神奇的梅森素數，迄今人類僅發現47個

眾所周知，素數也叫質數，是只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7、11等等。

2300年前，古希臘數學家歐幾里得就已證明素數有無窮多個，並提出一些素數可寫成「2p-1」 的形式，這裡的指數p也是一個素數。這種特殊形式的素數具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家(包括數學大師費馬、笛卡爾、哥德巴 赫、歐拉、高斯、哈代等)和無數的業餘數學愛好者對它進行探究。而17世紀法國數學家、法蘭西科學院奠基人馬林?梅森是其中成果較為卓著的一位，因此後人 將「2p-1」型的素數稱為「梅森素數」。

迄今為止，人類僅發現47個梅森素數。由於這種素數珍奇而迷人，它被人們稱為「數學珍寶」。梅森素數歷來是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。

貌似簡單 探究極難

梅森素數貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。

1772年，有「數學英雄」美名的瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了231-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的頑強毅力與解題技巧令人讚嘆不已；法國大數學家拉普拉斯說的話，或許可以代表我們的心聲：「讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。」

在「手算筆錄」的年代，人們歷盡艱辛，僅找到12個梅森素數。而計算機的產生加速了梅森素數探究進程。1952年，美國數學家拉婓爾?魯濱遜等人使用SWAC型計算機在短短的幾個月內，就找到了5個梅森素數：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。

探究梅森素數不僅極富挑戰性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。

1963年6月2日晚上8點，當第23個梅森素數211213-1通過大型計算機被找到時，美國廣播公司(ABC)中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一重要消息。而發現這個素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系裡發出的信封都蓋上了「211213-1是個素數」的郵戳。

隨著指數p值的增大，每一個梅森素數的產生都艱辛無比；而數學家和業餘數學愛好者仍樂此不疲，激烈競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家大衛?史洛溫斯基和哈里?納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數223209-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生蘭登?諾爾就已經給出了同樣結果。為此他們潛心發奮，又花了一個半月的時間，使用Cray-1型計算機找到了新的梅森素數244497-1。這件事成了當時不少主流報紙的頭版新聞。後來史洛溫斯基還獨自發現了6個梅森素數，因而被人們譽為「素數大王」。

人們在尋找梅森素數的同時，對它的重要性質——分布規律的研究也一直在進行著。從已發現的梅森素數來看，它在正整數中的分布時疏時密、極不規 則，因此研究梅森素數的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。英、法、德、美等國的數學家都曾經分別給出過有關梅森素數分布的猜測，但他們的猜測都以 近似表達式給出，而與實際情況的接近程度均難如人意。

中國數學家和語言學家周海中是這方面研究的領先者——他運用聯繫觀察法和不完全歸納法，於1992年2月首次給出了梅森素數分布的精確表達式； 後來其猜測被國際上命名為「周氏猜測」。著名的《科學》雜誌有一篇文章指出：這項成果是素數研究的一項重大突破。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得 主阿特勒?塞爾伯格認為：周氏猜測具有創新性，開創了富於啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。

愛因斯坦曾說：「提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題也許只是一個數學上或實驗上的技巧問題。而提出新的問題、新的可能 性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。」周氏猜測的提出已有近20年，目前人們需要做的是破解這一難題。

網格給力 金錢獎賞

網格(Grid)這一嶄新技術的出現使梅森素數的探究如虎添翼。1996年初，美國數學家和程序設計師喬治?沃特曼編製了一個梅森素數計算程 序，並把它放在網頁上供數學家和業餘數學愛好者免費使用，這就是著名的「互聯網梅森素數大搜索」(GIMPS)項目。該項目採取網格計算的方式，利用大量 普通計算機的閑置處理能力來獲得相當於超級計算機的運算能力。1997年美國數學家和程序設計師斯科特?庫爾沃斯基建立了「素數網」 (PrimeNet)，使分配搜索區間和向GIMPS發送報告自動化。現在只要人們去GIMPS的主頁下載那個免費程序，就可以立即參加GIMPS項目去 尋找梅森素數了。

為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術的發展，設在美國的電子新領域基金會(EFF)曾經向全世界宣布了為通過GIMPS項目來探尋梅森素數 而設立的獎金。它規定向第一個找到超過1000萬位數的個人或機構頒發10萬美元。後面的獎金依次為：超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬 美元。當然，絕大多數研究者參與該項目並不是為了金錢，而是出於樂趣、榮譽感和探索精神。

2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家埃德森?史密斯發現了迄今已知的最大梅森素數243112609-1， 該數也是目前已知的最大素數。這個素數有12978189位；如果用普通字型大小將它連續寫下來，長度可超過50公里！這一重大成就被著名的《時代》雜誌評為 「2008年度50項最佳發明」之一。前不久，史密斯獲得了EFF 頒布的10萬美元大獎。不過，史密斯是私自利用學校的75台計算機參加GIMPS項目的；本來這種行為應該被處罰，但鑒於他為學校爭了光，因而還受到了校 方的表彰。

而另一位仁兄就沒有這樣的運氣。美國一家電話公司的僱員麥克?福雷斯特偷偷地使用公司內的2585台計算機參加GIMPS項目；隨後公司發現計 算機經常會出些差錯，本來只需要5秒鐘就可以接通的電話號碼，需要5分鐘才能接通。聯邦調查局最終查到了原因，福雷斯特承認「被GIMPS項目引誘」；他 最後被解僱，並被罰款一萬美元。這隻能說是公事與私事沒有分開，實在令人嘆息。

這些年來，人們通過GIMPS項目找到了13個梅森素數，其發現者來自美國、英國、法國、德國、加拿大和挪威。目前，世界上有180多個國家和 地區超過23萬人參加了這一國際合作項目，並動用了45萬多台計算機聯網來尋找新的梅森素數。目前該項目的計算能力已超過當今世界上任何一台最先進的超級 矢量計算機的計算能力，運算速度達到每秒700萬億次。著名的《自然》雜誌說：GIMPS項目不僅會進一步激發人們對梅森素數尋找的熱情，而且會引起人們 對網格技術應用研究的高度重視。

理論意義 實用價值

梅森素數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑；其探究推動了「數學皇后」——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、程序設計技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。

梅森素數的最新意義是：它促進了網格技術的發展；而網格技術是一項應用非常廣闊、前景十分誘人的高新技術。另外，梅森素數還可用來測試計算機硬體運算是否正確。

由於梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國頂尖科學家馬科斯?索托伊甚至認為：梅森素數探究可以挑戰人類科技與智慧極限，其成果是一個國家科技創新能力的重要標誌之一。

最後，有必要指出的是：梅森素數是否有無窮多個？這是目前尚未解決的著名數學謎題；而揭開這一未解之謎，正是科學追求的目標。讓我們以數學大師希爾伯特的名言來結束本文：「我們必須知道，我們必將知道。」

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