理論物理學的第一課：最小作用量原理

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「新原理研究所」（ID：newprincipia）

如果要羅列一張最美公式的清單，那麼F = ma肯定榜上有名。這個公式表達的是力(F)等於質量(m)乘以加速度(a)，它告訴我們的是，推動一個空的購物車要比一個裝滿食品的購物車更加容易。它與牛頓的另外兩大運動定律，為經典力學奠定了基礎。

通過牛頓力學，我們可以計算出物體的運動方式。例如，飛機起飛需要多少升力、火箭升空需要多大的推力，等等等等，都可以用F=ma來計算。我們可以通過它來理解真實世界的運作方式，這是一件多麼美妙的事啊。

那麼，除了牛頓力學外，是否還存在著其它更好的方式來理解世界的運行呢？答案是有的，這個更好的方式發現於牛頓之後的100 - 150年。當時，拉格朗日、歐拉和哈密爾頓這樣的數學物理巨匠，對經典力學進行了重新表述。新的方式之所以更好，主要表現在以下幾個方面：

首先，它很簡潔。這種簡潔是理論物理所應該具備的。

其次，它很強大。它提供了一種相當直接的新方法來解決複雜的問題。

最後，也是最重要的，它具有普遍性。它提供了一個框架，可以被擴展到所有其它的物理定律，並且揭示了經典力學和量子力學的深層聯繫。

在本文中，你將感受到這個思考事物的新方式為什麼會是物理學中最深刻的結果之一。但是，正如許多其它深刻的結果一樣，它有個非常缺乏想像力的名字：最小作用量原理。

看待事物的新方式

【回顧牛頓力學】

我們先簡單的回顧一下牛頓力學。這裡，考慮一個在位置r(t)的粒子，受到力F的作用。這個力可以從幾個不同的力得到：

假設一個粒子，從起點移動到終點，由於受到作用力，且該作用力所做的功與移動路徑無關，則稱此力為保守力。引力和靜電力都是保守力，但摩擦力不是。

經典力學的目標就是解出不同的力（比如引力、電磁力或摩擦力）的微分方程（如公式）。如果力F是保守力，那麼力就可以表示為公式 ，其中V(r)表示勢能。這時，牛頓方程便可以寫成：

這是一個二階微分方程，它的通解有兩個積分常數。在物理上，這意味著我們需要指定粒子的初始位置和初始速度，才能找出粒子最終會出現在哪裡。

【一個更好的方式】

現在，我們不指定初始位置和速度，而是選擇指定初始位置r(t?)和最終位置r(t?)，並考慮連接這兩個位置的所有可能路徑：

粒子從一個點到另一個點可以採取所有可能的路徑。

那麼現在的問題是，在眾多路徑中，粒子究竟會選取哪一條？

現在，讓我們要做一些看似奇怪的事，給每一條路徑r(t)分配一個數字，我們稱之為作用量（action）：

公式中的被積函數便是拉格朗日量(L)，它表示的是動能與勢能的差值。這裡，我們將得到一個非常重要的結果：

粒子所選取的路徑是作用量的極值。

或許你還記得在學習函數時，如果我們要找到函數的極值，那麼只要將函數微分，並使它等於零就可以了。但是作用量並不是一個函數，而是一個泛函——函數的函數。因此要證明它我們就需要用到所謂的「變分法」。這裡，我們將省略這一結果的證明過程。值得一提的是，當我們取作用量的極值（δS = 0）時便會發現，我們最終會得到公式。要求作用量是極值等價於要求路徑服從牛頓的方程，這是多麼令人驚嘆的結果。

哥倫比亞大學的物理和天文學教授Janna Levin在2017年Edge提出的年度問題「什麼樣的科學術語或概念更應該被廣為人知？」中就推薦了「最小作用量原理」。她寫道：

更簡單的說，最小作用量原理可以被表述為最小阻力原理。如果你在半空中投放一顆球，它會沿著最短的路徑下落到地面，這是在引力的作用下受到最小阻力的路徑。如果球沒有沿著最短路徑下落，例如它繞著不斷擴大的圓環旋轉，並且還返回到空中，你就會知道還有其他的力在起作用——可能是一根隱藏的繩子或一陣狂風。這些額外的力會在它們的數學描述下，讓球沿著最小阻力的路徑運動。最小作用原理是一個古老的原理，它能讓物理學家能在短短一行公式里，分享人類歷史中最深奧的那些概念。用這一行簡短的數學描述來計算在可能空間中的最短路徑，將能讓你發現宇宙起源的故事以及我們宇宙的生態系統的演化。

物理學的統一

拉格朗日法已經遍及所有的物理學，而不僅僅只是停留在力學。所有物理學的基本定律都可以用最小作用量原理來表示。對於電磁學、狹義和廣義相對論、粒子物理學，甚至是追求超越已知物理定律的弦理論，都是如此。

