的大圓應該就是行星繞太陽的軌道，而小圓就是地球繞太陽的軌道（但有一個180度的相差）！太陽繞地球是圓，行星繞地球又是怎樣的呢？

為此，我寫了一個程序查看。左邊的圖是「日心」圖，暫不考慮行星軌道嚴格是橢圓，而是用圓代替，黃色是太陽，紫色是金星，綠色是地球，紅色是火星，周期根據實際軌道比例。右邊是「地心」圖：從地球看太陽、行星，其計算只是將左圖中星體軌道減去地球的軌道向量（上面提到小圓，這只是為了少用術語，當然對於金星來說，小圓-地球軌道更大）。

結果發現，從地球上方看，行星的軌道如同天上的蓮花：

仔細觀察上面右圖，我們發現從地球上方看，行星會發生中途逆行的現象，本來是是逆時針轉，但在那個螺線形狀的附近，會發生短暫的轉向，再恢復原方向。

古代希臘人觀測到這個retrograde 現象，因為用簡單的圓周運動無法解釋，於是在圓上加了一個小圓，當行星在小圓上正好轉到地球上方，方向就倒了。

按照上面的重構模型，行星繞地軌道等於行星繞太陽軌道（大圓）減去地球繞太陽軌道（小圓），那麼依照托勒密理論進行計算，所有行星的小圓都應該是跟地球一樣一年轉一圈，而且相位相同。托勒密難道沒有察覺到這一點驚人的巧合併且做出更多的思考嗎？

我繼續查閱資料，發現這一點就是哥白尼的偉大發現，托勒密確實沒有意識到內中的奧秘。在托勒密模型里，不同行星軌道的小圓大小不同，但是周期相同，而且小圓中心到行星的連線總是平行於地球到太陽的連線。哥白尼正是從這一點所謂巧合找出了本質原因而創立了他的日心理論。

日心說並不是哥白尼的發明，古希臘早有人認為行星繞太陽轉了。但是沒有數學預測能力的說法只是空談。

哥白尼從托勒密模型結果中看似的巧合建立了完整的日心理論。也就是說，托勒密的地心理論是 EX = SX - SE（也是就是上面複雜的右圖）。哥白尼以太陽為中心，直接就是 SX（左圖）。

在托勒密模型中，無法確定小圓的半徑，而只能確定行星軌道大圓與小圓的半徑比例。哥白尼理論中，托勒密的小圓就是地球軌道，那麼大圓（也就是行星軌道）相對於地球軌道的大小也就定下來了。這可以說是哥白尼的主要貢獻。

托勒密的行星軌道理論卻遠不是圓圈上加圓圈這麼簡單。所謂地心說里，地球並不是在正中心。托勒密的著作中前兩章提到，行星繞地球軌道是大圓加小圓是前人的成果，而且地球並不是處於大圓的圓心，而是偏離一個距離。托勒密稱之為偏心圓。在托勒密前人的理論中，行星是在這個偏心圓上繞圓心勻速運動。但托勒密發現這樣的模型跟觀測數據仍然存在一定差異，於是他進行了一個大膽創新。托勒密提出，行星是在偏心圓上運動，但繞圓心另一側的一個等距點勻速轉動。這一點稱為「均點」（Equant）。中國明代翻譯托勒密模型中的大圓為「均輪」可能就是因為這個原因。

下面是托勒密書中的插圖。我加上了顏色。綠色（GHK）是行星軌道的大圓，F點是這個軌道的圓心，地球在偏心點位置 E，而D點則是均點，黃色是軌道的附加小圓。托勒密前人的理論里，在大圓上是繞大圓圓心F 勻速轉動。而在托勒密理論里，轉速相對於D點才是勻速。

我們現在知道，行星繞太陽的軌道是橢圓，太陽在橢圓的焦點。稍加計算髮現，對於偏心率不大的橢圓，其短軸與長軸的差別正比於偏心率的平方。短軸與長軸的比是。

如果橢圓偏心率為10%，雖然焦點偏離中心的距離是半徑的10%，短軸與長軸的差別卻只有 0.5%。即使偏心率為20%，長短軸的差別也只有約2%。太陽系裡偏心率最大的是水星，約 21%。

所以，平移的圓形是橢圓的高度近似。在下面，我用個圖進行說明。下圖綠色是原點（藍色）為焦點， e =20%的橢圓，藍色是以原點為圓心的圓。紅色虛線是把藍色的圓平移一個焦距（0.2），這個紅色虛線圓的圓心是 D。從圖中可以看出，紅色虛線幾乎與綠色的橢圓重合。

因此，偏心的圓是 e = 20% 的橢圓的良好近似。太陽系中另一個軌道偏心率較大的是火星，偏心率為 9.3%，其到太陽的距離在近日點與遠日點相差 20%，但其軌道的形狀與圓形相差非常之小，在類似的圖中幾乎完全看不出差異。

在托勒密理論中，地球位於上圖的原點（藍色），行星軌道的大圓是上圖的紅色虛線。但大圓上的運動不是繞其圓心D勻速，而是繞「均點」 Q勻速運動。（這裡跟托勒密書中用的符號不同）

根據開普勒第二定律，行星軌道為橢圓，太陽位於橢圓的焦點，而行星到太陽連線在相同時間內掃過的面積相等。

用下面的圖解釋。橢圓的中心在O，太陽在橢圓的焦點 B，行星C在橢圓軌道上，且 BC 單位時間掃過的面積相等，但因為 BC 長度是變化的，其角速度也變化。而在托勒密理論里，CA 連線為勻速轉動。托勒密理論與開普勒理論相比差多少呢？為此，我使用開普勒軌道，並計算 AC 轉動的角速度，看它與勻速相差多少。

