小平邦彥：憶往昔

編者按

小平邦彥，1915-1997，日本數學家，生前被選為日本學士院院士、美國科學院和德國哥廷根科學院外籍院士。先後在美國普林斯頓高等研究院、哈佛大學、約翰·霍普金斯大學、斯坦福大學、日本東京大學等任教授，在調和積分理論、代數幾何學和復解析幾何學等諸多領域做出了卓越貢獻。1954年獲菲爾茲獎，1957年被日本政府授予文化勳章，1984年獲沃爾夫獎。

本文選自小平邦彥的隨筆文集《惰者集：數感與數學》。這篇文章講述了小平邦彥先生大學時候的往事，我想對於剛入學的大一新生，尤其是數學系的大一新生有一定的啟迪作用。

1935 年，我剛考入東京大學數學系時，數學系的學生人數是15人。全系只有5個教研組，教授包括高木貞治老師、中川銓吉老師、掛谷宗一老師、竹內端三老師、末綱恕一老師5 人，副教授包括辻正次老師和彌永昌吉老師，以及講師和助手各1人，分別是田中穣老師和龜谷老師，另外還有負責打雜的大叔大媽各1人。當時還沒有行政人員，所以龜谷老師還兼任圖書管理員。既然沒有招聘行政人員，那就說明數學教研室基本沒有什麼行政工作，老師們看起來也很悠閑。研究生都聚集在一個房間里，也沒有開設專門的課程或專題研討課。而且，學習年限不設限制，也不存在碩士論文和課程博士，學生產生想法的話可以寫論文，沒有的話可以不寫。現在，數學系學生人數增至45 人，是原來的3 倍。按理說行政人員原來是0人，翻3倍後也應該等於0。奇怪的是，現在也不知道為什麼會增加如此多的行政事務。

當年，數學系老師較少導致課程也少。雖然規定了必修課，不過也不會計算學分。我們新生主要上高木貞治老師的微積分學、末綱恕一老師的代數課、中川銓吉老師的幾何學等。現在東京大學的「藝術咖啡」原來是理學院的樓，那座樓里有一間相對大一些的教室。因為物理系學生也需要學微積分學，所以我們會一起在那裡上高木貞治老師的課，每周4次，從上午11點半開始。物理系學生上午在那間教室有課，就算剛過上午11點進教室，前排的位置也早就被他們佔了。高木貞治老師嗓門小，板書的字也小，坐在後排聽不清也看不清楚。幸好上課內容跟老師為岩波數學講座執筆的《解析概論》（中文引進版為《高等微積分》（第3 版修訂版），人民郵電出版社，2011年。—編者注）如出一轍。反而高木貞治老師轉身在黑板上寫公式時露出的大耳朵至今讓我印象深刻。課表上寫著微積分學從上午11點上到上午12 點，不過高木貞治老師大概在上午11點10分左右進教室，然後直接去休息室坐著，悠閑地喝著茶。雖然他看起來不凶，氣場卻讓人覺得難以靠近。11點半開始上課，上午12點準時下課，整整30分鐘。每周4次共計2小時，高木貞治老師在一年內講完了《解析概論》的所有內容（不包括現行版本中的勒貝格積分），簡直不可思議。微積分學的專題練習課由彌永昌吉老師承擔，我已經回憶不起來當時具體做了哪些題目，不過還記得老師站在邊上盯著我們筆記本問：「會不會做？」岩波講座出版過彌永昌吉老師的《幾何學基礎論》。

在我進入大學前曾經讀過這本書，從作者複雜的名字和看似晦澀的內容來看，原以為彌永昌吉老師非常嚴肅。實際上彌永昌吉老師個子高挑，十分親切，長相跟當時紅極一時的電影《離別》中的肖邦有些相似。

在代數學的第一節課上，末綱恕一老師在黑板上畫了一個大圓，然後又畫了兩根鬍鬚。這個圖形是德語文字，指的是身體的意思。代數的專題練習課由末綱恕一老師自己任課，非常可怕。如果我們站在黑板前做題時一旦停下筆思考，末綱恕一老師就會兇巴巴地教訓我們：「磨蹭什麼呢？」就算在教室地板上發現一張紙屑，他也會大發脾氣。

