什麼是幾何學——在復旦大學的演講

編者註：陳省身，1911-2004，浙江嘉興人，中國近代最有成就的數學家之一，在整個數學史上也有崇高地位。楊振寧先生有一句詩「千古寸心事，歐高黎嘉陳」，點出歷史上五位最重要的幾何學家，第五位就是陳省身。國際數學家聯盟設立的四個重要獎項中，有一個陳省身獎，就以陳省身命名，與頒發給年輕人的菲爾茲獎不同，它是對數學家終身成就的肯定。以他的名字命名，本身就是國際數學界對陳省身先生一生卓越成就的高度認可。這是陳省身1999年9月24日在復旦大學求實基金會科學獎的頒獎儀式上所作的學術報告。這是復旦大學楊武之講座的第一講。原載於《陳省身文集》，張奠宙、王善平編，華東師範大學出版社，2002年。

陳省身獎章，自2010年開始頒發，獎金是25萬美元，遠遠高於菲爾茲獎的獎金1.5萬加元（在當前匯率下，可摺合11367美元），也高於高斯獎1萬歐元（當前匯率下，摺合11551美元）。大致說來，陳省身獎的含金量位於沃爾夫數學獎（10萬美元）與阿貝爾獎（74萬美元）之前，這三個獎都是表彰數學獎終生成就的。陳省身先生本人是1983年的沃爾夫數學獎得主。目前只有兩位華裔數學家獲此殊榮，另一位是丘成桐，他是陳省身的博士。

以下是正文（編者對文字略有調整）：

今天授獎的儀式很隆重，聽了許多人的演講，我非常感動。有機會在此演講，自己覺得非常榮幸，也非常高興。

我想從現在起，我們就像平常上課一樣，不怎麼嚴肅，隨便一點。我帶了一些材料，非常遺憾的是沒法投影。不投影也可以，我沒有什麼準備。大家希望我講一點幾何學，我的演講題目是《什麼是幾何學》。我雖然搞了幾十年的幾何工作，但是很抱歉的一點是，當你們聽完演講後，不會得到很簡單的答案，因為這是一門廣泛而偉大的學問。最近幾十年來，幾何學有非常重要的發展，跟許多其它的科學不但有關係、有作用，而且是基本的因素。

講到幾何學，我們第一個想到的是歐幾里得。在世界出版物中，除了基督教的《聖經》之外，歐幾里德的《幾何原本》大概是銷售最多的一本書了。這本書在中國有翻譯，譯者是徐光啟與利瑪竇。

利瑪竇與徐光啟

徐光啟(1562--1633）是中國了不得的學問家，利瑪竇（M. Ricci）是到中國來的義大利傳教士。他們只翻譯了六章，中文本是在1607年出版的。我們現在通用的許多名詞——例如平行線、三角形、圓周等這類名詞，我想都是徐光啟翻譯的。當時沒有把全書翻譯完，差不多隻翻譯了半本，另外還有半本是李善蘭和偉烈亞力翻譯的。偉烈亞力(A.Wylie）是英國傳教士。很高興的是，李善蘭是浙江海寧人。

海寧是嘉興府的一縣，我是嘉興人，所以我們是同鄉（掌聲）。對了，查濟民（註：香港求是科技基金會1994年由著名實業家査濟民先生創立）先生也是海寧人（掌聲）。

推動幾何學第二個重要的、歷史性發展的人是Descarte（1596--1650），中國人翻譯成為笛卡兒。他是法國哲學家，不是專門研究數學的。他用坐標的方法，把幾何變成了代數。當時沒有分析或者無窮的觀念。所以他就變成代數。我想笛卡兒當時不見得覺得他這貢獻是很偉大的，所以他的幾何論文是他的哲學引裡面最後的一個附錄，附屬於他的哲學的。

