10分鐘就可以了解費米子理論

費米子的自旋為半整數；描述兩個全同費米子的總波函數對於粒子交換具有反對稱性。因此，兩個費米子在同一個量子系統中永遠無法佔據同一量子態，這稱為泡利不相容原理。這並沒有涉及到任何位勢，並沒有任何作用力施加於它們本體，這純粹是從無法區分全同粒子而產生的一種量子性質，在經典物理學裡，找不到類似性質。

費米子包括像夸克、電子、中微子等等基本粒子，另外，由三個夸克結合形成的亞原子粒子，像質子、中子等等，也都是費米子。它們必須用費米–狄拉克統計來描述它的統計行為。

原子是一種複合粒子，原子到底是費米子還是玻色子，必需依總自旋而定。例如，氦-3的總自旋為1/2，它含有兩個自旋相反的質子、一個任意自旋的中子、兩個自旋相反的電子，所以它是費米子；而氦-4的總自旋為0，它含有兩個自旋相反的質子、兩個自旋相反的中子、兩個自旋相反的電子，所以它是玻色子。

泡利不相容原理主導原子的電子排布問題，從而直接影響到日常物質的各種性質，從大尺度穩定性至原子的化學行為。

1913年，尼爾斯·玻爾提出關於氫原子結構的波爾模型，成功解釋氫原子線譜，他又試圖將這理論應用於其它種原子與分子，但獲得很有限的結果。經過漫長九年的研究，1922年，玻爾才又完成關於周期表內各個元素怎樣排列的論述，並且建立了遞建原理，這原理給出在各個原子里電子的排布方法──每個新電子會佔據最低能量空位。

但是，玻爾並沒有解釋為什麼每個電子層只能容納有限並且呈規律性數量的電子，根據最小能量原理，所有系統都趨向於最低能量態，因此所有束縛於原子的電子應該都被同樣排列在最低能量的電子層。

任何理論的誕生，都不是簡單容易的，泡利不相容原理也是這樣的。

泡利於1918年進入慕尼黑大學就讀，阿諾·索末菲是他的博士論文指導教授，他們經常探討關於原子結構方面的問題，特別是先前里德伯發現的整數數列2,8,18,32…每個整數是對應的電子層最多能夠容納的電子數量，這數列貌似具有特別意義。

1921年，泡利獲得博士學位，在他的博士論文里，他應用玻爾-索末非模型來研討氫分子離子H2+問題，因此他熟知舊量子論的種種局限。畢業後，泡利應聘在哥廷根大學成為馬克斯·玻恩的得意助手。

後來，玻爾邀請泡利到哥本哈根大學的玻爾研究所工作，專註於研究原子譜光譜學的反常塞曼效應。

在這段時期，他時常怏怏不樂，並且漫無目標地徘徊在哥本哈根市區內的大街小巷，因為反常塞曼效應給予他很大的困擾，他無法解釋為什麼會發生反常塞曼效應，這主要是因為經典模型與舊量子論不足，埃爾溫·薛定諤的波動力學與維爾納·海森堡的矩陣力學還要等幾年才會出現。泡利只能夠分析出當外磁場變得非常強勁時的案例，即帕邢-巴克效應（Paschen-Backer effect），由於強外磁場能夠破壞自旋角動量與軌道角動量之間的耦合，因此問題變得較為簡單。這研究對於日後發現泡利原理具有關鍵性作用。

隔年，泡利任職為漢堡大學物理講師，他開始研究電子層的填滿機制，他認為這問題與多重線結構有關。按照那時由玻爾帶頭的主流觀點，因為原子核具有有限角動量，才會出現雙重線結構。

泡利對此很不贊同，1924年，他發表論文指出，因為電子擁有一種量子特性，鹼金屬才會出現雙重線結構（如右圖所示，在無外磁場作用下得到的鈉D線是典型的雙重線結構），這是一種無法用經典力學理論描述的「雙值性」。為此，他提議設置另一個量子數，這量子數的數值只可能是兩個數值中的一個。

從光譜線分裂的數據，愛德蒙·斯通納（Edmund Stoner）最先給出各個原子的正確電子排布。他在1924年發表論文提議，將電子層分成幾個電子亞層，按照角量子數l{displaystyle ell }l，每個電子亞層最多可容納 2(2ell +1)}