代數學期末考試那天發生了「二·二六事件」（1936 年2 月26 日，一部分日本軍官率領1483名日本官兵，以「昭和維新」「尊皇討奸」 等為口號，襲擊了當時的日本首相岡田啟介等政府要人。——編者注），結果考試臨時取消，我們開心地去了上野動物園。不知為什麼，後來我們經常去動物園玩。

當時數學還沒有現在發達，所以有一些必修課在現在根本無法想像。其中有一門中川銓吉老師的幾何學，好像當時老師借給我們每人一本薩蒙（Salmon）的《解析幾何》，是一本有點古色古香的書。這本書很厚，差不多有300 頁，內容圍繞三維歐幾里得空間中二維曲面理論，僅二維曲面就寫了300 頁。除此之外還包括許多複雜的練習題，因此幾何的專題練習課上做了不少題目。當時表現最好的是大西，我經常逃課，中川銓吉老師會記在心裡，下一節課一定會提問我，真叫人受不了。我現在完全記不得幾何學課上學過的內容，說不定100 年之後，我們現在研究的數學也可能會被遺忘吧！

當時，我們還要上一門叫作力學專題練習的必修課。既然有專題練習課，那應該有開設力學課程，不過我完全沒有印象。擔任力學專題練習課的犬井老師總是從下午1 點上到下午5點或6點，特別累人。下午1點剛過兩分，老師走進教室，在黑板上寫下題目後轉身離開，然後我們學生開始解題，當然不是什麼容易的題目。於是我們就會中途休息一會兒，去第二食堂買個冰激凌再回教室，下午4 點左右老師回來講題，結束時差不多下午5 點或6 點。力學專題練習課是一段痛苦的修行，因為是必修課，所以沒法兒逃課。每個年級只有15個人，因為人少，所以我們關係都很融洽。

我們大二時安倍亮入學，安倍在一年前考物理學系時由於健康原因被拒絕入學，他入學考試的平均成績高達96 分。安倍亮知識淵博、無所不知。後來我成了物理系的助教，有機會調閱學生過去的入學考試成績，我發現東京大學往年最高分差不多是70分左右，96分這種成績簡直是前無古人、後無來者。我們跟他馬上打成一片，如同同班同學。

安倍見多識廣，一起散步時他能說出路邊花草的名字，看電影時他能說出所有建築物的建造年份和建築風格。他鋼琴彈得不錯，也精通音樂理論。有一天大家一起去第二食堂吃冰激凌，以知識淵博自居的中村秀雄給我們背誦《神皇正統記》時中途卡殼，然後伊藤清接著後面背誦又卡住，最後又是安倍接著背誦。在那以後，大家都覺得中村是自詡的知識淵博，安倍才是貨真價實的知識淵博。

但是與現在的數學系學生相比，我們當時悠閑多了，三年內只要修滿12 ～ 13門課程就達到畢業要求。當時數學沒有現在發達，所以專業領域種類偏少，專業書的數量也極少，例如拓撲學相關的專業書只有Kerékjártó 的《拓撲學》、賽費特（Seifert）和特雷法爾（Threlfall）的《拓撲學》（Lehrbuch de Topologie）、亞歷山德羅夫（Alexandroff）和霍普夫（Hopf）的《拓撲學》等3本，只看完亞歷山德羅夫和霍普夫的書就能寫拓撲學論文。當時還沒有出現複流形理論、微分拓撲學等。在神田的三省堂書店，日語的數學書只擺滿一個陳列櫃。當時的本鄉大道非常空曠，任何地方都能隨意穿行。從赤門前往本鄉三丁目的路上有一家叫作青木堂的老咖啡館，我總是把它想像成夏目漱石《三四郎》里出現的青木堂。

大二時的課程有掛谷宗一老師的微分方程式、竹內端三老師的函數論等。竹內端三老師的函數論包括黎曼映照定理的證明等。竹內老師的課非常精彩，大家一聽就懂，以至於都會忘記做筆記。