這個思想當然在幾何上是革命性的，因為當把幾何的現象用坐標表示出來時，就變成了代數現象。所以你要證明說一條直線是不是經過一個點，你只要證明某個數是不是等於零就行了。這樣就變成了一個簡單一點的代數問題。當然並不是所有的幾何問題都要變成代數問題，有時候變為代數問題後，反而比原來的問題更加複雜了。但這個關係是基本性的。

笛卡爾 （他的一句名言是：我思，故我在）

笛卡兒發現的坐標系，我們大慨在中學念解析幾何都學到。有一點是這樣的（我的圖可惜現在沒法投影出來）給定一條直線，直線上有一個原點，其它的點由它的距離x來確定，然後經過x沿一定的方向畫一條直線，那麼y坐標就是在那條在線從x軸上這個點所經的距離，這就是笛卡兒的坐標，英文叫Cartesian坐標。它的兩條線不一定垂直。

不知道哪位先生寫教科書時把兩條線寫成垂直了，因此x坐標與y坐標對稱了。笛卡兒的兩個坐標不是對稱的，這是他非常重要的觀念，我們現在就叫纖維叢。

這些跟y軸平行的直線都是1纖維，是另外的一個空間。原因是這樣的：你把它這樣改了之後，那條直線就不一定要直線，可以是任何另外一個空間了。這樣可以確定空間里點用另外一組坐標來表示。所以有時候科學或數學不一定完全進步了，有時候反而退步了（笑聲）。

笛卡兒用了這個坐標，就發現，我們不一定要用Cartesian坐標，可以用其它坐標，比如極坐標。平面上確定一個點，稱為原點，過這點畫一條射線，稱為極軸。這樣平面上的點，一個坐標是這點與原點的距離，另外一個是角度，是這點與原點的聯線與極軸的相交的角度，這就是極坐標。因此極坐標的兩個坐標，一個是正數或零，另外一個是從零到360度的角度。當然我們都知道，還可以有許多其它的坐標，只要用數就可以確定坐標。

因此，後來大家弄多了的話，就對幾何作出了另外一個革命性的貢獻，就是說，坐標不一定要有意義。只要每組數能定義一個點，我們就把它叫坐標（例如，在地球上每一點有經度和緯度）。從而幾何性質就變成坐標的一個代數性質，或者說分析的性質。這樣就把幾何代數化了，幾何就變成形式化的東西了。

這個影響非常之大，當然這個影響也不大容易被接受，比如愛因斯坦。愛因斯坦發現他的相對論，特殊相對論是在1908年，而廣義相對論是在1915年，前後差了7年。愛因斯坦說，為什麼需要7年之久我才能從特殊相對論過渡到廣義相對論呢？他說：「因為我覺得坐標都應該有幾何或物理意義。」愛因斯坦是一個對學問非常嚴謹的人，他覺得沒有意義的坐標不大容易被接受，所以耽誤了很多年以後，他才不得不接受，就是因為空間的概念被推廣了。

抱歉，我忘掉了一段。我現在是講書（編者註：陳先生在開玩笑，他的意思是自己在「說書」），講書忘掉了補充一下是無所謂的，講錯了也不要緊（笑聲）。同樣我回頭再講一點歐幾里得。

那時的歐幾里得的《幾何原本》並不僅僅是幾何，而是整個數學。因為那時候的數學還沒有發現微積分，無窮的觀念雖然已經有了，不過不怎麼普遍。我再說一點，就很可惜的是，歐幾里得的身世我們知道得很少，只知道他大概生活在紀元前三百年左右。他是亞歷山大學校的幾何教授，他的《幾何原本》大概是當時的一個課本。

亞歷山大大學是希臘文化最後集中的一個地方。因為亞歷山大自己到過亞歷山大，因此就建立了當時北非的大城，靠在地中海。但是他遠在到亞洲之後，我們知道他很快就死了。之後，他的大將托勒密管理當時的埃及區域。托勒密很重視學問，就成立了一個大學。這個大學就在他的王宮旁邊，是當時全世界偉大的大學，設備非常好，有許多書。很可惜，由於宗教的原因，由於眾多的原因，現在這個學校被完全毀掉了。當時的基督教就不喜歡這個學校，己經開始毀壞了，然後回教人佔領了北非之後，就大規地破壞，把圖書館的書都拿出來燒掉。所以現在這個學校完全不存在了。