個電子。斯通納指出，在處於外磁場的鹼金屬原子里，角量子數為l{displaystyle ell }的價電子的能級會分裂成{displaystyle 2(2ell +1)}

個能級。從這篇論文，泡利找到解釋電子排列的重要線索，泡利敏銳地查覺到解決問題的關鍵思路。

1925年，泡利發表論文正式提出泡利原理，以禁令的形式表示如下：

原子裡面絕對不能有兩個或多個的電子處於同樣狀態，這狀態是由在外磁場里電子錶現出的四個量子數(n,l ,j,m}所設定。假若在原子里有一個電子對於這四個量子數擁有明確的數值，則這四個量子數所設定的狀態已被佔有。

之後不久，撒姆爾·高斯密特（Samuel Goudsmit）與喬治·烏倫貝克表示，電子具有自旋，而這自旋與泡利所提到的第四個量子數的雙值性密切相關。他們假設電子的自旋為二分之一{displaystyle 1/2}二分之一，在磁場作用下，沿著磁場方向可以是上旋{displaystyle +1/2}或下旋，{displaystyle -1/2}，總角量子數j{displaystyle j}是角量子數l{displaystyle ell }與自旋量子數s{displaystyle s}w的代數和或代數差。應用這些概念，可以很容易說明反常塞曼效應。起初，泡利對於這點子持保留態度。後來，盧埃林·湯瑪斯應用狹義相對論正確地計算出雙重線結構。自旋模型因此得到肯定。

在泡利原理被發表的那年，海森堡創建了矩陣力學。隔年，薛定諤發展出波動力學。這兩個創舉標誌了現代量子力學的誕生。後來，海森堡與狄拉克分別提出了全同粒子的概念。

在經典力學裡，可以單獨地跟蹤與辨認每一個粒子；在量子力學裡，由於不確定性原理，無法準確的跟蹤任何粒子，又由於在每一種粒子里，所有粒子都完全相同，無法辨認出哪個粒子是哪個粒子。因此，全同粒子的概念是經典力學與量子力學的一個重要分水嶺。

恩里科·費米與保羅·狄拉克分別獨立地推導出遵守泡利不相容原理的多個全同粒子（費米子）的統計行為，稱為費米-狄拉克統計。

薩特延德拉·玻色與阿爾伯特·愛因斯坦先前合作給出的玻色-愛因斯坦統計則描述不遵守泡利不相容原理的多個全同粒子（玻色子）的統計行為。

海森堡與狄拉克分別應用波動力學於多個粒子系統，泡利不相容原理的機制可以用波函數對於全同粒子交換的對稱性與反對稱性來說明。由於泡利不相容原理能夠適用於所有費米子，狄拉克對於這個延伸給出命名「不相容原理」，指的是在量子系統里，多個全同費米子不能處於同樣量子態。海森堡應用泡利不相容原理來說明金屬的鐵磁性與其他性質。

泡利的1925年論文並沒有說明為什麼自旋為半整數的費米子遵守泡利不相容原理，而自旋為整數的玻色子不遵守泡利不相容原理？1940年，泡利提出自旋統計定理嘗試解釋這問題，這定理用相對論性量子力學展示出，由自旋為半整數的全同粒子所組成的量子系統，其波函數對於粒子交換具有反對稱性，由自旋為整數的全同粒子所組成的量子系統，其波函數對於粒子交換具有對稱性，泡利不相容原理是這量子行為的自然後果。

但是，實際而言，這定理只展示出了自旋與統計行為之間的關係符合相對論性量子力學，與所有已知物理理論沒有任何矛盾。泡利於1947年承認，他無法對於泡利不相容原理給出一個邏輯解釋，也無法從更基礎理論推導出這原理，儘管他原本期望新創建的量子力學能夠嚴格地推演出泡利不相容原理。

理查·費曼在著名的費曼物理學講義里清楚表明，為什麼帶半整數自旋的粒子是費米子，它們的概率幅是以負號相結合？而帶整數自旋的粒子是玻色子，它們的概率幅是以正號相結合？我們很抱歉不能給你一個簡單的解釋。泡利從量子場論與相對論出發，以複雜的方法推導出一個解釋。他證明了這兩者必須搭配的天衣無縫。我們希望能從更基本的層級複製他的論述，但是尚未獲得成功……這或許意味著我們還未完全了解所牽涉到的基本原理。