一旦你掌握了所有這些概念，我們就可以將已知的物理寫在一個公式中。（幾乎）所有曾經進行過的實驗，都可以由標準模型的拉格朗日量來解釋：

每一項上的名字，都是其理論的發現者。

如果你無法理解這些符號，不要擔心，你可以把這個公式當做藝術來欣賞。這裡，我只簡單地介紹每一項分別代表了什麼：

前兩項描述了自然界中的四種基本力。在第一項中，引力由時空曲率R表示，愛因斯坦的廣義相對論是目前描述引力最精確的理論。「麥克斯韋」描述了電力和磁力，它們只是單一的電磁力的不同表現。「楊-米爾斯」是麥克斯韋理論的擴展，它告訴我們與強核力（將原子核束縛在一起的力）和弱核力（支配放射性的基本作用力）有關的信息。

第三項是由保羅·狄拉克在1928年所發現的。在思考如何結合相對論和量子力學時，他發現了一個可以描述基本粒子（如電子）的方程。該方程也預言了反物質粒子的存在，並於1931被驗證。狄拉克方程描述了所有已知的物質粒子，包括電子、中微子和夸克，以及它們對應的反粒子。

但是，這些粒子是如何獲得質量的？這個問題曾困擾著許多物理學家，最後的幾項——「希格斯」和「湯川」——就回答了這個問題。

所有已知的基礎物理都被簡潔地寫在了一行公式中，這是多麼振奮人心的成就。這一結果，無疑激勵了許多的學子踏上成為一名理論物理學家的道路。

從經典到量子

【嗅出路徑】

從上文中我們已經知道，最小作用量原理賦予了我們一種看待事物的不同方式：

在牛頓的方法中，粒子運動的方式如下：在每個時刻，粒子都在想「我現在要去哪裡？」它環顧四周，看到勢能，將它微分，然後它說「啊哈，我往這邊走。」接著，在一個無限小的時刻之後，一切又重新開始。

但是在拉格朗日法中則有著非常不同的觀點。現在，粒子所要採取的是作用量最小化的那條路徑。那麼，它又是如何知道哪條路徑是最短的呢？在它決定要走哪條路徑之前，它是否查看了所有可能的路徑？

在某種程度上，這種哲學上的思考是沒有意義的。畢竟，這兩種方法是完全等價的。但是，當我們超越經典力學，而討論量子力學的時候，這種局面就改變了。我們發現，粒子確實嗅了所有可能的路徑！

【費曼的路徑積分】

剛才我們說到了一個自由粒子從r(t?) 到r(t?) 只採取了一條路徑，但根據量子力學，事實上它採取了所有可能的路徑：

的確，這聽起來很不可思議。但量子力學告訴我們，所有可能發生的都會發生。不過它們是有概率性地發生。在最深的層面，自然就是概率性的，事物的發生是隨機的。這是量子力學的關鍵洞見。

要解釋這個問題，首先，我們可以為每一條路徑指定一個復振幅：

這裡每條路徑都有自己的相，它是路徑的作用量的值（單位為?=普朗克常數/2π）。

接著，粒子從r(t?) 到r(t?) 的概率為：

其中A表示振幅，它是一個複數。振幅的計算需要對粒子能走的所有路徑求和，並且在求和中，其中每一路徑都由該路徑的相定義；由此，我們就可以得出概率。回想一下，複數可以表示為二維xy-平面上的小箭頭。箭頭的長度表示複數的大小，而相表示相對於x-軸的角度。換一種說法，每條路徑可以用具有相（角度）的小箭頭表示。把所有箭頭加起來，然後平方，就會得到概率。這便是費曼的路徑積分，有時也被稱為歷史求和。

我們可以通過以下方式來更具象地思考這個問題：當一個粒子移動時，它確實採取了所有可能的路徑。但是，在遠離經典路徑（即遠離作用量的極值）的情況下，相鄰的路徑之間的作用量變化很大，因此不同路徑的總和平均為零：

也就是說，遠離經典路徑，小箭頭表示每個路徑點在隨機方向上的復振幅，它們之間會相互抵消。

只有在接近經典路徑（即接近作用量的極值），鄰近路徑的相才會相互加強：

也就是說，接近經典路徑，小箭頭表示每個路徑點在相同方向上的復振幅，因此它們會相加。這就是經典物理是如何從量子物理出現的。

【眼見為實】

顯然，到這裡，你可能還是不相信量子粒子採取了所有可能的路徑。現在讓我們考慮一個實驗，朝一個帶有雙縫A和B的屏幕發射電子，一次一個：

在牛頓物理中，每一個電子要麼會通過A，要麼通過B。因此，我們預期在屏幕後面會看到兩條並排堆積而成的電子。但是，結果是如此簡單的話就顯得了無生趣了。那麼，我們看的了什麼？我們看到的是一系列明暗條紋的分布（如下視頻所示）！在量子物理中，每一個電子看起來就好像是同時通過了A和B，因此它們會相互干涉！這看起來是如此的難以置信，但卻正是自然真實的運作方式。

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