幾何是很重要的，因為大家覺得幾何就是數學。比方說，現在還有這一印象，法國的科學院，它的數學組叫做幾何組。對於法國來講，搞數學的不稱數學家，而叫幾何學家，這都是受當時幾何的影響。當時的幾何比現在的幾何的範圍來得廣。不過從另一方面講，現在的範圍更廣了，就是我剛才講到的，坐標不一定有意義。一個空間可以有好幾種坐標，那麼怎樣描述空間呢？這就顯得很困難，因為空間到底有什麼樣的幾何性質，這也是一個大問題。高斯與黎曼建立和發展了這方面的理論。

高斯

高斯是德國人，我想他是近代數學最偉大的一個數學家。黎曼實際上是他的繼承人，也是德國教學家。他們都是哥廷根大學的教授。可惜的是，黎曼活看時身體不好，有肺結核病，四十歲就死了。他們的發展有一個主要目的，就是要發展一個空間，它的坐標是局部的。空間里只有坐標，反正你不能講坐標是什麼，只知道坐標代表一個點，所以只是一小塊里的點可以用坐標表示。因此雖然點的性質可以用解析關係來表示，但是如何研究空間這就成了大問題。

在這個之前，我剛才又忘了一個，就是基礎的數學是歐幾里得的書，但是歐幾里得的書出了一個毛病。因為歐幾里得用公理經過邏輯的手段得到結論。例如說，三角形三角之和一定等於180度，這是了不得的結果。歐幾里得可以用公理幾步就把它證明了，是一個結論。這個比現代的科學簡單得多了。

我們剛才聽了很多話，科學家做科學研究，第一樣就是跟政府要錢，跟社會要錢，說你給了我錢，我才能做實驗。當然，實驗是科學的基礎。但是這樣一來就會有許多的社會問題和政治問題。歐幾里得說，你給我一張紙，我只要寫幾下，就證明了這個結果。不但如此，我是搞數學的，我說數學理論還有優點，數學的理論可以預測實驗的結果。不用實驗，用數學可以得到結論，然後用實驗去證明。當然實驗有時的證明不對，也許你的理論就不對了，那當然也有這個毛病。

歐幾里得的公理是非常明顯的，但是他有一個叫第五公設的有名公理出了問題。這個第五公設講起來比較長，但是簡單地說，就是有一條直線與線外一點，經過這點只有一條直線與這條已給的直線平行。這個你要隨便畫圖的話，覺得相當可信。可是你要嚴格追問的話，這個公理不大明顯，至少不如其它公理這樣明顯。所以，對當時數學界喜歡思考的人來說，這個第五公設是個大問題。當時最理想的情形是：第五公設可以用其它的公理推出來，這就變成一個定理。那就簡單化了，並且可做這個實驗。我們搞數學的人有一個簡單的方法，即反證法，就是我要證明這個定理，我先假定這個定理不對，看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾，就證明它是對的了。有人就想用這個方法證明第五公設，但是都失敗了。我們現在知道，這個第五公設並不一定對，經過一點的並行線可以有無數條，這就是非歐幾何的發現。

非歐幾何的發現，它的社會意義很大，因為它表示空間不一定只有一個。西洋的社會相信上帝只有一個，怎麼會有兩個空間，或者很多個空間呢？當時這是個很嚴重的社會問題。不止是社會問題，同時也是哲學問題。像德國大哲學家康德，他就覺得只能有歐氏幾何，不能有非歐幾何。所以當時這是一個很大的爭論。

