物理學咬文嚼字之一百：萬物皆旋（上）

作者：曹則賢 (中國科學院物理研究所)

左旋右轉不知疲，千匝萬周無已時。

——[唐]白居易《胡旋女》

我以旋轉的方式向你靠近，如激流上的花朵，如花朵下的漩渦……

——余秀華《辨認》

We live on a spinning planet in a world of spin¹⁾.

——Christopher Buckley

運動總可以分解為平動(translation)與轉動(rotation)。這話的意思，對應的是矢量的演算法不過是加法和乘法(分為內積和外積)。平動是平凡的，而轉動則花樣翻新、名目繁多。如果細究起來，處理轉動問題的數學足以讓大部分號稱學過數學和物理的人後悔自己的年少輕狂。反過來看，一個人若能學會理解轉動，恐怕物理世界在他眼前會一時清朗起來也未可知。

本篇講轉動，涉及到的辭彙包括但不限於circle (circulate)，turn，gyrate (swive，trundle)，rotate，precede，nutate，volve (convolve，devolve，evolve， involve， revolve)，spin (spinor)， whirl (whorl， swirl，twirl)， spiral， vortex， helicity，chirality 及其各種衍生詞。由於內容太過繁雜，本篇大致按照如下章節組織：

1 引言

2 Rotation

2.1 Rotate這個詞

2.2 轉動的簡單數學

2.3 轉動的四元數表示

2.4 Planetary rotation

2.5 量子力學的轉動

2.6 相對論作為轉動

2.7 分子轉動

2.8 有轉動意思的一些通俗用語

3 Gyration

3.1 Gyrate這個詞

3.2 Gyration 這種運動

3.3 Gyroscope

3.4 Magnetogyratic ratio

4 Spiral

5 Spin & spinor

5.1 Spin 這個詞

5.2 Spin 的經典物理意義

5.3 近代物理意義下的spin

5.4 質子與中子的自旋

5.5 Isospin

5.6 Spin 的數學描述

5.7 Spinor

5.8 類轉動特徵

6 Vortex

7 Volvo

7.1 Convolve

7.2 Devolve

7.3 Evolve

7.4 Involve

7.5 Revolve

7.6 Vernation

8 結語

儘管如此，各個表示轉動的不同辭彙依然會交替出現，顯得亂了章法。面對這樣的文章，叔本華在《作為意志與表象》一書的前言中建議讀者要讀兩遍，而且是以極大的耐心去讀第一遍，「這種耐心也只能從一種自願培養起來的信心中獲得……」

1 引言

牛頓第一定律宣稱完全由著自己性子來的物體保持靜止或者作勻速直線運動。這實際上是伽利略的慣性定律，它是一個抽象而來的結論，別指望能有任何嚴格的觀測事實。我們實際觀察到的運動，拋開星雲、洋流這樣的大尺度多體體系，哪怕是單個質點的運動，都必有轉彎(turning)的跡象。有限空間內的持續運動，轉彎是必然的。這就決定了舞蹈——人在小範圍內的活動—— 總表現為轉動(rotation)。觀察我國西南諸少數民族的集體舞，會發現舞蹈者的運動不外乎繞著某個中心——白天也許沒有實在的中心，晚上估計是一堆篝火——的公轉(revolution)，繞自身中心軸的自轉(spinning，rotation)，身體繞重力方向的擺動(進動，precession)²⁾，加上身體有韻律的前仰後合(章動，nutation)。西藏的山地集體舞和阿爾卑斯山地舞蹈是一樣的，不是什麼文化的同一性，而是因為舞蹈不過是人的運動形式而已，運動定律，包括空間結構和運動主體的自由度(對稱性)，決定了舞蹈只能有那麼幾個動作。舞蹈的編排，永遠是這種旋轉結合(做乘法)那種旋轉。偶爾也有純的平動，不過純平動必須不時flip (翻轉)，這樣總和才會為零，否則舞蹈者會出圈的。

舞蹈大體上不過是轉動，所以西方有華爾茲(Waltz， 動詞walzen)，西域有胡旋舞。大唐時期西域人來長安謀生，胡旋舞是最撩人心魄的，由此產生了許多動人的詩篇，而且似乎也注意到了其中的物理。元稹《胡旋女》中的「寄言旋目與旋心……」提供了旋轉特徵的初步描述。看唐人的雙人胡旋舞壁畫(圖1)，可見舞者的自旋。三維空間的定軸轉動，還真分左旋(laevorotatory)與右旋(dextrorotatory)啊。

圖1 雙人胡旋舞

有時候，我們希望一些物體飛出去能自己再回來。鏢這種兵器，以平動的方式飛出去，自己是回不來了，所以中國的鏢會拴上繩子，謂之繩鏢。非洲人希望打獵時鏢能自己飛回來，就製作出了迴旋鏢(boomerang， 飛去來器)， 見圖2，我懷疑是從某種大樹的豆莢得到的啟發。

