數學證明：奇蹟並不罕見？
我稱之為「不可能性原理」（Improbability Principle）的數學定律會告訴你，不必為各種巧合事件感到驚訝。事實上，我們應該期待巧合的發生。這個原理的一個重要組成部分是「巨數法則」（law of truly large numbers），即在每一次嘗試中，不管一個特定事件多麼不可能發生，只要嘗試的次數足夠多，我們終將看到這一事件的發生。儘管如此，當我們在某些情況下確實擁有很多嘗試機會時，還是會覺得特定事件發生的概率非常小。這種誤解導致我們嚴重低估了這類事件發生的概率：我們認為某件事幾乎不可能發生時，實際上它不僅非常可能發生，甚至可以說幾乎肯定會發生。
為什麼在大量嘗試中罕見事件發生的概率非常大，而人們卻往往意識不到這一點？與不可能性原理有關的另一個數學定律——組合定律（law of combinations）揭示了其中的奧秘。根據組合定律，多個因素的組合數量會隨著因素數量的增加而呈指數式增長。「生日問題」就是一個著名的例子。
生日問題指的是：在一個房間里，至少有多少人，才能使得其中兩個人的生日是同一天的可能性超過50%？
答案是只需要23人。如果一個房間里的人數不小於23，那麼其中兩個人的生日是同一天的可能性就超過50%。
如果你之前從未聽說過生日問題，上述答案可能會讓你大吃一驚。只需要23個人，這個數字聽起來也太小了吧？也許你的理由是這樣的：任何一個人的生日和你是同一天的可能性，只有1/365。也就是說，任何一個人的生日和你不是同一天的可能性就是364/365。如果房間里有n個人，那麼除你以外的n – 1人，每個人的生日和你不是同一天的可能性都是364/365，也就是說，所有n – 1個人的生日和你不是同一天的可能性是364/365 ×364/365 ×364/365 ×364/365 ×……364/365 ，即364/365 的n – 1次方。當n是23時，這個結果是0.94。
由於這個結果指的是其他任何人的生日都和你不是同一天的概率，那麼這些人中至少有一個人的生日和你是同一天的概率就是1 – 0.94（很顯然，要麼有人生日和你是同一天，要麼任何人的生日都和你不是同一天，這兩種可能情況的概率相加是1）。好吧，1 – 0.94等於0.06。這個概率很小。
然而，上述計算方法是錯誤的，原因是：生日問題問的並不是有人生日都和你是同一天的概率，而是同一個房間里，任意兩個人生日是同一天的概率。這既包括上面所計算的至少有一個人生日和你相同的概率，也包括其他人中有兩個人或更多人的生日相同，卻和你的生日不同的概率。
這就要請組合定律出馬了。儘管只有n – 1個人可能和你是同一天生日，但房間里任意兩個人的組合共有n ×（n – 1）/2種。當n變大時，兩兩組合的數量隨之急劇增加。當n為23時，這個值為253，比n – 1 （這時是22）的10倍還大。也就是說，如果房間里有23個人，那麼任意兩個人形成的組合共有253種，而其中包括你的組合卻只有22種。
現在，讓我們來看看房間里的23個人生日各不相同的概率到底是多少。對任意兩人而言，第二個人和第一個人生日不同的概率是364/365。那麼，這兩個人生日不同、且第三個人和這兩個人的生日都不同的概率就是364/365 × 363/365。同樣地，這三個人生日各不相同、且第四個人和這三個人的生日都不同的概率是364/365 × 363/365 × 362/365。以此類推，這23個人生日各不相同的概率是364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 …… × 343/365。
計算結果是0.49。房間里的23個人生日各不相同的概率是0.49，因此其中至少有兩個人生日相同的概率是1 – 0.49，也就是0.51，這個概率已經大於50%了。
重複的中獎號碼
讓我們把目光轉向彩票，來看看另一個看似不可能發生，卻真實發生過的例子。2009年9月6日，保加利亞彩票隨機抽取的中獎號碼是4、15、23、24、35、42。這組中獎號碼沒什麼令人驚訝的。雖然中獎號碼的組成數字都是像1、2、3、4、5這樣的小數字，但這也並不罕見。此外，中獎號碼中有一對連號，23和24，不過這種情況出現的頻率遠比人們通常估計的高得多（如果讓人們從1到49的號碼中隨機挑選6個號碼，他們選擇連號的概率比真正隨機抽取時出現連號的概率更小）。