想要找到這基本原因的物理學者至今仍舊無法得到滿意答案！這基本原因很可能會是非常錯綜複雜，完全不像泡利不相容原理本身那樣的簡單與精緻。

保羅·埃倫費斯特於1931年指出，由於泡利不相容原理，在原子內部的束縛電子不會全部掉入最低能量的軌道，它們必須按照順序佔滿能量越來越高的軌道。因此，原子會擁有一定的體積，物質也會那麼大塊。

1967年，弗里曼·戴森與安德魯·雷納德（Andrew Lenard）給出嚴格證明，他們計算吸引力（電子與核子）與排斥力（電子與電子、核子與核子）之間的平衡，推導出重要結果：假若泡利不相容原理不成立，則普通物質會坍縮，佔有非常微小體積。

1964年，夸克的存在被提出之後不久，奧斯卡·格林柏格（Oscar Greenberg）引入了色荷的概念，試圖解釋三個夸克如何能夠共同組成重子，處於在其它方面完全相同的狀態但卻仍滿足泡利不相容原理。這概念後來證實有用並且成為夸克模型（quark model）的一部分。1970年代，量子色動力學開始發展，並構成粒子物理學中標準模型的重要成分。

泡利不相容原理可用來解釋很多種不同的物理現象與化學現象，這包括原子的性質，大塊物質的穩定性與性質、中子星或白矮星的穩定性、固態能帶理論里的費米能級等等。

泡利不相容原理的重要後果是原子里錯綜複雜的電子層結構，以及原子與原子之間共用價電子的方式，這後果解釋了各種不同的化學元素與它們的化學組合。

電中性的原子含有數量相等的電子與質子。電子是費米子，遵守泡利不相容原理，每一個原子軌道最多只能載有2個電子。當正好有兩個電子處於同一個原子軌道時，這對電子的自旋必定彼此方向相反。

舉例而言，中性氦原子有兩個束縛電子，這兩個電子都能夠佔據最低能量原子軌道（1s），但彼此之間自旋的方向相反，一個是上旋，另一個是下旋。由於自旋是電子量子態的一部分，這兩個電子處於不同的量子態，不會違反泡利不相容原理。

中性鋰原子有三個束縛電子，第三個電子不能佔據1s原子軌道，因為1s原子軌道已被填滿，只能改而佔據第二低能量原子軌道（2s）。類似地，越後面元素的束縛電子必須佔據越高能量的原子軌道。

每一個元素的化學性質與最外層的電子層所擁有電子的數量有關。不同的元素，假若最外層的電子層所擁有電子的數量相同，則所表現出的性質類似，周期表就是依賴這機制來排列元素。

依賴泡利不相容原理與遞建原理，就可以解釋周期表內大多數元素的物理與化學性質，但是，遇到關於比較某些原子軌道的能量高低問題，需要使用到洪德規則。較重元素可能會出現不遵守洪德規則的例外。

類氫原子系統的穩定性並不依賴泡利不相容原理，而是依賴描述原子的量子理論。應用經典電動力學來分析類氫原子穩定性問題，由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時發射出無窮大能量的輻射，因此可以推論，原子不具有穩定性。但是，在大自然里這假想現象實際並不會發生。

那麼，為什麼氫原子的束縛電子不會掉入原子核？從薛定諤方程，可以計算出氫原子系統的基態能量大於某有限值，因此不可能發射出無窮大能量的輻射，自然也不會掉入原子核。

另外，也可以應用海森堡不確定性原理{displaystyle Delta xDelta pgeq hbar /2}來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，必需使用類似的索博列夫不等式。

泡利不相容原理使得含有多個電子與核子的大型系統佔有大體積的空間，並且具有穩定性。對於這論題，埃倫費斯特曾經提出疑問，為什麼物質會這麼大塊，儘管它的分子與原子被包裝地那麼緊密？追根究底，為什麼原子的尺寸會這麼龐大？