圖2 形狀各異的Boomerang

快速旋轉，有炫目的效果，人看旋轉的東西會眼暈。有個關於旋轉門(the revolving door)的故事，表明轉動是一種能把人弄暈的變換。說一老農在某大城市初見旋轉門，未識為何物。忽見一老太太從門的一側進去，不旋踵從門的另一側出來了個大姑娘。老農感嘆：「乖乖，what a fantastic transformation!」 教過經典力學和量子力學的老頭兒，應能輕鬆理解這個科學笑話的嚴肅。人大體是一種平動的物種，人如果自己轉，會暈。轉動的人如果停下來，十有八九會腳步踉蹌。剛剛習慣用轉動的眼光看世界的大腦，如今依然把世界詮釋為旋轉的。人的大腦如果接受了一些衝擊性的信息，也會感到天旋地轉——The world began to spin when he realized……。讓某人轉起來，法語為prendere qlcu in giro，那就是把人弄暈乎了然後騙。安史之亂，唐人當時就怪罪轉動了。元稹《胡旋女》寫道「旋得明王不覺迷，妖胡奄到長生殿」，白居易《胡旋女》則寫道「祿山胡旋迷君眼，兵過黃河疑未反」，都是這個調調兒。轉動的東西估計都有迷惑的本領，千迴百轉的聲音也迷人，鳥囀鶯啼，囀，那也是轉。元稹說「胡旋之義世莫知，胡旋之容我能傳」，那是吹牛，轉之容可不易理解。漢語的旋，似乎是用來描述快速轉動的，有快的意思。旋即，即馬上、立刻。英文中轉動swivel 的同源形容詞swift，就是快速的意思。2015 年，科學家將激光穿過4 微米大小的碳酸鈣小球，光偏振的改變對小球施加了一個扭矩從而使其旋轉起來(spinning it)。因為在真空中沒有摩擦和拖曳，該實驗實現了高達6 億轉每分鐘(revolutions per minute)的高速旋轉，打破了轉動(spinning)的記錄。

Rotation 轉出閉合的路徑(orbit，loop)， 就成了recurrent revolution，recycling， 就有周期。Circulatingmotion 也叫轉動，與revolution 的意思差不多。總覺得轉(rotate)經的儀式必然關聯著輪迴(recycling)的觀念。來自各地的人們默默地圍繞著岡仁波齊轉(revolve)山，已經延續了千年。任何旋轉(revolution)都創造自己的中心。血肉之軀無休無止的轉動，創造出了藏傳佛教的精神世界之軸。

2 Rotation

2.1 Rotate這個詞

Rotate，來自拉丁語動詞rotare，to turn，to roll，to go around。轉動是to turn，to roll，基於turn 的衍生詞很容易辨認出來。比如tornado(龍捲風)，來自tonare，whirling violently(圖3)。談論轉動體，別光想著用rotating body，太土，可以說corps tournants。To roll，漢語會譯成滾動。一個圓，在平面上無滑動滾動，其上一點划過的曲線是擺輪線 cycloid，其參數方程為 x(θ) =a(θ - sin θ) ， y(θ) = a(1 - cos θ) (圖4)。Rotate 的衍生詞rotating，rotative，rotatory 都是形容詞，但其實rotate 本身就是形容詞。Rotate 作為及物動詞是讓別的物體轉起來，作為不及物動詞是繞著自己的軸轉，與spin 同義。Rotation，希臘語是περιστροφ?，rotate，希臘語是περιστρ?φομαι， 它們的前綴是peri-，around，繞著而且還貼著。Perihelion， around the sun， 近日點，而aphelion，apo+helios，fromthe sun，遠日點也。

圖3 Tornado，轉得快的氣旋

圖4 擺輪線是沿直線滾動的圓上一點的軌跡

在高維空間里的單聯通運動軌跡，本質上是一條(直)線，其上的運動本質上還是一維的。一維空間里，運動只有前行和掉頭。前行是平移， 掉頭是個非連續的操作，flip。Flip， to make a sudden change， to turn or turn over， 見於to flip pages in a book (翻頁)。據說量子意義下的spin (自旋)在一個抽象空間里會這麼干，但是宏觀的車不會。假如你開車沿著一個窄巷子行駛， flip 這個操作是沒法執行的，你只能倒車——高鐵是兩端都有頭。Flip 可以看做是1D空間中的轉動。如果不把它看成轉動，一維空間里就沒有轉動，轉動是高維空間里的奢侈。

二維空間里就可以有轉動，相應地是有了數學的乘法操作了。容易證明任何二維的direct motion，要麼是平移，要麼是轉動。轉動太普遍了， 各個物理分支都是在用轉動的語言談論問題。1861 年， 麥克斯韋發表了題為on physicallines of force 的論文， 其中有電磁感應的概念模型， 是由磁通的自轉小格子(tiny spinning cells) 組成的。1862 年他又增補了兩部分， 在第一部分中討論了位移電流， 第二部分討論了法拉第效應， 即磁場造成的光偏振方向的轉動(rotation)。法國物理學家Fran?ois Jean Dominique Arago 發現一些石英晶體能夠連續地轉動(rotate，使轉過去)光的電矢量。他還發現轉動的金屬盤會和磁鐵發生聯動，他稱之為magnetism of rotation，今天我們知道是因為在磁場中轉動的金屬裡面產生了渦流(eddy current)。

規則的rotation 常會畫出閉合的曲線，loop。Circle 是圓，circumference，圓周，circumrotate (to turn like a wheel，rotate)，是繞著圈地轉動，估計是轉上不止一圈。Circumgyrate(to turn like a wheel，rotate)，是繞著圈地迴旋。描述circumgyration要用三個自由度： roll， pitchand yaw attitude angles。飛機在空中飛行，其姿態就有這三個自由度，繞自己中心軸的roll (翻滾)；鼻頭上下繞從翅膀到翅膀的軸的轉動是pitch (俯仰)，鼻頭左右繞垂直軸的轉動為yaw(偏航)。三個轉軸分別為longitudinal (縱向的)³⁾，vertical (垂直的) 和lateral (側向的)。下面我們還會談到。

按說咬文嚼字是要力求避免數學的，但是關於旋、轉若沒有嚴格的數學表達，任何文字敘述只會造成誤解，所以我將不得不納入一點數學。Then to not know mathematics is as severe limitation in understanding the world (不懂數學那對於理解世界來說是個嚴重的限制)。費曼在訪談「the pleasure of finding things out」 中如是說。

