從藍眼睛問題，看群眾理解能力的巨大差異

最新 09-11

關注風雲之聲

提升思維層次

導讀

一個藍眼睛島問題，能引出十個層次的思考，真是非常驚人。第一個層次是，用數學歸納法證明n個藍眼人會在n天后一起自殺。第五個層次是：遊客到底有沒有帶來新信息？回答是：確實有！這裡是藍眼睛島問題真正的困難所在。請仔細想想，你思考到了哪個層次？

大家好，教師節到了，讓我們對全世界所有的教師，致以節日的祝福和崇高的敬意！

教師節

作為一個教師，我最近的一項教學活動，就是給同學們講解一個著名的邏輯問題「藍眼睛島問題」。這個問題來自當代的天才數學家、菲爾茲獎獲得者陶哲軒。在2018年8月16日和23日，我做了兩期「科技袁人」視頻節目來詳細解讀藍眼睛島問題（B站視頻見https://www.bilibili.com/video/av29527174和https://www.bilibili.com/video/av30113899，文字版本見https://mp.weixin.qq.com/s/dWB7DY5aPsbdfhZ2ByiaNQ和https://mp.weixin.qq.com/s/ryMGPZtiUMR1vXI970dckA）。

陶哲軒

講解的效果怎麼樣呢？我欣慰地看到，許多同學看明白了。有些同學不但自己完全理解了，而且還寫了許多有深度的評論，幫助其他同學理解，例如B站的「莫荒雞」同學。這樣的學生，是最有前途的！

這是令人欣慰的。令人不那麼欣慰的是，仍然有許多同學沒看明白。最令我吃驚的是，許多人的疑惑，是我在視頻中已經清清楚楚解讀過的。例如我已經明確說了，如果沒有遊客，島上的人不會自殺，但許多人仍然認為在遊客來之前島民就應該自殺。又如我已經明確說了，遊客帶來了新信息，但許多人仍然認為遊客沒有帶來新信息。

我在評論區看到了很多長篇大論的謬論，把各種有可能犯的錯誤都犯了個遍。我不禁想問了：你們與其費這麼大勁寫這麼多漏洞百出的東西，為什麼不先好好看看視頻？難道你們沒發現，你們的問題老師在課堂上早就回答過了嗎？

由此可見，許多人的問題是：閱讀理解能力太差！這是個非常基本的缺陷，是最基礎的學習能力、溝通能力的問題。有這種缺陷的同學們請注意了，如果不先改進閱讀理解能力，那麼你很難跟別人進行有效的交流。你即使很努力地想學習什麼、思考什麼，也很容易變成事倍功半，把自己和別人都累得半死，結果還是錯誤百出。

以上是說明閱讀理解問題的重要性。從我這個角度而言，可做的就是換一種敘述方式，儘可能明晰地重新給同學們講解一下藍眼睛島問題。

這個問題之所以很奇妙，是因為其中涉及到若干個層次的思考，不像一般的問題只涉及一個層次。許多同學在低層次上能想明白，但在高層次上就過不去坎兒了，被繞得七葷八素。如果我們明確地指出，藍眼睛島問題分為哪些層次，想必會對同學們大有幫助。

藍眼人

第一個層次是：這個問題本身的答案是什麼？回答是：遊客說話之後n天，所有n個藍眼人一起自殺。

第二個層次是：棕眼人會不會自殺？回答是：不會，因為他們不知道島上眼睛顏色只有兩種。

第三個層次是：如果沒有遊客，島民們會不會自殺？回答是：不會，因為沒有推理的起點。

第四個層次是：為什麼我們要關心「遊客有沒有帶來新信息」這個問題？回答是：只有新的信息才能造成新的結果，這是一個常識，但藍眼睛島問題似乎推翻了這個常識。我們希望搞清楚，錯誤的是這個常識，還是「遊客沒有帶來新信息」這個印象。