考慮橢圓上C點的速度，因為AC+BC長度不變，以A為中心的徑向速度與B為中心的徑向速度大小相同，符號相反，因此橢圓上C點以A為中心的切向速度等於以B為中心的切向速度。切向速度等於距離乘以角速度，因此：

因此，C點繞B點的角速度與C點繞A點的角速度的關係為：

C點繞B點單位時間掃過的面積為：

根據餘弦定理以及橢圓 AC + BC =2 的屬性，

因此：

因此 CB 單位時間掃過面積為：

從上圖以及 cos 的定義可見，

當 e 遠小於1的時候，AC，BC都近似為1，因此：

詳細代入 BC 的極坐標公式到的公式，並在 e =0 展開，我們驚奇地發現

也就是說，開普勒軌道繞托勒密的 EQUANT 點的角速度與常速的差別是 e 的二階小量。如果 e=10%，這個角速度與常速差別小於百分之一。如果 e =0.21, 差別也就是 4% 量級。而且這個角速度誤差導致的角度誤差不是累積的，而是周期性抵消。

簡單積分的結果，托勒密軌道的角度誤差隨角度的變化為

對於火星來說， e=0.093, 托勒密軌道與開普勒軌道的最大角度誤差只有約 0.093^2/4 * 180/3.14 = 0.12 （度）。

上面的推導可能不太直觀。為此，我用Python編寫了一個程序繪製兩個軌道圖（代碼附二）。圖中黃色圓為太陽。紅線為開普勒軌道，使用4階 Runge-Kutta 數值方法進行計算。另一條藍線則是托勒密軌道（也就是偏心圓軌，繞均點勻速轉動）。並且畫出角度差異。分別對偏心率 9.3%（火星）與偏心率21%計算。有興趣的讀者可以查驗運行代碼。結果如下：

由上可見，火星軌道用兩者理論計算，紅藍色幾乎重合，差別幾乎無法判斷。即使對水星而言，紅藍兩線也接近吻合。

可見，托勒密理論與開普勒理論相差甚小，運用於太陽系已經相當準確。哥白尼雖然把托勒密的理論修改成了繞太陽轉，但是在處理轉速時，他卻出於哲學教條堅持是繞圓心的勻速運動，因此其精度反而不如托勒密的模型。

這也是哥白尼理論當時不被看好的原因。開普勒在托勒密與哥白尼兩者的基礎上將偏心圓換成橢圓，成為定論。去除神秘感，才算接近真相。現在看來開普勒也並非那麼神奇，而是承繼古希臘羅馬集大成的高精度數學模型以及哥白尼的新視點進行的完善。

托勒密(公元100-170）《ALMAGEST》成書大約於公元150年。綜觀其巨作，裡面引用的天文資料早至公元前700多年的巴比倫觀測數據，書中旁徵博引前人的理論分析，內含大量數學證明與計算。這本數百頁的書用希臘語寫作，其希臘語版本一直被東羅馬保存，而後被翻譯成敘利亞語與阿拉伯語。哥白尼之前，西方學者對該書又進行了更為詳細的註解，並發現模型中大圓、小圓可以互換，這才導致哥白尼發現托勒密附輪是地球軌道的奧秘。

到今天，西方學者還能參考各種語言的版本，對托勒密書中的數據與計算重新核對（只發現很少的錯誤）。西方這種系統科學知識的承傳令人讚歎。與托勒密幾乎同期，中國東漢也出現了天文理論家張衡（字平子）（78年-139年）。張衡提出了渾天說，在一篇短文中淺顯地比喻說【天如雞子，地如雞中黃...周天三百六十五度四分度之一】。張衡還製作了渾天儀，據正史記載（《晉書-天文志》）能夠從儀器的轉動準確預測星空。

但其關於渾天儀的原理只在《後漢書-律曆志》一個註解中留下短短几段話，後人拿著渾天儀因為沒有說明書竟然不知道怎麼使用。其另外一篇《靈憲》也只當成四六句子駢文而被收錄，其科學著述基本失傳，張衡的實際成就也就無從考證。

中國歷史上重文輕理的弊端可見一斑。

明朝末年，托勒密理論在徐光啟主持下從西方傳教士引進中國並編入明《崇禎曆書》（注一）。期間，中西天文方法進行了八次計算與觀測對比的較量，均輪（deferent）、本輪(epicycle)之精妙令人耳目一新也不得不服（參：《明史-歷志》）。勤勉的崇禎皇帝接受了托勒密理論。但明朝旋即覆亡。

西方科學承繼歐幾里得、托勒密，經哥白尼、開普勒，這才有牛頓力學以及之後迅速的科技發展。

滿清慈禧太后垂簾之際，麥克斯維爾寫下電磁理論的微分方程... 西方科學界又發現水星軌道有一個微小的差異不能與牛頓理論吻合，最終是愛因斯坦給出了滿意的解答...

這些，都是歷史了。

注一：崇禎曆書沿襲了托勒密使用的乘除很難操作的60進位，而不是轉換成更為方便的十進位，可見基本只是翻譯原著，而不是有機吸收。

附（托勒密與開普勒軌道的比較代碼，其中RK4代碼源自

https://rosettacode.org/wiki/Runge-Kutta_method ）

來源：岳東曉科學網博客

本文由超級數學建模編輯和整理

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