2.2 轉動的簡單數學

二維空間里的定點轉動，和三維空間里的定軸轉動，都好描述，只用一個參數轉動角θ ， ω = dθ/dt是角速度。其實，用轉動角描述轉動，轉動角是個多值函數，即對應一個構型的角度為θ + 2nπ ，n 是任意整數，這事兒就有點麻煩。進一步地，有角動量被定義為J=r×p。這是個乘法，叉乘，結果為那兩個矢量所張平行四邊形的面積。它告訴我們的是位置和速度(動量)是矢量，但角動量不是。還有點乘r·p，那是virial，這個和做功有關，經典力學裡有virial 定理。不同於(x，p)坐標系，作用量—角坐標系可以在不解運動方程的情況下得到轉動或者振蕩的頻率。平動對應加法。加法與乘法能定義矢量的代數，看樣子可以從關於位置和速度(動量)的矢量代數的角度看待轉動問題。還可以反過來理解，叉乘和rotation 有關。那麼，別的抽象的乘法呢？比如在代數方程的根號可解問題中，有阿貝爾引理，設 f (x)∈k[x] ，θ₁，θ₂，…，θ_n是在k 的擴展域上的根。假設θ_i是θ₁的函數，θ_i = R_i (θ₁) ， R_i (x)∈k[x]。進一步假設對任意一對i，j，有R_i(R_j(θ₁)) =R_j(R_i(θ₁) ) ，則方程 f (x) = 0 是用根號可解的。這裡涉及的是個函數的乘法，從積到因子，就有根號的問題。這些不論， 只看R_i(R_j(θ₁)) =R_j(R_i(θ₁) )的形式，它和轉動有關。

牛頓第二定律是局域的，collinear的，而轉動是較大範圍內才能確立或完全刻畫的一種運動模式，它的局域性表現在於存在r ^ v 。但是，速度、加速度有參照系，而位置是要有參照點的，所以轉動會表現出複雜性。任何三維空間的流的守恆都會給出平方反比率，比如熟悉的牛頓萬有引力定律和庫倫定律；而這個結論是因為空間的各向同性(isotropy)才得到的。因為空間是各向同性的， 所以角動量一定是守恆的。空間的isometry (等度規)決定了它有自己的代數，空間結構的isometry 決定了它的轉動群。

如何表示三維的轉動？ 有1) 轉軸—轉角表示法，即確定轉動軸取向和繞軸轉動的轉角；2) Euler angles法。用三個歐拉角表示。一種方式 (φ，θ，ψ) 按照 z-x-z的轉動軸序列選取(圖5)。當然也可以是(z-x-z， x-y-x， y-z-y， z-y-z， x-z-x，y-x-y)序列中的任一個。另有Tait—Bryan angles， 可以按照(x-y-z，y-z-x，z-x-y，x-z-y，z-y-x，y-x-z) 等序列中的任一個選取；3) 用四元數(quaternion)。具體方法如下：一個單位四元數， 有文獻稱為versor，有3 自由參數，把矢量x 寫成0-標量的四元數， x′= qxq-1 就表示轉動(見下)。只從一側加上四元數乘法也是轉動，但是是四維空間的轉動。

圖5 轉軸—轉角和歐拉角表示轉動

用數學的話說，轉動是球到球的線性映射。轉動構成一個群，n-維實空間的情形，群是O(n)群；n-維復空間的情形，群是U(n)群。如果表示轉動的矩陣的值為1，則群分別是SO(n)群和SU(n)群。群變換就是一種抽象轉動。SU(3) 的一個不可約表示是八維的；轉動一個維度上的粒子會把它變成另一個維度上的粒子，由此有了粒子物理中八正態的概念。為了理解轉動，轉動群的表示知識就顯得很重要了。Generators of rotations ( 轉動生成元)，infinitesimal rotations(無窮小轉動)， infinitesimal rotation tensor( 無窮小轉動張量)都是重要的概念。群論發掘出了太多我們不易認識到的關於轉動的知識， 關於這一點，Hermann Weyl 居功厥偉。一個物理系統的動理學結構可表達為系統空間中的射線酉轉動的不可約阿貝爾群。這個群的代數的實元素對應系統的物理量。以系統空間的轉動對抽象群的表示，將每一個那樣的 (物理)量同一個表示了它的厄米形式相聯繫。Casimir 坦誠其1931 年的論文Rotation of a Rigid Body inQuantum Mechanics 受到了外爾工作的啟發。

歐拉力學提供了剛體轉動的力學理論，拉格朗日力學似乎責難歐拉力學的剛體轉動運動方程。C.Truesdell 分析發現歐拉力學的缺陷在於對連續介質一般轉動的無能為力。或許更高深的數學，比如Clifford 代數，能帶來完備的關於轉動的描述？ The operations of geometric algebra have the effect of mirroring， rotating， translating，and mapping the geometric objects that are being modelled to new positions(幾何代數(克利福德代數的特例)的操作具有鏡面反射、轉動、平移的效果，能將幾何對象映射到新位置)。Rotation 之於平動，是乘積，是混合。但是對於各項同性的空間，或者同樣的對象，這混合就沒有多大的意義。混合不同的東西，比如克利福德代數那樣其加法可以混合不同質的對象，那才更有意義。

2.3 轉動的四元數表示

平面內的轉動可用複數表示。任意一個複數表示的矢量，乘上單位複數z₀= cos θ + i sin θ ， 即表示轉動了θ 角。x′+ iy′=(cos θ + i sin θ)(x + iy) ， 得 到 轉 動的常見矩陣表示