舉例而言，鉛原子擁有82個質子與82個電子，鉛原子核的吸引力應該很強，是氫原子核的82倍，但是只有少數電子的軌道離原子核很近，按照經典理論，在電子與電子之間的排斥力超過原子核的吸引力以前，應該可以有更多電子集中在原子核附近的軌道。但是，為什麼鉛原子不會這樣坍縮變小？

埃倫費斯特猜想，這是因為泡利不相容原理所產生的效應；由於泡利不相容原理，原子的尺寸才會這麼龐大，物質才會這麼大塊。後來，戴森發表論文表明，假若沒有泡利不相容原理，不只單獨原子會坍縮變小，物質也會同樣的坍縮變小；任意兩個大塊物體混合在一起，就會釋出像原子彈爆炸一般的能量！

假設一個原子擁有N>2個電子，由於電子是費米子，這N個電子不能佔有同樣量子態，因此不會都塌陷至最低能量的量子態，電子排布不會是(1s)N；假若泡利不相容原理不成立，則所有電子都會塌陷至1s軌道，原子的尺寸會變得很小；除了與原子核的電荷平方成正比的電離能以外，元素與元素之間不會有什麼顯著差別；元素越重，化學反應越需要更多的能量；元素的性質不會出現周期性；化學與生物學都成為空論，更不會有任何地球生命！

在天文學裡，白矮星與中子星的存在演示出泡利不相容原理的驚奇效應。在這兩種冷恆星天文物體里，原子結構被特強勁的引力破壞，但仍舊能夠依靠簡併壓維持平衡。這種奇特形式的物質稱為簡併物質。恆星通常倚靠內部的核聚變來與質量產生的巨大引力維持平衡。白矮星不會進行核聚變，因此必須依靠電子簡併壓來與引力相對抗。在中子星里，由於受到更強勁的引力，電子與質子融合在一起，形成中子。雖然作用距離較短，中子能夠產生更強勁的簡併壓，因此促使中子星達到穩定狀況，不再進一步坍縮，儘管如此，中子星的尺寸比白矮星小，密度比白矮星高。中子星是已知最剛硬的物體，其楊氏模量（更精確地，體積模量）比鑽石還剛硬20個數量級。但是，甚至這麼剛硬的物體仍舊可以被大質量恆星的引力場或超新星所瓦解，導致黑洞的形成。

泡利不相容原理很好的解釋了電子排列，這在上面已經提到了。核外電子排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理和洪特規則。

能量最低原理就是在不違背泡利不相容原理的前提下，核外電子總是儘先佔有能量最低的軌道，只有當能量最低的軌道佔滿後，電子才依次進入能量較高的軌道，也就是儘可能使體系能量最低。

洪特規則是在等價軌道(相同電子層、電子亞層上的各個軌道)上排布的電子將儘可能分佔不同的軌道，且自旋方向相同。

後來量子力學證明，電子這樣排布可使能量最低，所以洪特規則可以包括在能量最低原理中，作為能量最低原理的一個補充 。

在這裡我要提醒大家，泡利不相容原理不是一個定理。因為它沒有嚴格的數學推導，也不能從最根本的量子系統層面做出解釋，這一點泡利本人也是承認的。

但泡利不相容原理卻是可靠的，因為它經歷了無數的實驗，也能夠解釋量子系統的眾多現象。和很多現有的理論是吻合的，比如費米—狄拉克統計，玻色—愛因斯坦統計等等。所以它是靠譜的理論！

至於最根本的問題，即「為什麼不能有兩個或兩個以上的粒子處於完全相同的狀態？」還沒有確切的答案。目前的答案，都是逆反證明。即從假如粒子不遵從泡利不相容原理，就會坍縮，體積變小，不像我們現在看到的這樣。是這樣的逆反證明。

真正從根本上，深層次的解答，其實還沒有的。你認為是什麼原因？

我自己的想法的是，和粒子的自旋，以及粒子世界的場能有關。畢竟粒子為什麼自旋，這個內秉性質，也讓我們著迷。

都說趁熱打鐵比較好，所以下一章，為大家介紹自旋的相關知識和內容。希望給有心人帶來啟發。

摘自獨立學者，詩人，作家，國學起名師靈遁者量子力學書籍《見微知著》

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