非歐幾何的發現者，一個是J.Bolyai，匈牙利人，在1832年；一個是Lobachevski，俄國人，在1847年。不過我剛才講到大數學家高斯，我們從他的種種著作中知道，他完全清楚，但他沒有把它發表成一個結論，因為發表這樣一個結論，是會遭到別人反對的。因此就有這麼一個爭論。後來到了1868年，義大利的幾何學家Beltrami，他在歐幾里得的三維空間里造了一個曲面（稱為偽球面，pseudosphere），這個曲面上的幾何就是非歐幾何，這對於消除大家的懷疑是一很有利的工具。因為上述結果是說，假定有一個三維的歐幾里得空間，就可以造出一個非歐幾何的空間來，所以在歐幾里得的幾何中亦有非歐幾何。你假定歐幾里得幾何，你就得接受非歐幾何，因此大家對非歐幾何的懷疑有種種的方法慢慢給予解除。

偽球面，它是由一條無限長的曲線旋轉生成，惠更斯曾表明，它具有有限的面積和體積（參見 https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudosphere）.

我剛才講到高斯與黎曼把坐標一般化，使坐標不一定有意義，這對幾何學產生的問題可大了。因為空間就變成一塊一塊拼起來的東西。那想怎麼去研究它呢？怎麼知道空間有不同的性質呢？甚至怎麼區別不同的空間？我這裡有幾張圖，畫了幾個不同的空間，可惜我沒法把它投影出來（編者註：以下我們選取了幾個有代表性的曲面）。不過，總而言之，空間的個數是無窮的，有很多很多不同的空間。

托里拆利小號（由雙曲線 y=1/x 的一支沿著坐標軸旋轉生成）

由

x= 2 + cosz旋轉生成的曲面

歐拉1744年發現的懸鏈面

馬鞍面，又稱為雙曲拋物面

現在對於研究幾何的人就產生一個基本問題：你怎樣去研究它。這樣一個基本的學問現在就叫topology，拓樸學。它是研究整個空間的性質，如什麼叫空間的連續性，怎樣的兩個空間在某個意義上是相同的，等等。這樣就發展了許多許多的工具。這個問題（等價問題）黎曼也討論了。

黎曼生活在1826~1866年。德國的教學制度在博士畢業之後，為了有資格在大學教書，一定要做一個公開演講，這個公開的演講就是所謂Habilitationschrift。

黎曼在1854年到哥廷根大學去做教授，做了一個演講，這個在幾何上是非常基本的文獻，就討論了這些問題。如何研究這種空間呢？要研究這種空間，如果你只知道空間是隨便追磨一塊塊拼起來的話，就沒有什麼可以研究的了。於是你往往需要一個度量，至少你知道什麼叫兩點之間的距離，你怎應去處理它呢？就需要解析的工具。往往你把距離表為一個積分，用積分代表距離。黎曼1854年的這篇論文，是非常重要的，也是幾何里的一個基本文獻，相當一個國家的憲法似的。愛因斯坦不知道這篇論文，花了七年的時間想方設法也要發展同樣的觀念，所以愛因斯坦浪費了許多時間。黎曼這篇論文引進的距離這個觀念，是一個積分，在數學界一百多年來有了很大的發展。

第一個重要的發展，是黎曼幾何應用到廣義相對論，是相對論的一個基本的數學基礎。現在大家要念數學，尤其要念幾何學的話，黎曼幾何是一個最主要的部分，這個也是從黎曼的演講開始的。現在黎曼幾何的結果多得不得了，不但是幾何的基礎，可能也是整個數學發展的基礎。

我剛才提到一百多年來的發展。所謂的黎曼幾何，實際上是黎曼的論文的一個簡單的情形，是某個特殊情形。黎曼原來的意思，廣義下的意思，有個人做了重要的工作，是一個德國人，名叫芬斯勒(Finsler)。所以這部分的幾何就叫芬斯勒幾何。他在1918年在哥廷根大學寫了一篇博士論文，就講這個幾何。