三維空間的轉動沒有三元數的表示。Sir William Rowan Hamilton發展了四元數，q=a+bi+cj+dk，其中i²= j²= k²= ijk = -1 。把四元數分成標量部分和三維矢量部分，q = (r，v) ，其加法和乘法公式為(r₁，v₁) + (r₂, v₂) = (r₁+ r₂，v₁+ v₂)，(r₁，v₁) (r₂，v₂) = (r₁r₂- v₁? v₂，r₁v₂+r₂v₁+ v₁× v₂) 。這裡面有點乘和叉乘。注意，叉乘只在三維空間成立，或者說叉乘出現在四元數的乘法中。不要求唯一性，叉乘也存在於七維空間的情形，那是八元數的乘法。

用非零四元數乘法來表示實部為零的四元數所構成之三維空間的轉動，演算法是求共軛v′= uvu^-1 。一個單位四元數共軛的效果，若其實部為 cos(θ)，則是繞其虛部所確定的矢量轉動了2θ 角。這裡的基礎是，三維的轉動可以分解為兩個反射。任何三維空間中的定點轉動都可以表述為一個矢量u (轉動軸)和一個標量θ (轉動角)的組合。考察沿一個三維空間單位矢量u= u_xi + u_yj + u_zk 轉過θ 角的轉動，由歐拉公式q = e^{1/2θ(uxi + uy j + uzk)}=cos θ/2+ (u_xi + u_yj + u_zk) sin θ/2， 共軛演算法保證了其是轉動θ 角。舉例來說，繞正方形對角線轉動120 度，轉動軸為矢量v= i + j + k ， 計算得到轉動對應的四元數u =(1 + i + j + k)/2， u^-1=(1 - i - j - k)/2。轉動對應變換， f (ai + bj + ck) ?u(ai + bj + ck)u^-1。計算可得u(ai + bj + ck)u^-1= (ci + aj + bk) ， 就是頂角的置換。可見對角線120 度轉動保持正方形位置不變。注意，四元數操作的對象是旋量(spinor)，其比四元數晚生了60 年。更多的內容，容作者日後補充。

用四元數描述三維轉動，有諸多優點：1) 比矩陣表示緊湊；2) 比矩陣表示容易快速計算；3) 一對單位四元數可以表示四維空間的轉動；4) 沒有奇點的問題。歐拉角就有這個問題，即所謂的gimbal-lock(方向支架鎖定)現象，出現於比如pitch~yaw~roll (俯仰-偏航-翻滾)這樣的轉動系統。當pitch 上下轉了90°時，yaw and roll 對應的是同樣的運動，有一個自由度丟了。在基於萬向節的慣性導航系統中，當飛機垂直俯衝或上升時，pitch為90°，gimbal lock 會造成災難性後果。

關於轉動的群表示，在On quaternions and octonions: their geometry，arithmetic，and symmetry一書中，有holo-icosahedral group，chiroicosahedral group; holo-octahedral group， chiro-octahedral group; holotetrahedral group， chiro-tetrahedral group; holopyramidal group， chiropyramidal group; holo-prismatic group，chiro-prismatic group 等諸概念，這些對量子力學視角下的晶體學的深入理解估計會有幫助，可惜筆者未曾深入學習過不論。有心人可參照三維空間的點群一起修習。在經典力學中， 轉動表述為r × (ω× r) 的形式，有點不對勁兒，應該表述成四元數——Clifford 代數。這些知識筆者沒系統學過，怪不得David Hestenes 都說他做不動了。

2.4 Planetary rotation

我們的家園是由太陽—地球—月亮組成的三體體系，當然還有幾大行星作鄰居，遵從平方反比律的萬有引力聯繫著遠方。有心引力場——來自外部的和自身的——之下的星體做著各種複雜的轉動。我們的地球自轉著(rotate)，所以我們看到天上的星星自東向西運動著，幾乎每天都能看到月落日升的場面。大約在1500—1528 年間，阿拉伯人Al-Birjandi 發展了「circular inertia」⁴⁾理論解釋地球的轉動。哥白尼(Nicolaus Copernicus) 1543 年出版了De revolutionibus orbium coelestium (On the Revolutions of the Celestial Spheres) ，漢譯為《天體運行論》，此處的revolution 應是關於太陽的公轉。這是科學史上的大事件，引發了Copernican Revolution，對後來所謂的Scientific Revolution(科學革命)做出了重要貢獻。這裡的revolution 都是觀點的大變動而已。所謂科學革命的說法，是一些研究科學但不做科學研究的學者的論調，即便在西語語境中也都飽受譏諷。馬赫認為如果一個人在科學發展中看到了革命，那一定是因為知道的太少。誠哉斯言！牛頓1684年出版了De motu corporum in gyrum(論轉動物體的運動)一書，此處用的是gyrum，因為沒看過這本書的拉丁文本，拿不準gyrum 到底指的是什麼。

對星體轉動的認識是一個自發的、漫長的過程。唐詩有「地軸天維轉」，天旋地轉不知何時已進入我們的日常表達，可見老祖宗對這問題認識已久。笛卡爾提議行星或許是被繞著太陽的一個巨大渦旋(vortex)所拖曳著的。如果渦旋里的流體速度與其離中心的距離成反比，牛頓發現則行星的公轉周期(period of revolution)同其離開太陽的距離平方成反比。Revolution 就是所謂的公轉，理解這個詞的關鍵在於re-，back。

