當代最著名數學物理領域難題被普林斯頓大學教授徹底解決！

二十年前，科學家總結了數學物理領域中最令人困惑的13個開放難題。 直到現在這13個問題中只有二個被解決。其中一個是最近由來自加州理工大學的研究人員Spiros Michalakis和微軟的研究人員Matthew Hastings解決的！

1998年-1999年羅列的數學物理領域13個難題。所有的13個問題中，只有兩個被標記了「已解決！」

這個問題於1999年被首次提出，與「量子霍爾效應」相關。

霍爾效應是電磁效應的一種，這一現象是美國物理學家霍爾於1879年在研究金屬的導電機制時發現的。當電流垂直於外磁場通過半導體時，載流子發生偏轉，垂直於電流和磁場的方向會產生一附加電場，從而在半導體的兩端產生電勢差，這一現象就是霍爾效應，這個電勢差也被稱為霍爾電勢差。霍爾效應使用左手定則判斷。

量子霍爾效應是量子力學版本的霍爾效應，需要在低溫強磁場的極端條件下才可以被觀察到，此時霍爾電阻與磁場不再呈現線性關係，而出現量子化平台。量子霍爾效應有兩種，分別是整數和分數量子霍爾效應。兩種效應的發現都是先源於實驗，之後才發展了相關的理論基礎。

1879年，霍爾在一項開創性的實驗中首次發現了霍爾效應。該實驗表明，當存在垂直於金屬表面的磁場時，金屬中的電流會發生偏轉。

這裡顯示的是一個簡單的實驗示意圖：開啟一個指向z-方向的恆定磁場（B）；在x-方向上存在一個恆定的電流（I）；同時，電子只能在於（x,y）平面內。根據霍爾定律，這樣的設置會在y-方向產生電壓（V）。霍爾效應之所以會出現，是因為磁場會使得帶電粒子繞圈圈運動。

101年後，德國實驗物理學家克勞斯·馮·克利青（Klaus von Klitzing）在更低的溫度和更強的磁場下進行了霍爾的原始電導實驗，他發現電流的偏轉會以一種量子化的方式出現。換句話說，隨著磁場強度的增加，金屬電導的增加並不像經典物理學所預測的那樣是漸進的或線性的，而是逐階上升的。

圖中顯示的是馮·克利青發現的整數量子霍爾效應。當溫度降到~4開爾文時，一個二維電子系統的霍爾電阻的平台會精確地出現在h/ie2處；其中i是整數，h是普朗克常數，e是電荷。

量子霍爾效應最神奇的地方在於，即使在材料中存在自然雜質的情況下，也能夠出現精確的量子化。雜質會影響電流流過材料的路徑，而且這些雜質在材料中是隨機分布的，所以完全有理由想像它們會對電導產生隨機的影響。但事實是，它們並不會。

兩年後，實驗家霍斯特·施特默和崔琦展示了更令人困惑的一面：在極端條件下（更低的溫度和更強的磁場下），霍爾電導會以先前觀察到的結果的分數倍量子化。這就好像電子以某種方式分裂成了更小的粒子，每個粒子都攜帶了電子的一小部分電荷。

分數量子霍爾效應：當溫度降到~2開爾文時，一個二維電子系統的霍爾電阻的平台會精確地出現在h/νe2處，其中ν是分數，比如2/3、3/5、4/7、4/9等等。

整數和分數量子霍爾效應都表明，這些系統中的電子在某種程度上會以一種統一的、整體的方式相互作用，儘管通常它們會表現得像一個個乒乓球一樣相互彈開。儘管實驗發現了這一原理，電子究竟是如何做到這一點之前科學家一直沒有給出合理的解釋。

Michalakis在2008年開始研究這個問題，他根據他與其他人的數十年研究成果，發展出了新的用於研究量子霍爾效應的數學工具——拓撲學。

拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。例如，甜甜圈可以被拉伸成咖啡杯的形狀，但如果想要把它變成球體，就必須將它撕裂。在霍爾效應的背後，就存在有點類似的情形：即使材料中存在著雜質，電導也不會改變。

在拓撲學描述中，甜甜圈和咖啡杯是一樣的。

Michalakis說：「在物質的拓撲狀態下，電子會失去它們的『身份』。你會得到一個更分散、更穩定、更糾纏的系統，表現的跟單一的物體一樣。」通過這個方法解釋量子霍爾電導的整體性質，結果得出了放大圖景與縮小圖景一樣的假設。」

Michalakis和Hastings用一種新穎的方式將整體圖景與局域圖景聯繫了起來，成功的移除了這些假設。可以這樣理解它們的方法。比如，讓快速遠離地球時看到的畫面：我們將看到的是一個沒有山脈、沒有峽谷的球體，讓你可能會誤以為能在沒有任何障礙的情況下環遊這顆星球。但當你回到地球時，你意識到這是不可能的——你必須穿越高山和峽谷。在數學意義上，Michalakis和Hastings的解決方案所做的，就是確定一條開放、平坦的路徑，在這條路徑上你不會遇到任何的低谷或高峰，本質上與你在遠離地球時所感知的幻覺相符。

Michalakis說：「我通過使用Hasting的工具以及一些來自其他研究的想法，來證明如果知道了找尋方法的話，這樣的路徑總是存在，並且能輕易地就被找到的。結果是，霍爾電導等於纏繞著描述量子霍爾系統的數學形狀的拓撲特徵的路徑的繞行次數。這就解釋了為什麼霍爾電導是一個整數，以及為什麼它在應對材料中的雜質是表現得如此剛強。雜質就像是你在環遊世界，偏離於『黃金路線』的小彎繞。它們不會影響你環遊世界的次數。」

Michalakis和Hastings用了40頁的數學推理來書寫最初的證明，但經過艱苦的編輯過程，這個數字最終縮減到了30頁。自2009年他們就提交了解決方案，但專家們花了很長的時間才消化這個結果。直到2015年，這個證證明才在《數學物理通訊》上正式發表。在發表的兩年半後，數學物理學家們正式承認了這個解決方法！

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