第五個層次是：遊客到底有沒有帶來新信息？回答是：確實有！新信息不是遊客的話「島上有藍眼人」，而是一個n階的知識。這是超越常規，令人吃驚的。

第六個層次是：為什麼這個n階的知識是一個新信息？回答是：因為在遊客公布之前，通過互相觀察，島民們最多只能獲得n - 1階的知識。

第七個層次是：這個新信息是如何發揮作用的？回答是：新信息使島民們有可能通過一個判決性的實驗，來推出自己的眼睛顏色。這個判決性實驗的做法，就是等待和觀察。

第八個層次是：在邏輯學上，如何描述遊客發言的效果？回答是：遊客通過公布一個島民早已知道的信息，把它從弱共識提升到了強共識。

第九個層次是：如何解答藍眼睛島問題的各種變體，例如遊客在第二天有什麼辦法可以減少傷亡？回答是：如果你理解了前面這八個層次，那麼你就能解答種種擴展問題。而如果你前邊就在某個層次卡殼了，那麼你當然就會被越繞越糊塗。

第十個層次是：在現實生活中，哪些現象可以用這些道理來理解？回答是：就是我在原文中舉的那些例子，《皇帝的新裝》、語言通訊模型和摩爾定律等等。請注意，許多人舉暗戀和表白的例子，但這個例子是錯誤的！暗戀表白並不是把弱共識變成強共識，而是原本沒有共識。不要忘記，弱共識也是共識哦。

一個藍眼睛島問題，能引出十個層次的思考，真是非常驚人。請仔細想想，你思考到了哪個層次？

你能達到的層次越高，說明你的思維越有深度。如果你完全理解了所有這十個層次，那麼祝賀你，你的思維非常清晰，而且有創造性，我們希望你為人類做出更大的貢獻。如果你卡在了某個層次，那麼請仔細想想，自己缺乏的是什麼，是什麼阻止了自己做出深入的思考。

好，下面我們就以儘可能簡單清晰的語言，依次解讀藍眼睛島問題的這十個層次。首先，讓我們回顧一下問題本身：

「在一個島上，住著一個部落。這個部落由1000個人組成，這些人有多種眼睛顏色。他們有一種宗教信仰，禁止他們了解自己眼睛的顏色，甚至禁止他們討論眼睛顏色這個話題。因此，每個居民都能看到所有其他居民的眼睛顏色，但卻不能發現自己的眼睛顏色（這裡沒有鏡子或者諸如此類的東西）。如果一個島民知道了自己的眼睛顏色，那麼他們的宗教就會強制他們第二天中午在村莊廣場上自殺，讓所有人都看到。所有的島民都非常邏輯和非常虔誠，他們也都知道其他人也非常邏輯和非常虔誠。在這裡，『非常邏輯』的意思是，如果從島民已知的信息和觀察中可以推理出任何結論，那麼島民必定會知道這個結論。

實際上，在這1000個島民中，100個人的眼睛是藍色，900個人的眼睛是棕色。不過，島民最初並不知道這些數據。因為，每個人只能看到除自己之外的999個人的眼睛顏色，看不到自己的眼睛顏色。

有一天，一個藍眼睛的遊客來到了島上，並且獲得了部落的完全信任。一天晚上，他向整個部落的人致辭，感謝他們的款待。

然而，由於不了解當地的風俗習慣，這位遊客犯了一個錯誤，在他的講話中提到了眼睛的顏色。他說了一句：『真是有趣呀，在這裡能看到像我這樣的藍眼睛的人！』請問，遊客的失言對部落會不會產生影響？如果有，是什麼影響？」

如何解決這個問題？最快速而且嚴格的方法是，用數學歸納法來證明下面這個定理：如果島上有n個藍眼人，那麼在遊客發言的n天后，所有這n個藍眼人一起自殺。

大家都知道數學歸納法是什麼吧？這是高中的數學知識。如果沒學過的話，我來解釋一下。如果一個與自然數n有關的命題f(n)滿足以下兩個條件，那麼這個命題就對於所有的自然數都成立。這兩個條件是：（1）對於n = 1的情況，f(1)成立；（2）對於任何一個自然數k，假如f(k)成立，就可以推出f(k+ 1)也成立。顯然，根據這兩個條件，從f(1)成立就可以推出f(2)成立，從f(2)成立就可以推出f(3)成立，如此等等。無限遞推下去，結果就是對所有的自然數都成立。

好，我們來用數學歸納法證明藍眼睛島問題的上述定理：如果島上有n個藍眼人，那麼在遊客發言的n天后，所有這n個藍眼人一起自殺。

對於n= 1的情況，也就是說島上只有一個藍眼人，他在聽到遊客說「島上有藍眼人」之後，四處一望沒看到藍眼，立刻推出遊客說的藍眼人就是他。於是，他會在遊客發言之後一天自殺。