地球是個繞著一顆恆星太陽revolving 的一大塊物質，可按照剛體來處理其運動問題。如果把revolution 理解為滾動(to turn，to roll)的話，那行星要自轉簡直就是必然。太陽和地球revolve about each other。同時，地球rotate about its axis，spin about its axis。行星的公轉(revolving)，也是orbiting(the star)。開普勒的行星運動三定律都是關於軌道(orbit)的特徵的，描述的是revolution。地球公轉一周是365 天，這是用自轉周期去標定其公轉周期。再強調一遍，所謂的時間，就是用一個不斷再現的物理事件去標定其它的物理事件。這個抽象的概念作為描述存在的基礎，是智慧，是權宜，也冒著走入死胡同的風險。水星公轉周期是88 個地球日，自轉周期是59 個地球日。或者換個表述，水星的公轉周期約為水星天的一天半。金星有退行自轉(retrograde rotation)現象。金星繞(orbiting)太陽的周期是224.7 天，但它的自轉周期竟然高達243 天，而且跟其它行星反向rotates。怪異的是，月球繞地球的公轉和自轉的周期都是27 天7 小時43 分。這個現象應該是一個慢慢演化(evolve)而來的局面，月亮的質量分布不對稱並不能完全解釋這個現象。順便說一下，太陽也自轉。伽利略與塞爾維亞蒂一道觀測太陽黑子，他們將太陽的像投射到紙上，發現了太陽黑子及其在太陽表面上的有規律運動，從而判斷太陽也在自轉。

因為星體所有的轉動行為都是由重力(gravity)引起的，有時候人們乾脆就用gravitate 這個動詞一言以蔽之。原子是個不可見的行星體系(invisible planetary system)，雖然其中不是重力當道，人們也會說在原子中electrons gravitate around a nucleus。

太陽—行星體系是質量嚴重不對稱的兩體體系。質量差不多的轉動(rotating)雙星體系會有更有趣的故事發生(圖6)。兩個大密度的白矮星會orbit each other，當這兩個星體spiral closer together ( 螺旋式靠近)時， 其公轉周期(period of revolution)會變短。再靠近一點，還可能有吞噬現象發生。

圖6 互繞雙星體系

轉動總意味著加速度的存在。轉動快了，啥意外都會發生。脈衝星(pulsar) 是rotating neutron star。其中的射電脈衝星(radio pulsars，rotation-powered)一般是孤立星體，隨著輻射它的自轉會慢下來，而X-射線脈衝星因為多是雙星體系，會從周圍吸積物質，因此其周期會變慢但也有時會變快。

談論剛體的轉動，就必然會遭遇到precession。Precession， 動詞形式為preced，precess，來自拉丁語praecedere，字面意思是先行(時間、位置、級別、重要性等方面佔先)，漢譯進動。一個自轉的(spinning)物體，比如陀螺，當被施加一個扭矩( 比如來自重力) 改變其轉動軸時，一般會引起自轉軸在與軸和力矩都垂直的方向上轉動(turn)，划過一個錐面，此之謂precession。這個turn 的動作就是precede。如果陀螺不是處於自轉的狀態，扭矩會使其繞水平面內的軸rotate，就倒下啦。地球的轉動(rotation)，包括intrinsic部分，即自轉(rotation，spinning)和precession， 還有nutation ( 章動)。Precession 歸於自身重力效應，nutation 歸於近處其它物體的引力( 圖7)。地球的進動也稱為precessional movement， 轉一整圈(completing a rotation) 的周期約25700年。Nutation，來自nutare，to nod，點頭。不知道為啥被譯為章動，取章何義？難道是因為小說「章回」，把這裡的回當成retrograde，返回、退行，從而將章字也用於描述天體運行了？

圖7 地球的Euler rotations。R=rotation， P=precession， N=nutation

原子物理中會提到Larmor precession。磁矩在磁場下會有繞磁場B 方向的進動，進動頻率叫Larmor頻率， ω = γB ，其中γ =ge/2m為gyromagneticratio (旋磁比)， γ 是gyration的希臘語首字母；g 即是所謂的g-factor。計算g-factor 是個艱難的理論問題。Joseph Larmor 爵士(1857—1942)的定理云：恆定磁場對一個帶電粒子運動的影響，與從一個以特定頻率旋轉的坐標系中觀察到的一樣。Thomas precession 是對粒子自旋或者自轉物體的相對論修正，其將自旋角動量同軌道角動量聯繫起來。

開普勒定律表明行星軌道是個橢圓，但是因為其它星體的擾動，軌道會precess。Pression of orbit 是個普遍性的問題。水星軌道近日點的進動幅度較大(圖8)，過去被歸結為是一個名叫Vulcan 的未知行星的影響，當前的解釋是根據愛因斯坦廣義相對論，太陽周圍的空間是彎曲的。看，我們總是以我們現有的知識去構造最直觀的解釋，直到這解釋不能自圓其說。

圖8 行星繞日轉動之進動的示意圖

行星繞太陽，或者如從前我們認為的那樣繞地球revolve，最簡單的軌道是圓才好呢。當然實際情況不是這樣，於是人們用epicycle(?π?κυκλο?， upon the cycle) 的概念來構造軌道， 這套理論叫epicycle-on-deferent theory。Deferent 漢譯均輪，epicycle 漢譯本輪，基本是不顧原詞的胡編亂造。Deferent，來自deferre， to carry down or out，承載，如vas deferens 即是輸精管。Deferent 就是那個繞地球的大圓，epicycle 就是騎在deferent 的圓(圖9)。如果epicycle and deferent 不能很好地近似行星的軌道， 那就在epicycle 上再騎上一個epicycle。這種圓上騎著圓的運動是非常powerful的數學， 實際上它可以輕鬆地近似三角形甚至線段。其一發展是無處不在的傅里葉分析，其威力由此可見一斑。

圖9 Epicycle and deferent 體系

2.5 量子力學的轉動

運動，是關於時空的變換也。動力學過程，就是體系隨時間的變換。洛侖茲變換，李代數，Dirac 方程不過都是關於轉動的學問。量子運動方程是個轉動， dA/dt= i(HA - AH) ，A(t) = e^iHtA(0)e^-iHt ， 轉動(rotation)是由酉陣e^iHt的共軛演算法實現的。相應地， 狀態的時間依賴為|ψ(t)> = e-iHt |ψ(0)> 。在轉動之下，經典幾何對象可以被分為標量、矢量和高階張量。你看，物理量依據轉動下的行為來分類的。量子力學要求希爾伯特空間中的狀態無需在轉動群的表示下變換，而只需在投影表示下變換。轉動群的投影表示之不算表示的那部分是spinor，而量子態可以作為張量和旋量進行變換。

