研究數學的意義是什麼？
導語：數學研究，究竟是以實際應用為目標，還是一小撥高智商人群的自娛自樂？數學的意義在何處？來自加州大學洛杉磯分校的Amir Alexander帶你通過歷史尋找答案。
1842年，著名的德國數學家雅可比（Carl Gustav Jacobi）受邀在曼徹斯特的一個學術會議發表演講，他的一番話讓在場的英國聽眾都大跌眼鏡：「科學的最高榮耀，是無用。」面對著台下震驚的物理學家們，他繼續說，科學的真正目標是「人類精神的榮光」，而最終能不能帶來實際用途並不重要。
雅可比沒能使大家改變看法。在跟他哥哥的通信中，他帶著滿意的口吻說，他的一番話讓大家都「大搖其頭」，畢竟英國作為歐洲製造業的首都，那裡的科學家們自然也都是以促進工業進步為終身事業的。然而，雅可比周圍的德國數學家們可不這樣——他們都同意雅可比的觀點，認為數學真理是獨立存在的，不需要其他東西來證明。
確切地說，沒人（包括雅可比）能否認在某些領域，數學是很有用的，而且正是數學讓現代技術得以迅速發展。然而，在其他領域，包括一些最偉大的數學發現所在的領域，數學好像並不能提供任何形式的實際用途。
其實，數學的這個特點，自它誕生的時候就伴隨著它了。幾何學，作為最古老的科學之一，雖然其名字（geometry）告訴我們它起源於土地測量這一實用的技術，但到了公元前300年歐幾里得將它總結編纂成《幾何原本》的時候，它離實際應用已經很遠了。舉個例子，在《幾何原本》第五卷的命題16提到了圓內接正15邊形——那時候的實際生活中哪會用到正15邊形呢？而誰又會用到阿基米德發明的那個計算拋物線所圍的面積的聰明方法呢？
而到了現代，數學在非實用的道路上越走越遠。與雅可比同時代的數學家伽羅瓦（?variste Galois，1812-1832）由於發現了用標準代數方法判斷任意一個方程是否可解的方法而永垂不朽。這是數學史上的大事——然而這個方法是如此麻煩（伽羅瓦自己也坦然承認），以至於僅僅對一個方程作出判斷，就可能耗費一個數學家一生的時間。同樣是在19世紀，非歐幾何誕生了。這個領域描繪了一個奇妙的世界，在這個世界裡圖形的形狀取決於它們的體積。之後，康托爾又發現了無窮大的不同階次，這在數學界引發了一場暴風驟雨，而對圈外人來說，只是一陣小小的漣漪罷了。
有的時候人們會說，在數學的某些領域，雖然研究時並沒有以實際應用為目標，最終卻產生了令始創者都沒有想到的實際應用。然而，高等數學領域是例外：絕大多數的高等數學研究，自被發現以來，都一直保持著原初的狀態，看不到任何投入實際應用的可能性。所以說，高等數學就僅僅是一群受過高度訓練的專業人員玩的智力遊戲嗎？如果是這樣，我們為什麼還要在意這些成果呢？
對於這個問題，偉大的英國數學家G.H. 哈代，給出了一個答案：「如果非要給真正的數學賦予意義的話，那麼只能將其看作是藝術。」這個回答可能會讓雅可比感到高興，但對於那些一心想要為數學找到一個實在用途的人們來說，或許並不會滿意。
所以這裡給出另外一個答案：數學是關於秩序的科學，而一直以來，人們都在用數學來規範他們的人生、社會和世界。
想想柏拉圖的例子吧——這位古希臘哲學家曾經在自己的學園門口刻上這樣的字樣：「不懂幾何者，不得入內。」他對幾何學如此熱愛，以至於不僅將它視為獲得最高真理的典範，也視為獲得他崇尚的政治秩序的基礎。幾何學中的每一件事都有著清晰、理性、不可動搖的位置，而柏拉圖的理想國也是如此，在國家的階級體系中，每一個人都有明確的位置。柏拉圖設想的由哲學家統領的、等級嚴明的寡頭政治體系放到今天或許會讓大家感到排斥，然而從他所在的時代一直到今天，他的理想國對改革者們來說一直都是一個文明有序的社會範本。
使用幾何學中的原理來構建有序社會和國家，這種想法到後世仍然有人採用。17世紀，耶穌會試圖用幾何原理的模型來改革天主教會體系，並以此支持教皇集權和不可動搖的等級制度。法國的路易十四國王也建造了如下充滿各式各樣幾何圖形、令人眼花繚亂的凡爾賽花園，作為自己權力的象徵。花園中的每一塊石頭、每一朵花、每一棵草都嚴格遵照幾何學規則，放在應放的位置，而所有的這一切都指向國王的宮殿——那是所有直線的焦點。
另一方面，反對等級制度的人們卻樂於將數學作為自己的理論基礎，為他們的事業貢獻力量，積極發揚新的「等積原理」（method of indivisibles，又稱「卡發雷利原理」）來代替死板的幾何學。而這方面最典型的代表就是微積分。在微積分建立初期，它的原理看起來是有矛盾的，人們對它的了解也不完善，但它仍然產生了很多優美而強大的結論。對於追隨者來說，微積分就是放下教條主義、直奔實際目標的典範。
數學不僅影響了政治，也影響了文化潮流的走向。19世紀早期，受浪漫主義運動影響，高等數學拒絕與自然世界相結合，轉而走向另一個只由數學定理統治的世界。正像那個時期的浪漫主義畫家、詩人和作曲家一樣，數學家試圖脫離充滿缺陷的、墮落的現實生活，追尋一個由真理與美構成的完美天國。而到了20世紀初，非歐幾何的發展顛覆了我們對真實世界看似不言而喻的假設，我們所處的歐幾里得的世界竟然只是無窮可能性中的一種——這一發現大大影響了現代美術和文學，使它們摒棄了單一視角的敘述，開始採用多重視角。
這只是一個小小的例子，表明數學已經影響了一代又一代人的生活，但我希望它已經足夠說明數學的確很重要。並不僅僅是因為數學的研究結果可能在某一天會派上用場，創造出先進的科技，也因為我們人類歷史上的最高目標——對秩序和意義的尋求，永遠將我們帶回到數學的懷抱。
（作者：Amir Alexander，在加州大學洛杉磯分校任教；翻譯：丁家琦；審校：朱佳蓮）
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