所謂的無風不起浪竟是這麼回事

知識 09-10

文中為了簡單定量地說明具有微小擾動的液面，在風的作用下會起波浪，引進了少量簡化計算，如果對這部分沒有興趣，可以跳過，直接看得到的結論就可以了。

俗話說「無風不起浪」。是說風在水面上拂過才引起水面的波浪。所以南唐馮延巳有詞說：「風乍起，吹皺一池春水」。南唐馮延巳的詞是說的微風的情形，而且風是「乍起」，即風吹的時間不很長，所以只是把水面吹皺。

如果風速很大，風吹的延續時間又很長，還能夠在江河湖海里掀起驚濤駭浪、翻江倒海。有紀錄顯示，颱風引起的海浪起伏高度竟可達32米。大約有10層樓高！

圖1 風乍起，吹皺一池春水

圖2 驚濤駭浪

從人們的直覺來看，似乎是由於風吹過水麵時空氣與水面的摩擦力把水帶動引起的波浪。其實，沒有那樣簡單。因為要是那樣的話，既然風與水之間的摩擦力，作用在水平面上，總是水平地沿著水平面並指向風吹的方向的，所以風的作用只能帶動表面的水隨著風的方向流動，而不會掀起那樣垂直於水面起伏的波浪。所以實際情況和這種直覺並不符合。

那麼，水到底是怎樣掀起波浪的呢？

這個問題有許多人進行過研究，有的主要考慮風對水面的法嚮應力[3]，當然也有的主要考慮切嚮應力[4]。還有的用數值方法來求解。迄今也很難說有一個公認的結論。

我們這裡利用比較簡單的力學模型來進行定性的討論。

先來看一種情形，如圖設粗線代表已經有一個波浪的水面。風是從左邊吹來的。設想與水面有一定距離的地方，在虛線所畫的那個高度上風速已經是均勻的了。並且設想風是吹過由水面與虛線組成的洞體的。顯然，水面高處A，洞體的截面比起水面低處B的截面要小，所以A處的風速要比B處的風速大。

圖3 風與水面作用的示意圖

流體力學中有一個很重要的定律，就是伯努利定律。這個定律說，在一條流線上，流體質點的速度與在這點的壓強成反比。也就是速度愈大壓強愈小。更具體地說是沿著一根流線，我們設流體質點的速度為v密度為ρ，這點的壓強為p，它們之間有關係

?ρV2+p=常數

從這個定律可以看出，流體速度大的地方，壓強要小，速度小的地方壓強要大。也就是一般地可以說，既然在水面高處風的流速比低處大，那麼在水面高處相對於平均壓強來說是負值，而水面低處取正值。

這就是說，在有風的情況下，只要是水面有了起伏，水面高的地方受一個向上的吸力，而低的地方受一個向下的壓力。

在沒有風，也沒有別的擾動的情形下，水面的自然平衡狀態是水平的。如果有一個擾動，使水面的一個地方鼓起來了，像下圖，中心滴進一滴水。這時，在重力作用下，鼓起的地方就要向下運動，當鼓起的地方達到水平面時，由於向下運動的慣性，那些質點還會繼續向下運動，直到把原來鼓起來的地方向下形成一個坑。這地方形成了坑，原來這地方的水質點便會被擠到四周，使得四周高起來。這時，四周高起來的地方又在重力作用下回落，又要形成一圈環狀的坑，原來坑的地方又會向上運動鼓起來。

就是說，原來鼓起來的地方的水質點，會不斷上下運動，而周圍便形成波，一圈一圈往外傳。隨著波的運動能量往外傳，再加水內部的粘性，運動的振幅逐漸衰減下來趨於平靜，水面又回復水平的平衡狀態。

圖4 水滴引起的波浪

圖5 波浪起伏時流體質點的運動

圖5表示在小振幅的波浪，或者說在線性化表面波理論之下，液體質點的運動軌跡。它們都在沿著一個近似圓的軌跡運動。在質點處於液體愈深則圓半徑愈小，切逐漸變為橢圓。

現在，我們考慮平靜的水平面上有風吹來。從前面討論，我們看出，只要水面有任何的輕微擾動，亦即當水平面有任何一點小的高低不平，於是高的地方就受一個向上的吸力，低的地方就受一個向下的壓力。水面的任何地方都在上下運動，隨著上下運動，同一個地方一會凸起，一會凹下去，凸起來，風就向上吸，凹下去風就向下壓。不過，由於凸面不管是在上升還是下降都向上吸，凹面也是不管是上升還是下降都是向下壓，所以這種情況下並不會有能量輸入。水面的波動也不能夠保持。

現在我們要問，當水面經過微小的擾動凸起來後，怎樣的風速能夠使這個凸起維持？顯然，如果風速比能夠維持水面凸起略微大一點，因為凸起的地方受風的作用向上吸，凹面受風的作用向下壓，波浪就會維持和繼續升高。為此，我們做下面的簡單估算：