拋開那些繞人的量子力學的詮釋，一般量子力學教科書中的數學，其實都是在談論二階微分算符在不同對稱性下的本徵值和本徵函數問題。三維空間、球對稱，轉動部分的解為調和函數，多項式獨立解一定是自變數的齊次函數。列舉? =0，1，2，3 的情形如下：1) 0 次的，常數(s-軌道)；2) 1 次的，x，y，z (p-軌道)；3) 2 次的，xy，yz，zx；x²－y²；2z²－x²－y²(d-軌道)；4) 3 次的，xyz；(x²－y²)z；(y²－3x²)y，(x²－3y²)x；(4z²－x²－y²)x，(4z²－x²－ y²)y， (2z²－ 3x²－ 3y²)z(f- 軌道)。也即是? 次描述角動量的函數的獨立解有2 ? +1 個。這讓我想起了量子力學的角動量投影問題。真的有角動量有2 ? +1 個分立的投影這件事嗎？還是在談論一件數學的幻影？當然，如果數學真的描述了那個物理，則物理的世界和數學的內蘊應該是統一的了。但即便這樣，物理的世界也要獨立地被證明其存在吧？一個暫用來描述某物理體系的數學推導出的「事實」，可以毫無保留地看成物理實在嗎？真是a spinning question。

2.6 相對論作為轉動

四維時空的洛倫茲變換包括三維轉動和boost (推進。似乎許多中文文獻保持這個英文詞不譯)。Boost 是具有不同速度的參照框架之間的變換，數學上類似rotationinto time。其實， 就是在坐標(it，x )，時間t 表示為虛數，之間的正常轉動(這是洛倫茲1908 年引入的表示)。新的時空(it，x)只有空間型的方向(spatial directions)，是歐幾里得空間。如果把轉動角表示為tg θ = iv/c ，其中v 是參考系間的相對速度，則兩次轉動的乘積給出速度相加的公式，那公式v =(v₁+ v₂)/(1 + v₁v₂ /c₂)就是我們中學學過的tg(θ₁+ θ₂) =(tg θ₁+ tg θ₂)/(1 - tg θ₁tg θ₂)。洛倫茲變換的這種處理， 也被稱為是pseuo-euclidean 空間中的轉動或者雙曲轉動(hyperbolic rotations)。如果參照系相對另一參照系轉動，狹義相對論得出的結論是轉動體系的幾何不可能是歐幾里得的。這個結論的全部內含不容易在廣義相對論下導出。可見，廣義相對論從一開始就要嚴肅對待轉動，具體的內容此處不深入討論。廣義相對論的一個偉大勝利是定量地解釋了水星的繞日進動問題。注意，討論相對論語境下的rotation， 坐標系轉過一個角度的變換同一個參照框架在轉動這種運動過程，是兩回事。Penrose 和Terrell 獨立認識到以近光速前行(travelling) 的物體， 會遭遇特殊的skewing or rotation。Skewing，歪斜，有skew-symmetry的說法。

2.7 分子轉動

分子可看作是具有量子自旋的原子通過化學鍵連接起來的一個組裝體。其運動方式包括平動(translation)、振動(vibration)、轉動(rotation)和libration。Libration， 詞幹就是equilibrium ( 平衡) 中的libra，就是天平的平衡指針。擾動平衡態時這個指針是來回晃的，所以libration是一個物體，比如分子，差不多對固定方向微小偏離的來回晃動(rocking back and forth)，分子受擾動後的弛豫過程肯定有這種libration，愚以為譯成晃動就挺好，有文獻中的譯法是天平動。月亮軌道也有librations 的問題，其中之一就是其自轉相對於恰當的軌道位置有一個小幅度的libration，這使得月亮對著我們的面看起來有個小的來回晃動。測量vibration—rotation spectra (轉動—振動譜)是研究分子結構的有效手段。關於轉動的量子化表述，常有角動量J 對應能量正比於J(J+1)，簡併度2J+1 的說法，此認識來源於二階微分算符本徵問題的解，在球諧函數、貝塞爾函數那裡能見到J(J+1)的身影。振動譜和轉動譜可以較接近因此會耦合到一起，故有rovibronic，rovibrational( 轉動— 振動的) 的說法。In rovibronic transitions， the excited states involve a few wave functions (在轉動—振動躍遷中，激發態涉及(繞進去)幾個波函數)。為了描述轉動量子化， 朗道引入過rotaton 的概念。有趣的是，分子—電子體系也有Coriolis force! 在類似(HOOH) 這樣的有互為鏡像的構型的分子中，如果有一個電子有繞原子核的角動量，則其鏡像構型中電子反向轉動，也有相同的能量。因為整個分子可以隨意rotate， 則Coriolis force 會引起這兩個狀態之間的弱耦合。

2.8 有轉動意思的一些通俗用語

動詞whir， whirl， whorl，swirl，twirl，swivel (swift)，來自北歐語言，詞源不同，但大體都是to turn， to move rapidly in a circular manner or as in an orbit， 快速轉圈、打著旋的意思。字典解釋gyrate( 見下) 會用到swive， trundle。Martian air contains only about 1/1，000as much water as our air， but even this small amount can condense out，forming clouds that ride high in the atmosphere or swirl around the slopes of towering volcanoes (火星大氣中的水含量只有空氣中的1/1000，但這麼點水一樣能凝結成雲，高高飛入大氣或者繞著尖尖的火山打旋)。Stacks of plates (in a capacitor) can swivel so that their effective area is variable (電容器中的基板可以轉動以改變其有效面積)。花葉序有alternate ( 互生的)， opposite ( 對生的)， decussate ( 十字的)， whorled(輪生的)，其中輪生體(whorl) 是多片葉子形成渦狀的。Whorls 同樣有alternate whorls，即相鄰兩節上的葉子錯過角度π/n ， n 是葉子的片數。一般植物學文獻不提，但筆者自己就拍到過(圖10)。