這個幾何後來發展不大多，因為大家不知道怎麼辦。如果這個度量的積分廣了一點，對應的數學就變複雜了，不像黎曼的特殊情形這樣簡單。黎曼這情形也不簡單。黎曼普通地就寫了一個ds 的平方等於一個兩次微式，這個ds積分一下就代表弧的長度。怎樣研究這樣的幾何，這是需要一個像黎曼這種天才，才有辦法。黎曼就發展了所謂的黎曼曲率張量。你若要搞這類幾何的話，就要有張量的觀念。而空間的彎曲性，這個彎曲性解析表示出來也比較複雜了，就是黎曼的曲率張量。

我們現在大家喜歡講得獎。我們今天發獎，有獎金，要社會與政府對你的工作尊重。當年的時候你要搞數學的話，如果沒有數學教授的位置，就沒有人付你工資。一個主要的辦法就是得獎金。有幾個科學院它給獎金，得了獎金後你當然可以維持一段時間，因此就很高興。不過很有意思的是，我想Riemann-Christoffel曲率張量是一個很偉大的發現，黎曼就到法蘭西科學院申請獎金。科學院的人看不懂，就沒有給他。所以諸位，今天坐在前排幾位你們都是得獎人，都是得到光榮的人，我們對於你們寄予很大的期望；後面幾排的大多數人沒有得過獎，不過我安慰大家，沒得過獎不要緊，沒得過獎也可以做工作。我想我在得到學位之前，也沒有得過獎。得不得到獎不是一個很重要的因素，黎曼就沒有得到獎。他的Riemann-Christoffel張量在法蘭西的科學院申請獎沒有得到。

最近雖然在黎曼幾何上有很多發展，非常了不得的發展，但是大家對於一般的情形，黎曼論文的一般情形，即芬斯勒幾何，沒有做很多貢獻。很巧的是，我在1942年曾寫了一篇芬斯勒幾何的論文，就是找能把黎曼幾何的結果做到芬斯勒幾何的情形。最近，有兩位年輕的中國人，一個叫鮑大維，一個叫沈忠民，我們合寫了一本關於芬斯勒幾何的書。這本書就要在Springer Verlag出版，屬於它的研究生數學教材(GTM)叢書。編輯對於我們的書也很喜歡，給了我們一個很有意思的書號:200。

書就在這裡，我想這本書等會我會交給谷超豪教授，就把它放在復旦大學的某個圖書館裡（掌聲）。我們這本書有一個小小的成就，就是把近一百年來最近在黎曼幾何上的發現，我們把它推廣到一般的情形，即黎曼-芬斯勒情形。這是黎曼當年的目的。黎曼當然非常偉大，不過他對於一般的情形不是很重視，他甚至在他的文章里講這裡沒有新的東西，我們就把他說的沒有的新東西做了一些出來。

我知道我旁邊坐了兩位偉大的物理學家(編者按：可能指楊振寧先生與復旦大學校長楊福家教授)。接下去我想班門弄斧一下，談一下物理與幾何的關係。

我覺得物理學裡有很多重要的工作，是物理學家要證明說物理就是幾何。比方說，你從牛頓的第二運動定律開始。牛頓的第二定律說，F=ma，F是力，m是質量，a是加速度，加速度我們現在叫曲率。所以右邊這一項是幾何量，而力得當然是物理量。所以牛頓費了半天勁，他只是說物理就是幾何（大笑，掌聲）。

不但如此，愛因斯坦的廣義相對論也是這樣。愛因斯坦的廣義相對論的方程說

你仔細想想，他的左邊是幾何量，是從黎曼度量得出來的一些曲率。所以愛因斯坦的重要方程式也就是說，幾何量等於物理量（掌聲）。

不止是這些，我們可以一直講下去。我們現在研究的空間叫流形，是一塊塊空間拼起來的。這個流形不好研究。流形上的度量，你如果要把它能夠用方程寫下來的話，你一定要把流形線性化，一定要有一個所謂的矢量空間，叫切空間。矢量空間有一個好處，它的矢量可以相加，可以相減，它還有種種不同的乘法。所以你就可以用解析的方法處理幾何的情形。那麼一般的流形怎麼處理呢？數學家的辦法很簡單，就是在流形的每一點弄一個切平面。每一點都有個矢量空間，叫切空間，跟它相切，歐幾里得空間只有一個切空間。

