學習數學，意義何在？為什麼數學是主科而理化是副科？

學習數學，

有什麼意義？

有一位初三的同學在知乎上問及學習數學的意義，這引起了很多人的關注。本文作者劉笑，用心發了一篇開源的文章，通俗易懂又不失嚴謹。超模君今天分享給大家。

這個階段的學生確實難以理解初中數學的實際用處，需要耐心解釋。

我不知道現在的老師會不會給學生介紹學科的知識框架，我上初中的時候是沒有老師給介紹的，現在想想如果當時有人可以給我介紹一下，至少會更清楚自己對什麼更感興趣的。不過因為父親是小學老師，所以很早就知道了教學大綱、課程標準（這個是上中學的時候才出來的東西）這類東西，這類東西對我形成知識框架和良好的學習習慣還是有不少好處的。

閑話不說，開講正題：學習數學，意義何在？為什麼數學是主科而理化是副科呢？

中學數學有什麼用？

初中數學學什麼？

初中數學在我上學的時代還是分成代數和幾何兩門學科的。

代數的學習內容包括：代數與代數式、有理數、整式的加減、一元一次方程、二元一次方程組、不等式和不等式組、整式的乘法、因式分解、分式、數的開方、二次根式、一元二次方程、函數及其圖象、統計初步。

幾何的學習內容包括：線段與角、平行與相交、三角形、四邊形、相似性、解直角三角形、圓。

數學的難度極速提升是在初二上學期。由於因式分解和三角形的解題對模式化和技巧性要求很高，學生需要不少枯燥的訓練，同時需要一定的觀察力，成績拉開是在這個階段，不少學生對數學興趣喪失也是在這個階段。

初中新課程：

有理數、整式的加減、一元一次方程、幾何圖形；相交線與平行線、實數、平面直角坐標系、二元一次方程、不等式和不等式組；三角形、全等三角形、軸對稱、整式的乘法與因式分解、分式；二次根式、勾股定理、平行四邊形、一次函數、數據的分析；一元二次方程、二次函數、旋轉、圓、概率初步；反比例函數、相似、銳角三角函數、投影和視圖。

新課程加了許多新內容，深度也增加了，很多內容也重新編排了先後順序。

高中數學學什麼？

高中老課程：集合與簡易邏輯、函數、數列、三角函數、平面向量、不等式、直線和圓的方程、圓錐曲線、立體幾何、排列與組合、概率與統計、極限、導數、複數。

高中新課程：

必修：集合與函數、指數與對數函數、函數的應用、平面幾何體、空間關係、直線方程、圓方程、演算法、統計、概率、三角函數、平面向量、三角恆等變換、解三角形、數列、不等式文科選修：簡易邏輯、圓錐曲線、導數、統計應用、推理證明方法、複數、框圖理科選修：簡易邏輯、圓錐曲線、立體幾何、導數、複數、推理證明方法、計數原理、隨機變數、統計。其他的自選課（可以想像，除了很牛逼的學校，基本不會上）：數學史、球面幾何、對稱與群論、幾何證明、矩陣運算、坐標系和參數方程、不等式（"花式"不等式）、初等數論、試驗設計、風險決策、布爾代數。

不得不說，新課程的自選課簡直是炫酷屌炸天。

中學課程與大學課程的銜接：

數學可以簡單地進行大致歸類：代數、幾何、分析和數論。

如果不是數學系的大學生，一般在本科會學到高等數學、線性代數、概率論和數理統計這三門課程中的兩到三門。高等數學就屬於分析範疇，線性代數顯然屬於代數範疇，概率論和數理統計屬於應用數學範疇，但需要分析和代數工具。幾何和數論一般只有數學系和少數專業學習。

中學數學知識是學習大學數學知識的基礎，這就是學習中學數學的意義所在。這個結論如此簡單明白，以至於幾乎不需要論證。不過還是大致梳理一下中學數學知識的聯繫，以及它們如何構成大學數學的學習基礎，方不愧寫這麼多字嘛！

先說代數和分析：

小學我們計算都是數的運算，結果就是一個數，所以學的都是數的運演算法則。到了中學，我們想用一個可以做萬金油的字母代替所有數，所以引入的代數式。這是一種語言體系的轉換，我們使得運算更加一般化了。引入代數式之後出現了數系的擴充。a-b(a<b，a和b都是整數)引出了負數，a/b(a<b,b≠0，a和b都是整數)引出了分數。所以我們把原來的整數擴展為有理數。這是另一種語言體系的轉換，我們使得運算的範圍擴大了。