如果對於n= k的情況，這個命題是成立的，現在我們來考慮n = k + 1的情況。基於n= k情況下的命題，這k + 1個藍眼人中的每一個，都會做這樣的推理：我看到了k個藍眼人，假如他們就是全部的藍眼人，那麼過k天之後，他們就會一起自殺。而假如他們沒有在k天之後一起自殺，就說明藍眼人不止k個，而唯一可能的其他藍眼人就是我自己。於是他等待k天，然後看到沒有人自殺。由此得出結論，自己是藍眼人。每一個藍眼人都做出了這個推理，都知道了自己是藍眼。因此，k + 1天之後，所有這k + 1個藍眼人一起自殺。也就是說，從這個命題在n = k時成立的假設，我們推出了它在n = k + 1時也成立。

這兩點就滿足了數學歸納法的條件。因此，這個命題對於任意的藍眼人數都成立，我們證明了，它是一條定理。就原題目而論，答案就是在100天後，所有這100個藍眼人都自殺。

Xkcd的藍眼睛島漫畫

這個證明過程，你完全理解了吧？沒有疑問了吧？好，完全理解了，我們就繼續向下走。

搞清楚了第一個層次，現在我們來看第二個層次：棕眼人會不會自殺？

看一下島民做的推理，你就可以發現，他們對自己的眼睛顏色只是在兩種可能性中選擇：藍色，或者不是藍色。如果一個人確認自己的眼睛不是藍色，那麼仍然可能是棕色，可能是紅色，可能是黑色等等，因此他還是不知道自己眼睛的顏色，所以不會自殺。

在這個題目中，島民們一開始是禁止談論眼睛顏色的，因此他們不知道島上的眼睛顏色只有兩種。遊客能看到島民的眼睛顏色只有兩種，但並沒有告訴他們這一點。因此，那些非藍眼的島民沒有任何線索知道自己的具體顏色，在藍眼人自殺之後，他們不會自殺。

在評論區看到，有人推來推去得出結論，棕眼人會推出自己是藍眼人而自殺。這得是多麼不開竅才會得出這種結論啊！島民進行的既然都是正確的推理，怎麼可能推出違反事實的結論？這些同學們是不是認為，自己經常推出錯誤的結論，所以島民也會這麼做？拜託，請仔細審題，題目說的是，島民都非常邏輯。能推出來的，他們一定會相信。推不出來的，他們一定不會相信的！

在以上這些分析中，我們不需要考慮棕眼人思維的任何細節，就可以得出基本結論。如果你還是提心弔膽，像我在分析「王師傅賣鞋收假鈔」那道題（B站視頻見https://www.bilibili.com/video/av26209225，文字版本見https://mp.weixin.qq.com/s/ceL5ZZq_pYCgd51PDgtC-g）時指出的那樣，對自己把握整體結構的能力沒有信心，一定要看到每一個細節，那麼我們也很容易列出棕眼人的思考過程。

遊客說話以後，棕眼人想：我看到n個藍眼人，假如他們就是全部的藍眼人，那麼過n天之後，他們就會一起自殺。而假如他們沒有在n天之後一起自殺，就說明藍眼人不止n個，而唯一可能的其他藍眼人就是我自己。於是他等待n天，結果看到這n個藍眼人在n天后都自殺了。由此他得出結論：自殺的這n個人就是全部的藍眼人，自己的眼睛不是藍色。然後推理就結束了，因為沒有進一步的線索知道自己的眼睛是棕色、紅色還是黑色等等，這些非藍眼的島民繼續活著。

還有一個常見的誤解是，棕眼人也會自殺，因為他們也在懷疑自己是藍眼人。拜託，請仔細審題！題目說的是，只有完全確定自己的眼睛顏色的人才會自殺。自殺是因為確定，而不是因為懷疑！島民是不會單純因為懷疑就自殺的！想歪到這條路線上的同學，大概是把現實生活的經驗跟題目混為一談了。現實生活中確實有許多人因為懷疑而自殺，但你不要腦補到題目中來啊！