考慮圖3上的A點，大氣的密度為ρ風速為v；我們還由小振幅重力波理論知道，水面上A點的運動軌跡是一個以R為半徑的圓，不妨設這個質點的運動周期為T，我們知道水的密度是1000 kg/m3，重力加速度為g，A點的速度是2πR/T顯然質點A所受慣性力和風力與重力相平衡的條件，即風對A點向上吸力加上A點做圓周運動的向上的慣性力應當和A點所受的重力相平衡，這就是：

?ρV2/R+1000(2πR/T)2/R=1000g

密度用ρ=1.29kg/m3代入,近似用g=10m/s2，π2=10代入，就近似得到：

V2=800R（10-40 R/T）

由於式中左邊為正，所以右端必須有R/T

上面我們是對於水面上一個質點微小擾動後所受的重力、風力和慣性力來討論，他被風「掀起」的條件。現在我們換一個角度來討論風壓對這個被擾動後的液面所做的功。

設在傳播中的波面的表達式為:

y=Asin2π（x/l — t/T）

其中y是波表面質點相對於水平面的高度，T是周期，l是波長，A是波幅。

我們知道，力乘物體的速度，就是力做功的功率。現在我們來考慮空氣壓力作用在行波面上做功的功率。為此，我們計算上下運動的速度:

其中u=dx/dt，是波傳播速度。

現在考慮作用在波面上的壓強。我們前面討論過，風壓的分布是隨液面的起伏不同，扣除平均大氣壓力，在波面高處，有向上的吸力，在低處有向下的壓力。在實際情形下，壓強的最大處並不是出於如圖3波面的最高處，而是略微偏右一點，也就是略微偏向波面最高點的背風面。這種情況就使壓強的表達式有一個小的位相偏移量δ即

p=Bsin(x/l — t/T—δ)

為簡單計，令α=x/l —t/T，於是在一個振蕩周期中，風壓對波面所做的功率在一個振蕩周期上的積分為

積分是從0到T。

由於：

把它代入上式，經過簡化和積分就得到:

由於積分前面的係數都是正的，被積函數又是平方項，顯然這是一個正值的積分。就是說，風壓對波面不斷做正功。也就是說，只要是有風，它就會不斷向有微小擾動的液面輸入功，從而增加液體的動能。這就是只要風不斷吹，波浪就會不斷升高的道理。

綜合以上的討論我們看到，在用前面的式子求出的風速的條件下，水平的水面平衡是不穩定的。就是說風速的任何增加都會使水面離水平面越來越遠。這就是為什麼，風一吹，水面就起波浪，也就是「風咋起，吹皺一池春水」的道理。

不過又會產生一個問題，既然有風持續吹，波浪就會越來越高，是不是就會無限高下去呢？

不會的，我們知道波浪往遠處傳就相當於把能量傳播出去，另外水的粘性也會消耗一部分能量，這樣，當風輸入的能量和波傳播以及水的粘性消耗的能量平衡時，即使風繼續吹，波浪也不會再高上去，而會維持在一個高度上。一般說來風速越大持續的時間越長浪越高。下面這張表，就是一張在風吹的條件下風速和海浪高度的對照表。它對於航海的人和漁民還是很有參考意義的。因為從氣象台知道了預報的風速，就能夠大致估計出浪高，就會估計是不是適宜出海。

風力等級和風速的關係對照表

在圖3上，我們看到的情形是在水面有起伏時，水面上的空氣流動還是貼著水面流動的，也就是說空氣的流動還沒有產生漩渦。

實際上，在波浪的形成的水面背風面陡度增加到一定程度，在浪的背風處就會有風的漩渦產生。

如圖5我們看到在波浪背風的地方產生了風的漩渦。我們知道漩渦中心的壓強很小，所以那裡的吸力更大。這就說明當波浪高到一定程度，波浪的形狀便會是順風的一側更高。這種壓差，一方面使波浪順著風吹的方向前進，這就表現為行波，即波的高度不變，但它的波峰以一定的速度順風前進；另一方面背風渦的壓差使得波的形狀愈來愈不對稱，即背風面愈來愈陡，這種趨勢不斷發展下去波浪就會破碎產生如圖7那樣的效果。在實際中就會出現浪花、波浪倒卷、波浪翻滾、驚濤駭浪的情況。

最後，回過頭來說一說風和水面的摩擦力的問題。我們看到風引起的波浪起伏主要是由於風引起水面壓強變化。原因是風與水面的摩擦力很小，是因為空氣和水之間的黏性係數很小，只佔次要的位置，所以在討論風引起的波浪時可以忽略不計。

還應當指出的是，如果有兩種比重不同的流體，而且上面比重小的那一層在以一定的速度流動，兩層流體之間也會有波動。這和風與水波的情形是類似的。在具有泥沙的水庫放水時就有這種情形，這時，比重大的泥漿在下面，上面含泥沙較少的水流動，就會激起下面泥漿的波動。如果控制得好，就會把水庫里的泥沙帶走，使水庫的泥沙沉積減緩。這就是平常說的異重流的問題。