然後我們開始學習整式的加減和乘法，並且學了整式乘法的逆運算——因式分解，並且從另一條主線上，我們也學習了由整式構成的方程，一元一次方程、二元一次方程和不等式。整式也能夠做除法，變成分式，同時也可以做分式方程。但是，在解一元二次方程時遇到了x^2=a(a>0)的情況，原來的語言體系不好用了，所以引入了數的開方運算，引入了無理數，將數系擴充到實數領域，以及代數式的形式——根式，這樣就解決了解一元二次方程的問題。我中考時，數學只考一元二次方程、函數和統計初步，因為一元二次方程和函數涉及到所有之前學到的代數知識，所以前面講的內容就沒必要考了。

學了好了基本的運算（加減乘除和開方）以後，引入了函數。這是現代數學最重要的概念之一，也是分析學的研究對象，因此它是中學數學最核心的知識。而函數的知識，在日常生活中幾乎是用不到的，這個概念在近代數學在真正被提出來，在18-19世紀才有真正嚴格化的理論，更高級和嚴格的理論20世紀才產生。但是幾乎所有的數學理論和科學理論都是建構在這個大廈之上。

初中函數的應用基本也是在解方程和不等式上，但是引入函數以後，數學的語言體系就提高了一個新的層次，就和引入代數式以後提高了一個新的層次一樣，高中數學的非幾何和統計部分幾乎完全建構在函數理論上。

高中數學首先引入集合語言，這是現代數學的理論基石，引出後文對函數的定義。但高中水平的數學幾乎用不到這個東西。我高中完全不理解集合語言，只是會區分概念和集合運算。然後開始講解函數的一般性質，包括各種初等函數（指數、對數、三角函數），以及一種特殊的函數（自變數為正整數）——數列。

數列這個詞，到高數裡面就變成序列了，無法理解為啥不在高中就叫序列。函數和數列是高中數學最難的部分，也是高等數學基礎的基礎。然後通過三角函數引出平面向量，介紹簡單的向量代數——又一次數學語言的重大飛躍：我們發現能夠運算的不僅是數，還有代數式；不僅是代數式，還有有序的數和代數式；平面向量代數可以說已經初具線性代數的樣子了，不過由於過於簡單，線性代數的核心概念沒有辦法引入，所以可能無法體會其中威力。

然後是不等式，這是我學高中數學最吃力的一環，書上的題簡單無極限，考試題千迴百轉。等接觸了數學分析才知道，解不等式才是分析的看家本領。高考題的最後一題，基本上就是函數數列不等式的雜糅體。這些基礎打牢以後，就開始學習極限和導數，再深一點的再加點微積分；這已經是高等數學的內容了，高中數學淺嘗輒止，也就那麼回事吧。

統計學是現代科學的基石，但公眾並不了解

統計思想的基石

初中的統計會講一些抽樣的方法（簡單抽樣、分層抽樣之類），簡單的統計量（均值、眾數、中位數、方差、標準差、極差之類），和簡單的概率知識。然後高中講排列組合，概率初步，隨機變數和分布，數學期望和方差、參數估計和回歸之類的知識。這些知識很重要，雖然並沒有涉及到概率論和統計學的精髓，但是排列組合是學習古典概型的基礎，必需非常熟練才能掌握古典概率論；了解簡單的統計量，也是統計思想潛移默化的學習過程。

高等數學在統計中的意義

不過，沒有高等數學工具，高深的統計學理論實在是沒辦法講清楚。單單講實務，讓學生知其然不知其所以然的話，根本起不到提升科學素養的作用。儘管無數人詬病中國教育對統計的重視不夠，無數人提議普及統計學教育，但實際操作起來，還是有不小的困難。

大學的概率論首先是介紹概率的概念，使用的語言的集合論語言，分別介紹古典概型、幾何概型以及柯爾莫格羅夫公理化體系，此後介紹隨機變數及其分布，期望、方差和特徵函數，大數律與中心極限定理。以上這些知識都是統計學的基礎。統計學大致可以分為參數估計和統計推斷兩大範疇：參數估計研究如果從樣本數據估計總體的參數；統計推斷可以大致認為是研究如何比較兩個樣本是否存在差異的。

普通統計學講的是實務，就是講什麼情況用什麼方法才能得到令人信服的結果；數理統計學講的是理論，就是講每種統計方法為什麼是有效的。統計學是現代實驗科學的基石，可以說沒有統計學，實驗數據無法有效處理，難以產生有說服力的結論，科學的進步也就成為空中樓閣。

