黎曼猜想是什麼？

能不能簡單解釋黎曼猜想是什麼？其實可以。

但是話說在前面，越是簡單的解釋，丟失的信息就越多，所以解釋得越簡單，就越難接著解釋為什麼這個東西很重要。

黎曼

用我能想到的最簡單辦法解釋，是這樣的：根據一個重要的數學公式，能畫出很多很多個點，實際上有無窮多個這樣的點。黎曼覺得，這些點有一部分排成一條橫線，另一部分排成一條豎線，所有這些點都在這兩條線上，沒有一個漏網的。

這麼一說是不是感覺沒有什麼了不起的樣子？那就稍微擴展一點：

首先，有一個很重要的函數，叫黎曼澤塔函數。

這個函數是一個複函數，可以把它理解為有兩個變數的函數，一個叫實部，一個叫虛部。寫成熟悉的函數樣子的話，那就是 y = f (實, 虛)。

這函數長得有點複雜，但可以先從簡單情況看起：假如我們先不管虛部，強制讓虛部=0，那就是一個很普通的函數 y = f』 (實) 了。這個函數長啥樣呢？

上圖是它的一部分。你會發現它有一個明顯特點：當實部=-2、-4、-6、-8、-10??等等的時候，這個函數都和x軸相交。換言之，它的函數值在這些時候都是0.

這就是我們想要的東西：讓黎曼澤塔函數的函數值取0的點。

當然，這些點太顯然了，很沒意思，用數學家的話說就是這都是「平凡」的解。簡單的原因是，我們剛才只考慮了虛部=0的情況。如果允許虛部隨便取，那要怎樣才能讓函數值取0呢？

這就是黎曼的猜想了：為了讓函數值取0，除了這些平凡解之外，剩下的所有解，不管虛部多大，實部都一定是1/2。

或者說，如果我們把所有的解畫在坐標軸上，實部是橫，虛部是縱，那麼它們應該像下圖這樣，除了左邊-2、-4、-6那一串，剩下右邊的，全都在1/2的這條紅線上。

換句話說，「黎曼猜想指的是：對於黎曼澤塔函數，其非平凡零點的實數部分都是1/2。」 也可以表述成，「黎曼澤塔函數的零點要麼是負偶數，要麼是實部為1/2的複數。」

??憑什麼啊？

不知道！但這就是黎曼的猜想，而且這個猜想如果成立的話，將會非常非常非常的好用。實際上，數學家們已經在假定它成立的情況下，從它推出了成百上千條定理，涉及到好多好多領域的數學。假如有一天突然發現黎曼其實猜錯了，那大家就會很慌，有很多本來習以為常的東西都錯了，就像大廈的地基突然塌陷；但大家也會很興奮，因為這就意味著很多之前認為做不了的事情突然又可以做了。

但反過來如果終於有人能夠徹底證明黎曼真的是對的，那??其實不會造成什麼立即的動蕩，因為大家一直都是假定它是對的，只不過終於所有人都能鬆一口氣睡個安穩覺了。（必須指出，黎曼猜想並不能直接用來解決大質數分解問題，它的成立並不意味著我們的加密系統要立刻完蛋。）

不造成立刻動蕩，不意味著證明不重要。為了這個定理大家已經花了一百五十多年，常規的辦法都試過了都不太管用，所以如果有人真的證明了它，幾乎肯定是找到了一條前無古人的新路線；而因為黎曼猜想的地位十分核心，所以這個路線幾乎肯定能用來干好多別的厲害的事情，甚至開闢一整個新領域。上一次出現這種事情，是證明費馬大定理。費馬大定理本身其實沒有特別特別重要，但是為了證明它而開發出的一系列數學工具改變了數學界的面貌；對於黎曼猜想，大家等的也是這樣的場景。

但究竟能不能等到嘛??這次就看24號海德堡大會上Michael Atiyah爵士到底能講出啥來了 _(:з」∠)_

以及，一個PS：

如果對黎曼澤塔函數取-1，就得到了那個著名的「公式」：1+2+3+4+??=-1/12。

但是，這不是加法！不是加法！不是加法！不是說自然數的和是-1/12！這是一個發散的級數，按照標準的加法，談論它加起來是啥根本沒意義。

這個公式最早是歐拉搞出來的。歐拉那個時代，大家沒有搞明白微積分，做了很多亂來的事情，後來兩百年才慢慢救回來。歐拉證明這個「公式」的做法，按照今天的標準，就是錯的。沒懸念。

但是後來的數學家發現，雖然歐拉的證明是錯的，但是在有些特定的場合下，比如物理上的重整化或者數學的模形式，說「黎曼澤塔函數在-1處的值為-1/12」 （或者，ζ(-1)=-1/12），這樣做居然很有用??

怎麼說呢，牛人運氣好，歐拉蒙對了（雖然他幾乎肯定不知道自己蒙對了啥）。

但總而言之，在這個問題上數學家們費了很大的勁，重新定義了加法（真的），用很麻煩的嚴格辦法讓ζ(-1)=-1/12這個事情能夠成立。但是今天的數學家已經沒有人會把它寫成「1+2+3+4+??=-1/12」了。這樣做一是沒有必要，二是引起誤解：這裡的加是所謂拉馬努金求和，根本就不是我們日常熟悉的那種加法。

所以再重複一遍：所有自然數加起來不是-1/12，而是一個沒有意義的東西，就像你算1÷0得到的是沒有意義的東西一樣。

今天油管上有很多視頻說證明1+2+3+4+??=-1/12，這些視頻99.99%都是錯誤的證明，都是亂搞，有的和歐拉一樣蠢，大部分比歐拉還蠢得多（咦這話說出來好像不是貶義）。還有好幾個類似的，比如1-1+1-1+1??=1/2，也是差不多的現象，錯誤的證明滿天飛；你可以給它一個嚴謹的證明，但那個證明會很難，而且使用的也不再是我們熟悉的加法減法。

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作者：Ent

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