搞清楚了第二個層次，現在我們來看第三個層次：如果沒有遊客，島民們會不會自殺？

回答是：不會。

請仔細看前面數學歸納法的證明過程。數學歸納法需要兩個條件。第一個條件是：對於n= 1的情況，f(1)成立。第二個條件是：對於任意一個自然數k，假如f(k)成立，就可以推出f(k + 1)也成立。對於現在這道題目，第二個條件無論有沒有遊客都成立，但第一個條件在沒有遊客的時候不成立，因此沒有遊客時就不能得出任何結論了。

為什麼第一個條件在沒有遊客的時候不成立呢？這時你要考慮的，是島上只有一個藍眼人的情況。他向外望去，看到999個棕眼人，僅此而已。沒有一個外在的信息源告訴他「島上有藍眼人」，因此他無法推出任何結論。

由此可見，遊客的發言在這道題里是必不可少的，它提供了一個推理的起點。

在評論區里，經常看到有人認為在遊客來之前藍眼島民就應該自殺。他們以為，這道題的推理過程告訴我們，只要島民們都知道「島上有藍眼人」，藍眼人最後就會自殺，而在遊客來之前島民們通過互相看就知道了「島上有藍眼人」，因此壓根不需要遊客，藍眼人就會自殺了。錯了！大錯而特錯！只有在藍眼人多於一個的時候，才能通過互相看知道「島上有藍眼人」。但是在只有一個藍眼人的最基礎情況下，這個藍眼人就無法知道「島上有藍眼人」。一個遞歸推理，第一步的基礎沒了，後面還能推出什麼東西來呢？

搞清楚了第三個層次，現在我們來看第四個層次：為什麼我們要關心「遊客有沒有帶來新信息」這個問題？

回答是：只有新的信息才能造成新的結果，這是一個常識，但藍眼睛島問題似乎推翻了這個常識，因為一眼看不出遊客帶來了什麼新信息。我們希望搞清楚，錯誤的是這個常識，還是「遊客沒有帶來新信息」這個印象。

這裡我們需要強調一下，只有新的信息才能造成新的結果，對於邏輯系統，這不但是一個常識，而且是一個真理。因此，合理的思維方向，應該是儘力尋找遊客帶來了什麼新信息。這就好比在物理學中，能量守恆定律是一條深深紮根在人們頭腦中的原理。每當有新的實驗現象顯得能量似乎不守恆的時候，物理學家們一定會想盡一切辦法去尋找遺漏的能量，讓能量守恆定律仍然成立，而不會不經過戰鬥就輕易地放棄能量守恆定律。

令我感到驚訝的是，許多人輕易地就放棄了「只有新的信息才能造成新的結果」這個常識，大談特談「遊客沒有帶來新信息」。如果沒有帶來新信息，那麼遊客的作用是什麼呢？他們發明了種種說法，例如遊客帶來一個記數的起點，遊客提醒大家思考眼睛的顏色，遊客給大家的思考時間做了同步等等。

這些說法可能對也可能不對，我在這裡顧不上一一辨析。但真正重要的是，這些說法都是事後的描述，而不是事前的解釋。你是先理解了第一個層次的結論，然後把遊客的作用比喻成各種東西，這些話說得再漂亮也只是比喻而已。對於當前這第四個層次的問題，即「遊客有沒有給出新信息」，你還是在迴避問題，甚至直接就給出了錯誤的答案。

搞清楚了第四個層次，現在我們來看第五個層次：遊客到底有沒有帶來新信息？

回答是：確實有！請注意，這裡是藍眼睛島問題真正的困難所在，難度比第一個層次的數學歸納法推理高得多。許多人能夠理解第一個層次，還能滔滔不絕地寫一大段形象的描述來解釋藍眼人的思維過程，但在這第五個層次上卻錯誤百出，死活理解不了遊客帶來的新信息。

在這裡我必須要敲一下黑板，提醒同學們注意我說的每一句話。一定要原原本本地理解我說的每一個要點，直接面對智力的挑戰，你才能翻越這座山峰。如果你自行腦補，自動忽略了我講的某些要點，按照在你看來最容易的方式去理解，那麼你必然會在無數種可能的錯誤之中打轉，永遠也搞不清這個問題的精妙之處。