什麼人需要學習高深的數學？

恐怕只有文學、藝術類的了

數學系的每個專業都需要高深的數學。就北大數學學院而言，就有數學與應用數學專業（基礎數學和金融數學兩個方向），統計學專業（統計學和概率論兩個方向）和信息與計算科學專業（計算數學和信息科學兩個方向）。所有的專業都必修的課：數學分析、高等代數、解析幾何、常微分方程、抽象代數、複變函數、概率論和數學模型。另外，每個方向會在各自領域進行不同程度的深化學習。

物理系的各個專業都需要高深的數學。物理系的四大力學（理論力學、統計力學、電動力學和量子力學）充滿了數學，甚至可以說完全就是應用數學課。此外，還有數學物理方法課程，同樣是應用數學課。所以，物理系（包括天體物理、天文學專業）需要用到的數學比一般的理科專業要多。具體需要多少還是跟方向相關，不同專業可能涉及到實變函數、抽象代數、偏微分方程甚至黎曼幾何。

計算機專業需要高深的數學。除了高數、線代和概統之外，至少還需要集合論和圖論，數理邏輯，演算法分析、代數結構、組合數學、數值方法等專業的數學課程來為計算機語言邏輯和數字技術打基礎。

化學專業需要一定程度的高深數學，跟方向關聯較大。至少化學分析需要基本的統計學，結構化學需要量子力學的知識，而學好量子力學的前提是學好線性代數和偏微分方程。此外樓上有答主說，還涉及群論的內容。

工科專業幾乎所有都是以數學、物理學（或化學、生物學）和計算機作為其理論基礎的，數學要求自然是比較高的，尤其是涉及物理的相關專業，比如機械、電機、電子、土木、水利等專業，對數學的要求非常高。

經濟學（包括會計和管理）專業需要一定程度的高深數學。計量經濟學是現代經濟學的靈魂，只有涉及數學方法的經濟學探討才是真正意義上的學術探討。計量經濟學幾乎就可以翻譯成經濟統計學，本身就是數學方法課程。

金融學專業除了經濟數學之外，還需要學習風險評估，至少涉及隨機過程、時間序列分析、優化設計和金融數值方法之類的數學課程。

社會學專業也有專門的社會學統計方法課程，自然是涉及概率論和統計學，那也自然而然需要高等數學的基本知識。生物學和醫學專業也有專門的生物統計學方法課程，自然也需要高等數學基本知識。

講究點的哲學專業，恐怕也都需要對數學的基本了解，畢竟現代哲學一大流派是分析哲學，對數學和邏輯學基礎的研究恐怕連數學專業都望塵莫及呢。

完全不涉及數學的專業，恐怕也只有文學專業、歷史專業、外語專業和政法專業。然而政治專業從來都沒辦法脫離經濟學看問題，還是多多少少會涉及一些經濟學知識；法律專業有一個方向叫知識產權法，需要從業者不僅熟悉法律本身，還要對知識產權相關專業有所了解，而這些專業往往都是理科專業。

數學對於非數學工作者意味著什麼？

我們從小學開始，一直在學習數學，一直到大學還在學習數學。小學數學教會我們計算，這是數學當中最有用的部分，每個人都在用，每個人都會在生活中應用，因為親切直觀。到了初中以後，數學逐漸越來越失去它的直觀性，開始露出它本來的面目——抽象，而且越學越複雜，越學越抽象。我們不清楚學習這麼複雜抽象的數學有什麼意義。直到有一天，我們發現我們學習的物理變成了這個樣子：

物理中的動量

我們學習的化學變成了這個樣子：

我們的醫學專業變成這個樣子：

經濟學教程也變成這樣：

於是我們明白數學的作用，於是書到用時方很少之感油然而生。

對於非數學工作者來說，數學是一種書面語，跟中文、外語的書面語一樣，是一種表達方式。通過這種表達方式，我們可以把一個科學理論嚴格化、抽象化，使它更容易被理解和使用。沒錯，是更容易被理解；但是對於不懂這門語言的人，就會覺得跟天書一般。

相對的，數學跟外語一樣，也是認識世界的一種方式。原來無法解決的科學問題，往往通過新的數學方法就迎刃而解，比如微積分、矩陣、群論、非歐幾何，就把原來看來極其複雜的問題變得非常容易解釋。而對於不懂這門語言的人，就無法進入這個繽紛多彩的世界。（比如好多人對量子力學感興趣，但是沒有數學基礎，就很難深入其中了）

至於為啥數學是主科，物理化學生物是副科？還能因為啥，因為文科不考理化生唄。為啥文科不考理化生？因為大學文科專業幾乎不學理化生啊！

只要考試，哪個科不是主科；不考試的科，誰拿他當個凳兒啊！

本文來源於知乎，作者：劉笑

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