現在的空間情況複雜了一些，每點都有一個切空間，但都是平坦空間。這個現象在幾何上有一個重大的發展，就是把切空間豎起來。反正是一把矢量空間，給流形的每點一個矢量空間，不一定要是流形的切平面或切空間。我們就叫它為纖維叢，或叫矢量叢，矢量空間叢。這個我想比愛因斯坦的（相對論）還要重要。

麥克斯韋方程就是建立在一個矢量叢上。你不是要一把矢量空間嗎？最好的是一把筷子，這裡一維最好是復一維。這把筷子每個都是復空間，它是騙人的一維，其實是二維，是複數空間。有複數就好玩了。現在是一把複線，你如果能有法子從這個纖維到另外一個纖維有一個我們所謂的平行性的話，你就立刻得到麥克斯韋方程。

現代文明都靠電，控制電的方程的是麥克斯韋方程。現在纖維叢上有一個平行性，這個平行性的微分，等於電磁場的強度F，然後你把這個F再求它的另外一種微分（余微分）的話，就得到流矢量J。用兩個簡單的式子，就把麥克斯韋方程寫出來了。普通你要念電磁學的書的話，當然需要了解電磁的意義，對此我不了解。但是要了解電磁學的意義，把方程全部寫出來的話，書上往往是一整頁，種種的微分呀什麼的，講了一大堆。其實簡單地說，也就是平行性的微分是場的強度，而場的強度經過某個運算就得到它的流矢量。這就是麥克斯韋方程，與原來的完全一樣。所以麥克斯韋方程就是建立在一維的纖維叢上，不過是一個復一維的纖維叢。你怎樣把每個纖維拼起來呢？我們需要群的觀念。

有一個群，群里有一個運算，把一個纖維可以挪到另一個纖維。纖維如果是一維的，即使是復一維的話，我們需要的群仍舊是可交換的群。楊振寧先生了不得。他可以用到一個不必交換的群，也很簡單，我們叫做SU(2)群。用SU(2)聯絡，把同樣的方程式寫出來，就是楊振寧-米爾斯方程：

這有不得了的重要性。

我們搞幾何學的人覺得有這樣的關係，物理學家說你這個關係跟物理有關係，並且有基本的重要性，這是非常困難的。比方說像去年獲諾貝爾獎的，我想大家都知道崔琦的名字，做理論方面的所謂霍爾效應，也用到我們這些工作。我們說我們專搞曲率。你要開一個車，路如果彎得多了的話你就要慢下來，直的話你就沖，這就是曲率。曲率要是在高維就比較複雜了，不過也是一些代數，並且可以做得很巧妙。我的一個朋友，也是學生，叫賽蒙斯。我們所做的工作就是曲率，就對崔琦跟他們一群得諾貝爾獎的有好處。所以一般講來，在房子里我們只管掃地，想把房子弄弄乾凈，弄弄清楚，然後有偉大的物理學家來說，你們這個還有道理（大笑，掌聲），這個我們也很高興。

陳省身的學生與合作者 賽蒙斯

現在幾何不僅應用到物理，也應用到生物學中。講到DNA的構造，是一個雙螺線，雙螺線有很多幾何，許多幾何學家都在研究這個問題。現在許多主要的大學，念生物的人一定要念幾何。現在有很多人研究大一點的複合物，這是分子，是由原子配起來的。原子怎麼個配法就是幾何了。這些幾何的觀念不再是空虛的，有實際上的化學的意義。

數學比其它科學有利的地方，是它基本上還是個人的工作。即使在僻遠的地方，進步也是可能的。當然搞數學需要幾個朋友，得切磋之益。我就講到這裡，謝謝大家。

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