我們先來描述答案：遊客帶來的新信息，是一個n階的知識。如果把n個藍眼人稱為A1、A2、A3……一直到An，那麼遊客給A-1帶來的新信息就是下面這個命題：

A1知道，A2知道，A3知道，……，An-1知道，An知道，「島上有藍眼人」。

這個命題雖然很長，但它確實是一個命題。跟一般命題不一樣的是，這個命題中出現了「知道」這個詞，而且出現了n次。因此，我們把它稱為一個n階的知識（knowledge）。一個命題中出現了多少次「知道」，我們就把它叫做多少階的知識。

下面，我們把「島上有藍眼人」這個命題記為P。「An知道P」是一個一階的知識，我們把這個命題記為K1。「An-1知道K1」是一個二階的知識，我們把這個命題記為K2。如此等等。最後，遊客帶來的新信息「A1知道Kn-1」是一個n階的知識，我們把這個命題記為K-n。

為什麼K-n是一個新信息？這就是第六個層次的問題了。

我們可以證明：在遊客發言之前，島民們通過互相觀察，最多只能知道n - 1階的知識，不能知道n階的知識。

為什麼呢？因為每個人都不知道自己眼睛的顏色，他在推測別人怎麼想的時候，只能考慮別人之間的互相觀察，不能考慮別人觀察自己的結果。這就意味著，每多一重「知道」，知識每升高一階，作為知識來源的人數就減少一。

例如對於K-1，即「An知道P」，我們說過了，P是「島上有藍眼人」這個命題，An可以通過觀察其他n- 1個藍眼人中的任何一個來推出P。他只需要扣除自己就行，這個知識的來源有n- 1個人。對於K2，即「An-1知道K1」，An-1就需要扣除自己和An，這個知識的來源只剩下n - 2個人。以此類推，對於Kn-1，即「A2知道Kn-2」，A2就需要扣除從自己到An的所有人，即扣除n - 1個人。這個知識的來源只剩下了一個人，就是A1。

那麼對於Kn呢？所有的n個人都被扣除了，都不能作為這個知識的來源。但一個知識至少要有一個來源，因此Kn根本就不是個知識，這是個假命題。由此可見，通過互相觀察，是無法得到Kn的，最多只能得到Kn-1。

那麼，在遊客發言之後，為什麼就能得到Kn了？因為這時遊客成了一個公開的信息來源，每個島民都可以從他這裡知道P，不再需要通過互相觀察推來推去了。而且每個島民都知道，其他人都從遊客那裡知道了P。因此，島民們不但是一下子知道了Kn，而且還一下子知道了Kn+1、Kn+2，以至於任意高階的知識。不過島上只有n個藍眼人，如果知識高於n階，裡面出現的人就必定有重複的，好比「A1知道A1知道某某事」。這就沒有太大意思了，而且帶來了額外的複雜性，對當前的問題沒有幫助。因此，我們只關注Kn這個新信息就足夠了。

現在我們可以確認，遊客確實帶來了新信息。大家都聽明白了吧？

評論區里有很多人說，想來想去還是覺得遊客沒有帶來新信息，因為島民早就知道「島上有藍眼人」了。拜託，請仔細看我的視頻！我一上來就明確地告訴大家了，新信息不是「島上有藍眼人」，而是那個n階的知識！為什麼你們不能好好地聽別人說什麼，而非要自己腦補一通，做一大堆錯誤的推理，白白把自己搞得暈頭轉向呢？孔子早就說過：「學而不思則罔，思而不學則殆。」如果你們學不會認真聽別人說話，那麼你們以後犯錯的地方還多著呢！

學而不思則罔，思而不學則殆

遊客確實帶來了新信息，這是一個好消息，因為我們維護了「只有新信息才能造成新結果」這個常識，解決了一個對常識的挑戰。解決這個挑戰的辦法是向前走，把遊客帶來的新信息明確地指出來，而不是兜圈子，用「遊客讓大家開始思考」、「遊客給大家對時」之類的話來搪塞，迴避問題。至於有些人說「遊客沒有帶來新信息」，輕易地就放棄了常識，那更是錯得沒邊了。

搞清楚了第六個層次，現在我們來看第七個層次：Kn這個新信息是如何發揮作用的？

回答是：這個新信息立刻使島民們認識到，他們有可能通過等待和觀察，來推出自己的眼睛顏色。用物理學的語言說，他們可以做一個判決性的實驗了。這個判決性實驗的做法，就是等待和觀察。