大三時的研討課（相當於現在大四的研討課）由彌永昌吉老師任課，不過我完全記不起當時上了什麼內容，腦里完全沒有任何研討課的情形。彌永老師說我當時在研討課上討論的是亞歷山德羅夫和霍普夫的《拓撲學》。雖然我記得自己在暑假期間拚命閱讀這本《拓撲學》，但是完全沒有印象是為研討課而準備。雖然我在大三的研討課上研究了拓撲學，但是最後沒有將拓撲學定為自己的研究領域。現在，學生如果不儘早確定研究領域，儘快發表論文的話，就無法成為一名數學家。不過當時的情形與現在完全相反。我到三十四五歲才將複流形確定為自己的研究領域。

我從數學系畢業後參加普通招考，考進了物理學系。入學考試規定要考我最不擅長的化學，我想著反正也不會做，於是就去找了物理系主任寺澤老師，向他訴苦說：「我化學很差。」結果寺澤老師告訴我，化學在物理系的入學考試中占的比例特別小，即使考零分也沒關係。因此我鬆了一口氣，複習了一個月左右就去參加考試了。

在當時，東京大學的理論物理帶有很強的物理數學色彩，其中有幾門必修課是數學。不管是量子力學還是相對論，物理系學生最頭疼的還是其中的數學部分。因此對於數學系的畢業生來說，物理系的課程相對比較輕鬆。而且我向擔任其中幾門課程的老師申請了免試。下課時，我在教室跟老師說：「請允許我免試。」老師們當場就答應了我的請求。現在想來，為什麼當時不用通過教研室討論和教授委員會討論就擅自應允？免試學生的成績如何處理？實在覺得不可思議。不過，物理數學專題練習課跟數學的力學專題練習課一樣費神。那時候我還去旁聽了藤原咲平老師的氣象學課程，藤原老師被稱作「天氣博士」，名氣很大。藤原老師在第一節課就慢條斯理地提醒我們：「第一學期講點無聊的內容，等第二學期旁聽的學生少了以後，再講些有意思的東西。」所以我去了一次後，就再也沒去了。後來我去旁聽了天文系萩原雄祐老師的課，但課程進度太快，我完全一頭霧水。天文課下課後我坐在休息室喝茶，萩原老師來喝茶時一臉得意地問我：「怎麼樣，是不是沒聽懂？」這時我才明白，有些課程並非是為了讓學生能聽懂而開設的。

就這樣一轉眼又到了大三，我在坂井卓老師的研討課上學習了場的理論。同時還寫了數學論文，這是因為在物理系時有許多空閑時間。在當時，數學學會和物理學會統稱為Physico-Mathematical Society of Japan。不知道是學會預算充足，還是投稿的人少，我投了一篇與霍爾效應測量有關的長篇論文，不到幾個月就正式出版了。也許是因為那時還沒有設置審閱人一職。

我從物理系畢業時受物理系的委託去代課，我已經不記得自己具體上過什麼課了，不過其他的課我也不懂，所以應該上的是物理數學。第一次站在講台上看著身穿黑色制服的學生時，有一種奇妙的感覺。一年後我去了文理大學數學系當助教，再過了兩年，我又去了東京大學物理系當助教。現在想來也覺得不可思議，我沒有寫過一篇有關物理的論文，結果卻被聘為物理系的助教。在物理系，我當然是承擔物理數學的課程，不過我曾經上過相對論。那時戰爭進入白熱化階段，上課時間明顯縮短，三四周就上完了相對論的內容。我認真研讀了外爾的《空間、時間與物質》後，將其內容整理壓縮成三四周的課程，我自己都覺得了不起。不過10年前我重新反覆讀了《空間、時間與物質》，也沒有看懂。也許自我感覺良好只不過是錯覺而已，如果還能找到當年的筆記，真想好好看一看。

