女生宿舍六個人，最多能建幾個小團體？

最新 09-18

女生宿舍向來是烽煙四起的地方，不久前「一寢室6個人5個微信群」的新聞就曾經刷過屏。

圖片來源：中國青年報微博

雖然這個段子只是調侃，真實生活中我們的宿舍生活也沒有宮斗劇那麼精彩，但是萬事就怕認真二字，下面我們就來深入研究下這個問題。

假如你所在的6人宿舍人際關係很複雜，彼此看對方都是這樣的：

第一視角宿舍關係Venn圖

除了平時一對一私聊吐槽其他每個人之外，你們還會拉各種排他的微信群，成立各種三人群、四人群、五人群(當然還有一個6人大群)，方便說不在群里的人的壞話。那麼問題來了：

你們宿舍最多能建多少個不同的群？又有多少個群在背地說你壞話？

敲黑板了同學們，這不是送命題，這是關於「集合的子集個數」的送分題啊！

要解決這個問題，你首先得知道，一個n元集合的子集個數是2?。

實在想知道證明過程的看這裡

比如｛1，2，3，……，n｝這個集合，我們可以按照元素的個數把它的子集分成n+1類。

含有0個元素：?

含有1個元素：｛1｝，｛2｝……等n個

含有2個元素：｛1，2｝，｛1，3｝……等C(2,n)個

……

含有n個元素：｛1，2，3，……，n｝

寫出來就是

這是二項式定理的推論，楊輝三角形也蘊含這個結論

現在你可以輕易得出，一個6元集合（也就是你宿舍）的子集個數是26=64個。不過這不是最終答案，你得減去?（一個人也沒有的群）1個、一個元素的集合（難不成要自說自話么）6個、兩個元素的集合（直接私聊就行了幹嘛建群）15個，最後得到的答案是...42個。

看到這裡你肯定很好奇了，那不包括我的群又有多少個呢？

我們不妨先思考這樣一個問題，這個集合里含有元素「1」的子集有多少個呢？你可以把子集分為含有元素「1」的子集和不含有「1」的子集。不含有「1」的子集可以理解為｛2，3，……，n｝的某個子集，共有2^(n-1)個，這每一個子集都可以並上｛1｝成為一個對應的子集，於是含有「1」的子集和不含有「1」的一一對應了，各占子集數的一半。