圖10 簡單葉序，輪生的、互生的與對生的(左圖)，輪生也有交替的(右)

3 Gyration

3.1 Gyrate這個詞

轉動，rotate，希臘語的對應動詞為γυρ?ζω (γ?ρω απ?)。Γ?ρω，gyro-，giro-，以各種變體出現在歐洲的各種語言中。歐洲有一道名吃，Greek gyro or gyros (γ?ρο?)，希臘式轉(盤)，也叫Turkish gyro，土耳其式轉(盤)，德國、義大利等地也用Gyropanne 一詞( 字面是轉盤)，就是旋轉烤肉(圖11)。Giropode，字面是轉動的足，即代步平衡車(圖11)。德語管Girokonto 叫轉賬戶頭， 乾脆簡稱Giro。義大利語動詞girare，名詞giro，girata， 就是轉彎，見於如下表述如fare un giro inmachina (坐車兜了一圈)， fare una giratain barchetta (划船轉一圈)， girasóle( 繞太陽轉，向日葵)， essere ingiro ( 流通)， esserenel giro ( 是圈內人)，mettere in girouna chiacchiera (傳播流言)，等等。西班牙語的轉動是gire， gire a laderecha ( 右轉)， gire a la izquierda(左轉)。Girar obre sí，對應英文的autogyrate，self-rotation，字面意思都是自轉、自旋。牛頓的論文Demotu corporum in gyrum，英文一般譯為On the motion of bodies in an orbit，其中拉丁語的in gyrum 被譯成了in an orbit。Gyro，gyre 這些詞在英文中也一樣是轉動的意思。英文的gyroplane or gyrocopter，是旋翼飛機，gyre 是洋流的渦流。太平洋上曾出現一個trash vortex (垃圾渦旋)， 是a gyre of marine debrisparticles，這意思是說那些垃圾碎片因為洋流的渦流而匯聚成了渦旋狀的一塊。

圖11 Gyropanne (giropanne)與giropode

名詞gyration 作日常用語意思就是繞彎子。Euler想得到cosx，sinx的表達式，他從 (cos nθ + i sin nθ) =(cos θ + i sin θ)ⁿ出發，令θ = x/n ，假設n 很大所以可以展開，在展開式中把n-1，n-2，n-3…都用n 代替，然後又取極限，等等。這一套彎彎繞，被譏諷為mathematical gyration。Such mathematical gyration seem，to modern tastes， unorthodox ( 這樣的數學繞彎子，以現代的品味而論，看似不是很正統)。

英文gyrate，同rotate 的不同是微妙的。Gyrate， 漢譯迴旋、旋轉，也作形容詞用。Rotated的對象，可以用gyrate修飾。比如Johnson 多面體是規則的凸多面體，共92 種，其中就有用gyrate 形容的，比如62面的gyrate rhombicosidodecahedron，trigyrate rhombicosidodecahedron，等等。會擺弄高維的轉動摺疊多面體並使之是旋轉的(gyrating folding polyhedron hypercube and making it gyrate)，體現一個人高超的空間想像能力。Alas，俺沒有這個能力。

光在某些晶體中傳播，其偏振面會轉過(rotate)一個與傳播距離成正比的角度，這種現象叫光學活性。單位長度上轉過的角度正比一個物理量G，就是gyration，這是一個贋矢量。

洛倫茲變換哪怕是只考慮沿同一方向運動的情形，也是一種轉動(rotation)。如果空間本身還是轉動的，那這變換就要用到gyrovector，gyrogroup 的概念了。Gyrovector，就是雙曲幾何版的vector (Gyrovector，a hyperbolic geometry version of a vector)。由gyrate，又引入一個詞gyr， gyr is the gyrovector space abstraction of the gyroscopic Thomas precession， defined as an operator on a velocity w in terms of velocity addition: for all w。速度u 加轉動U 與速度v 加轉動V 的兩個洛倫茲變換， L(u， U)， L(v， V)， 其合 並 操 作 為 L(u，U)L(v，V ) =L(u⊕Uv，gyr[u，Uv]UV ) 。 這 些數學太複雜了(參見Lorentz transformation-wiki 和gyrovector space-wiki)，不表。

3.2 Gyration這種運動

一個電荷，受磁場影響，其軌跡是螺旋線(helix)，這樣的運動是gyration， 迴旋， 也會被描述為small-scale oscillations，or gyro motion。量ω = eB/m 的量綱是角頻率，即磁場強度乘上帶電粒子的荷質比，名為gyrofrequency。如果同時存在電場，則電荷會被加速，電場和磁場共同作用會引起電荷的漂移，速度為 E × B/|B|2 (圖12)。角進動頻率是cyclotron frequency (角迴旋頻率)。設想等離子體處於靜磁場B 下，同時還疊加著一個高頻電磁場，這就會發生共振，即所謂的cyclotron resonance。約束在電磁場下的等離子體中，會遇到gyration帶來的各種問題，是等離子體物理必須面對的。

圖12 磁場下的gyro motion， 不均勻磁場中的bouncemotion (回彈)，以及同時存在電場時的漂移

3.3 Gyroscope

有一種利用gyration 物理的設備， 叫gyroscope， 德語為Gyroskop，或者乾脆稱為Kreiselapparat(迴轉設備)。Gyroscope 是基於希臘語γ?ρο? + σκοπ?ω 造的詞，字面看是轉動，漢譯迴轉儀、陀螺儀。

