什麼是「構成主義」？為什麼我們需要它？
假如有一個只包含0和1的無窮序列，其中可能包含0，也可能不包括；同樣，它或許包含1，也或許沒有。但是，這個序列存在最大的數嗎？
「是的。」數學家的答案會是——當然存在。因為如果這個序列中只要有一個1，那最大數字自然就是1；否則，這個序列就完全由0組成，那最大數字就是0.
但是這種情況非常奇怪，因為這一串推理根本無法找出最大值究竟是什麼。如果這個序列有確定的長度，比如說有100個數值，那麼我們只需一一過目就能輕易地找出最大值。但這是一個無窮序列，我們沒有辦法遍歷一個無窮序列。除非你的大腦可以輕輕一「瞥」就看遍這個無窮序列。
所以當我們以困惑亦不完美的大腦來面對這個難題時，事實上只有三種選擇：
接受這就是數學運行的方式，跳過這個問題並與之安然相處，繼續研究數學，學著像一個數學家那樣去思考。
認定數學不適合自己，自己也與任何理論的數學無緣。
做點什麼。這通常意味著你會堅持對數學的追求，並成為一名數學構成主義者（constructivist）。
總體而言，構成主義為數學證明樹立了更高的標準。因為在標準數學中，要證明一個對象的存在並不需要明確的「找到」這麼一個數學對象，只需假設不存在這麼一個對象，然後推導出違背這種假設的結論即可。但構成主義則認為，若要證明一個數學對象存在，就必須找到或者「構建」這麼一個對象。
例如，若要證明某些東西存在，就必須給出一個例子，這個例子可以是一個取決於你曾使用過的一些給定的數學數據的描述。這與理解哪些是允許的，哪些不被允許有些關聯。這在布勞威爾（LEJ Brouwer）、海廷（Arend Heyting）和畢肖普（Errett Bishop）時期就已經被非常成功地分析過了。
構成主義如何影響經典數學？
構成主義並非是一項消極的活動，它只是反對一切照舊。畢肖普就曾是這樣一位大師，他能在普通的「經典」數學中指出他認為的「缺陷」，然後通過對這些內容進行重建來消除缺陷。最後，這些陳述就會發生創造性的改變。總體而言，它需要一些新的、有趣的想法來對最初有「缺陷」的材料做出更微妙的、更富有啟發性的處理。
然而，在數學中有許多重要部分的證明顯然是非構成性的，而且真正想要的構成性證明根本無處尋覓。即使是對那些非構成主義的數學家而言，如何找到構成性的證明被認為是一個能引發極大興趣的重大開放性問題。
例如羅斯定理和法爾廷斯定理（羅斯定理證明了西格爾的一個猜想，法爾廷斯定理證明了莫德爾的一個猜想），這兩個定理都斷言，具有一個（或多個）未知數的某些等式（或不等式）最多具有有限多的有理數解。構成主義者希望有一個能夠列出這些解的程序。但是對於羅斯定理和法爾廷斯定理，沒有人知道該如何做到這一點。
不過情況並不像可能的那樣令人不安。對於兩個定理，我們都可以證明存在這樣一個整數，使得給定的等式或不等式的所有解，都能用比這個整數更小的數來表示。但是我們沒有關於這個整數是否存在的構成主義的證明。
我們已經知道關於這兩個定理的解的數量上限，但是要找到這些解則超出了我們的能力範圍。構成主義闡述的正是找到這些解的問題。
構成主義如何影響實用目的的數學
那些並非從事邏輯和基礎數學領域工作的數學家，通常對構成主義採取一種實用主義的態度：他們關注的是那些計算的最終結果，這些結果具有獨立於任何哲學或邏輯系統的意義。
這種方法通常涉及到對理論數學對象的實際計算例子或近似。這基本上是一種實際的「有限主義」（finitism）的態度，有限主義只接受能夠經過有限步構造出來的數學對象，比構成主義更激進，構成主義容許可列舉的無限步。
然而，一般來說，為了能用計算機領域現成的術語來分析一個數學定理，就必須按照等同於構成主義的觀點來分析這個定理，然後從那裡繼續前行。
文：Harvey Friedman（俄亥俄州立大學數學與哲學教授）
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