後來，東京的空襲越來越嚴重，空襲警報器一響，我們就立馬躲到物理教室的地下室。在我看來，從統計上來說也許地下室比地上安全，不過與我個人的安全無關。B-29的機身閃著銀色光芒，編隊從一萬米的藍天上空飛行而過，看上去還是很漂亮的。我實在無法想像空襲者與躲在陰暗地下室的我們是一樣的人類，我有種被外星人攻擊的感覺，並沒有產生同仇敵愾之心。然而每次警報一響，我們就得鑽進地下室，如此一來根本沒辦法上課。於是我跟父親商量，想要把物理教研室疏散到外地，父親說想疏散的話，他幫我們尋找疏散地。後來我在教研室會餐時提出「想要把物理教研室疏散到鄉下」的想法，大家問我「有沒有確定疏散地」，我回答說「我的父親會幫忙尋找」，於是當場眾人合議決定「那我們疏散到外地去吧」。我大吃一驚，因為做夢都沒有想到這麼大的問題竟然可以如此隨意地決定。我只不過隨口一提，但既然決定了，那我就必須負起責任。而且，數學系跟我們一起疏散到外地。可惜我的辦事能力幾乎為零，因此只好把相關事宜拜託給父親，例如與疏散地的村辦事處以及借我們教室的小學等協商，最後聽父親的吩咐去拜訪了村長、小學校長等。總之我什麼都沒幹，不過別人卻認為我雖然什麼都沒幹，卻挺有本事，也許這是我後來被選為理學院院長的原因之一。我天生懶惰，曾經在Life雜誌的Natural Library中看過南美有一種叫作樹懶的動物，它們總是掛在樹枝上一動不動，身上長滿藻類，看起來就像是植物。樹懶因為懶惰而成功存活，它們是大地懶（megatherium）唯一的後代。看完以後我非常興奮，這簡直就是我理想中的生活，我討厭所有帶「長」字的事物。如此懶惰的我卻被選為院長，還真是因果報應。

遷到疏散地後，我們雖然成功逃離了空襲，卻開始為糧食匱乏問題而煩惱。原以為鄉下的糧食儲量比東京要多，結果卻在意料之外。只有經歷過才知道飢餓有多慘，儘管如此大家還是都很勤奮學習。從這個疏散到外地的班級走出了許多優秀的數學家，由此可見，生活環境與學習之間的關係也不大。

那年8 月，戰爭終於結束。原以為「必勝」的戰爭卻迎來了失敗，不過最終沒有引起太大騷動。或許大家在心底里都暗自認為肯定會戰敗吧。

回到東京以後，糧食匱乏問題沒有任何好轉，不過學生們都在刻苦學習，而且表現很好。在年度考試時，即使我絞盡腦汁出了很多難題，還是會有幾個學生拿滿分。不知道為什麼，當時研究室的抽屜里放著一個檸檬，雖然長了綠霉，不過香味沒變。檸檬在當時是稀有品，所以盡量將檸檬切成小片泡茶，我一邊喝著紅茶，一邊講課到晚上8 點。當然中間沒有吃晚飯，明明吃不飽，不知為何大家都精神抖擻，想來也是神奇。

我還是在物理系當助教，同時寫著數學論文。舊制大學的助教在戰後依然清閑，既不用干雜事，也沒有委員會的工作。在物理方面，我學了量子力學的基礎、場的理論、海森堡（Heisenberg）的S矩陣理論等。海森堡根據「應該用可直接觀測的量來構建物理理論」的哲學思考提出了S 矩陣理論的構思。該構思極具吸引力，我曾經在岩波的《科學》上發表了一篇有關S矩陣的小論文。多虧了舊制大學自由悠閑的學習氛圍，我才能在不確定數學專業的情況下學習物理。我非常想將現在的大學還原成自由悠閑的學習氛圍，可惜已經不可能實現。之後我移居美國，18 年後回日本，一來是因為我有強烈的回國之心，二來覺得差不多也該回去了。不過，我想回去，是想回到戰爭爆發以前那個悠閑的日本，可惜再也回不去了。

《惰者集：數學與數學》是日本數學家、菲爾茲獎與沃爾夫獎得主小平邦彥先生的思想隨筆文集，書中收錄了小平邦彥先生對數學、數學教育的深思、感悟文章，記述了數學家對「數學」「數感」的獨到理解，文筆幽默，深入淺出。同時，書中還輯錄了小平邦彥先生在普林斯頓高等研究院時期，與赫爾曼·外爾等數學大家交流的趣聞軼事，對深入理解數學、數學教育具有深刻啟示。

《幾何世界的邀請》為日本數學家、菲爾茲獎得主小平邦彥先生的幾何入門作品，書中以歐幾里得幾何、希爾伯特幾何、複數與幾何為軸線，由淺入深，層層深入，從作為圖形科學的幾何、作為數學的幾何等不同角度介紹完整的幾何世界，是幾何入門、訓練思維與創造力的佳作。

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