陀螺儀就是top+gimbals (陀螺加幾個方向支架)， rotation on one axis of the turning (spinning) wheel produces rotation of the third axis (一個spinning 的圓盤繞一個軸的轉動會產生繞第三個軸的轉動，gyroscopic effect)，這是陀螺運動的物理基礎。Gyroscope 的具體結構是這樣的， 中間是一個spinning wheel ordisc (飛旋的輪子)，是為rotor (轉子)，加上兩個或者三個gimbals (方向支架)，相鄰的方向支架的pivotal axes (支撐軸)，包括轉子spinning 的軸，都是正交的(圖13)。最外層的方向支架兼做支撐(gyroscope frame)用。方向支架的支撐軸提供了很多轉動自由度(degrees of freedom of rotation)，因為角動量守恆，這樣就能保證rotor 的取向不變，從而有保持方向的能力。因此，gyroscope 是一種可以保持取向或者測量角速度的設備。各種陀螺儀反映一個國家的基礎物理水平和製造水平。Gyrocompass能探測地球自轉並搜尋正北方向。Gyrocompass 可用於慣性導航。

圖13 由一個轉子和三重方向支架組成的陀螺儀

第一個類似gyroscope 的設備是1743 年發明的whirling speculum (轉動的鏡子)。據說現代意義上的gyroscope是Johann Bohnenberger 於1817 年製作的，中有一個rotating massive sphere (大質量轉動球)。之所以用大質量轉動球，是因為轉動意味著固執，質量越大越固執。將槍炮管內壁刻上膛線，子彈、炮彈出膛是轉動的(rotating，spinning)，那點兒重力就很難改變其飛行軌跡。1832 年Walter R. Johnson 做出了類似設備，但中間是一個rotating disc。1852 年，法國物理學家傅科( Léon Foucault)把這樣的結構用於涉及地球轉動的實驗里，可以讓轉動保持大約10 分鐘的時間以供觀察研究，故名之為gyroscope，看(地球)轉。傅科發現高速轉動的轉子的方向幾乎不隨外部環境的運動(比如放置陀螺儀的地球的轉動)而變。地球是飄在虛空中轉動的，在地面上若要用個球或圓盤來演示地球的公轉/自轉，那就得支撐起來，因此需要gimbals——以馬後炮的觀點這很容易想到。研究陀螺儀運動特性的理論是繞定點的運動，是剛體動力學的一個分支。

地球自身是個大的陀螺儀。它的角動量指向北極星，但是因為太陽和月亮的引力在地球的非球形身軀上造成的扭矩，地球又一直在進動(precess)著，其周期約為26，000 年。

如今還有利用Sagnac 效應的光學干涉做陀螺儀。Gyrolaser，or laser gyroscopes，基於Sagnac 效應，即沿相反方向通過一轉動介質的兩束激光會有一個依賴於角速度的相位差。這個效應曾被用來驗證以太是否存在，但是因為比沒有轉動的干涉儀版本(Michelson-Morley 實驗)複雜，或者因為實驗者Georges Sagnac是法國人而不是美國人，這個有趣且有用的實驗在介紹相對論的文獻中幾乎不被提及——物理學家畏轉動如瘟疫、猛虎也。

3.4 Magnetogyratic ratio

Gyromagnetic ratio， 旋磁比，也稱magnetogyric ratio，那大約該譯成磁旋比，是一個粒子的磁矩同其角動量的比值。一個經典的粒子，假設其電荷和質量都是均勻分布的， 則其gyromagnetic ratioγ = 1q/2m，是荷質比的一半。Gyromagnetic ratio 也被用來指所謂的g-factor。當我們談論基本粒子的旋磁比時，磁矩和角動量來自內稟的自旋。以電子為例， γe = gμB/? ，其中的g-factor， 按照相對論量子力學， g = 2(1 + α/2π +…) 。狄拉克方程的第一個榮耀， 就是能解釋電子的g-factor 應該為2， 大致過程為將自由粒子狄拉克方程i?γ^μ?_μψ =mcψ 中的微分符號換成?_μ?D_μ = ?_μ- eA_μ， 假設弱磁場的情形， 得到形如[?²/2m?²+ μ_B(L + 2S) ? B] Ψ= -i? ?Ψ/?t的方程(把動量形式的量子力學方程轉回能量形式的是否是bad move?)。更仔細的解釋來自量子電動力學。據說電子的g-factor的實驗測量值與量子電動力學計算的結果，符合到小數點後面第12 位。對這種奪人心魄的說法，我只能表示呵呵。若你知道那計算的各種近似，體會過複雜實驗存在的各種誤差來源，大概對這種表述就不會特別嚴肅地當真。這種說法有意義的前提是，拋開計算不論，1)那個實驗值自己的波動在小數點12 位之後，2) 不同來源的實驗值之間的偏差在小數點12 位之後，但這兩點都無人提及。最重要的是，如果正確，這用得著靠這個嗎？電子的旋磁比還好說， 質子的旋磁比g=5.58， 中子的旋磁比g=－ 3.83。如果狄拉克的相對論量子力學是描述所有自旋1/2 粒子的，那這質子與中子的旋磁比就不好解釋。後來的理論指向中子、質子是複合粒子而非基本粒子，但似乎沒有令人信服的理論。或者有人把理論給做歪了？

1) 我們生活在一個旋轉著的星球上、一個滿是彎彎繞的世界裡。

2) 所謂的迴風擺柳，大概是形容這個動作的。這個動作不容易，有時候要藉助柱子。

3) 字面意思是長的。

4) 大意是環繞惰性。

本文選自《物理》2018年第8期

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