判決性實驗，在科學中是一個非常重要的概念。例如愛因斯坦預測光線經過太陽附近時會偏折，這就是一個判決性的實驗，是廣義相對論獲得公認的一個關鍵證據。在藍眼睛島問題中，遊客發言之前，島民是沒有判決性實驗可做的。遊客發言之後，島民就有了一個判決性實驗。

在這裡，一點有趣的是，島民的判決性實驗並不是立刻就能做的，而是需要等待一段時間。同樣用上面的那個類比，愛因斯坦建議的光線偏折實驗也不是立刻就能做的，而是要等到日全食的時候，否則遠方恆星的光會被太陽發出的光淹沒。因此，島民們意識到判決性實驗的存在，這件事是立刻就發生了，但這個實驗的後果，卻不是立刻就顯現出來的。

1919年5月29日日全食時愛丁頓等人驗證廣義相對論的光線偏折觀測

我們需要強調一下，Kn這個新信息是在遊客發言之後立刻就獲得了。評論區里有不少人認為，遊客剛發言的時候沒有新信息，只是在看著時間一天一天過去而沒有人自殺的時候，才得到了新信息。我們必須指出，這種看法是錯的！雖然這麼想的人已經做了很多思考，但結果還是錯的！

搞清楚了第七個層次，現在我們來看第八個層次：在邏輯學上，如何描述遊客發言的效果？

回答是：遊客通過公布一個島民早已知道的信息，把它從弱共識提升到了強共識。這個操作產生的新信息並不是公布的信息本身，而是一個n階的知識。強弱共識的說法，在本質上跟n階知識的說法是等價的，不過用起來方便得多，所以後面我們都來用它。

在這裡我們需要強調，強共識的定義是，如果一個信息所有人都知道，而且所有人都知道所有人都知道，所有人都知道所有人都知道所有人都知道，……如此等等，以至於無窮，那麼這個信息是一個強共識。這裡的要點在於，「以至於無窮」。

在評論區有不少人說，遊客發言之前，「島上有藍眼人」就是強共識，因為不但所有人都知道這一點，而且所有人都知道所有人知道這一點。拜託，請仔細看定義！你只是證明了，「所有人都知道」在這裡可以重複有限次，但定義要求的是重複無限次！

在第六個層次的討論中，我們其實已經證明了，在遊客發言之前，「所有人都知道」最多只能重複n- 1次。只要不能重複無限次，它就只是一個弱共識，而不是強共識。

搞清楚了第八個層次，現在我們來看第九個層次：如何回答藍眼睛島問題的各種變體？例如陶哲軒問的，如果遊客在第二天意識到了自己的失言，有什麼辦法可以減少傷亡？而如果遊客是在更多天以後才意識到自己的失言，又有什麼辦法可以減少傷亡？

回答是：如果你理解了前面的八個層次，你自然就能解答這些擴展問題。如果你前邊就在某個層次卡殼了，那麼你當然就更加如墜雲里霧裡。

對於這些問題的回答，我已經在8月23日的視頻（https://www.bilibili.com/video/av30113899）中給出了。基本的回答就是：如果遊客發言之後已經過了m天，那麼遊客就需要指出m個人是藍眼，或者帶走m個藍眼人，才能阻止藍眼人全體自殺。具體的討論，可以去看那期視頻。

最後，我們來看第十個層次：在現實生活中，哪些現象可以用這些道理來理解？

回答是：就是我在8月23日的視頻（https://www.bilibili.com/video/av30113899）中舉的那些例子，《皇帝的新裝》、語言通訊模型和摩爾定律等等。有興趣的觀眾請去看那期視頻，這裡不再重複。

皇帝的新裝

這裡有一點特別值得指出的是，經常有人用暗戀和表白作為弱共識和強共識的例子。但你如果仔細思考一下，就會發現，這個例子是錯誤的。請問，在雙方都暗戀對方的時候，有什麼共識？真正的回答是沒有共識。因此，表白的作用並不是把弱共識變成強共識，而是把沒有共識變成有共識。這是一個平凡的例子，而藍眼睛島問題是一個高度非平凡的例子。如果你看不出兩者的區別，說明你還沒有理解藍眼睛島問題的精妙之處。