4天後，令人驚訝的事情發生了：9月10日，保加利亞彩票隨機抽取的中獎號碼依然是4、15、23、24、35、42，和上周的中獎號碼一模一樣。當時，這個事件被媒體炒得沸沸揚揚。路透社9月18日的一篇報道中，引述了一位女發言人的話：「在該彩票52年的發行史上，這種情況是第一次出現。當看到這種極為反常的巧合時，我們全都目瞪口呆。不過，這的的確確發生了。」不久後，時任保加利亞體育部長的斯維倫?內科夫（Svilen Neikov）下令對此展開調查。這是不是一個驚天騙局？是不是有人以某種方法複製了上一期的中獎號碼？
實際上，這個令人大吃一驚的巧合正是不可能性原理的另一個例子，也是組合定律放大效應下的巨數法則的體現。首先，全世界有許許多多種彩票。其次，它們年復一年、一輪又一輪地開獎。這使得彩票中獎號碼重複的可能性大增。再次，組合定律在這裡起作用了：每一次彩票開獎的結果，都可能包含之前開出的中獎號碼。總的來說，與生日問題的情況類似，如果你的彩票開獎n次，那麼其中有兩次中獎號碼重合的組合共有n ×（n – 1）/2種。
2009年出現中獎號碼重複的保加利亞彩票是一種49選6的彩票，所以任何一組6個號碼出現的概率是1/13 983 816。這就意味著，任何兩組抽獎號碼完全雷同的概率是1/13 983 816。不過，3次抽獎中有兩次號碼雷同的概率有多大？或者說50次抽獎中有兩次號碼雷同的概率有多大？
當只有3次抽獎時，共有3種可能的組合；但當有50次抽獎時，就會有1 225種可能的組合。組合定律又發揮作用了。如果我們更進一步，在有1 000次抽獎時，會有499 500種可能的組合。換句話說，當抽獎次數提高到原來的20倍，也就是從50次增加到1 000次時，可能的組合數增加得更快，從1 225種增加到499 500種，幾乎相當於原來的408倍。顯然，我們正在進入「巨數」的領域。
那麼，需要抽多少次獎，才能使得重複抽出同一組6個中獎號碼的概率超過50%？這樣的話，保加利亞彩票事件就很可能是正常發生的了吧？利用處理生日問題時所用的方法，我們得出的答案是，只需要4 404次。
如果每周抽兩次獎，一年就有104次，也就是說，不到43年，就可以達到上述計算結果得出的所需抽獎次數。這就意味著，在43年內，彩票機重複抽出一模一樣的6個中獎號碼的概率超過50%。這樣的事件，顯然不是一個「極為反常的巧合」。
這還只是考慮了一種彩票。當我們考慮全世界發行的各種彩票時，我們就能明白，如果抽獎號碼沒有偶爾重複一下，才真的讓人感到驚訝。所以，當得知2010年10月16日開獎的以色列米福爾?哈佩斯國營彩票（Israel』s Mifal HaPayis state lottery）中獎號碼是13、14、26、32、33、36——與幾周前的9月21日開出的中獎號碼一模一樣時，相信你已經不會吃驚了。你也許已經不會對這樣的事件感到驚訝，但別人未必這麼想。以色列的談話類廣播節目中充斥著人們的抱怨之聲，他們大都認為這次彩票抽獎有貓膩。
保加利亞彩票事件有所不同，是在相鄰的兩次開獎中出現了雷同的號碼。但是，考慮到巨數法則，以及全世界有那麼多彩票在定期開獎的事實，我們大可不必大驚小怪。同樣地，我們也不必為之前曾經發生過的類似事件感到吃驚。比如，2007年7月9日和11日，美國北卡羅來納州「現金5」彩票（North Carolina Cash 5 lottery）也開出了同樣的中獎號碼。
此外，組合定律還會帶來非常令人沮喪的彩票結果，1980年發生在莫琳?威爾科克斯（Maureen Wilcox）身上的事情就是一個例子。威爾科克斯購買了許多彩票，其中就有馬薩諸塞州彩票（Massachusetts State Lottery）和羅德島彩票（Rhode Island Lottery）的中獎號碼。然而，對她而言十分不幸的是，她購買的馬薩諸塞州彩票上印著羅德島彩票的中獎號碼，而她購買的羅德島彩票上印著馬薩諸塞州彩票的中獎號碼。設想一下，如果有10種彩票，每一種你都買了一張，那你就有10次中獎機會。而10張彩票兩兩組合共有45種，因此，從你購買的10張彩票中任意拿出兩張，恰好中了10種彩票中某兩種的機會，比你真正中獎的機會大4倍多。顯然，這並不是獲得巨額財富的辦法，因為如果你購買的彩票上印著另一種彩票的中獎號碼，顯然你是不會中獎的，只會讓你懷疑上帝是否在和你開玩笑。
組合定律適用於許多人或物體相互影響的情況。例如，設想一個班裡有30名學生，他們可以通過不同的方式相互影響。他們可以各自獨立，這就是30個個體；也可以兩兩組合，這就有435種不同的組合；還可以三人一組，這就有4 060種不同的組合；可以一直以此類推下去，直到他們成為一個整體——30個學生組成一組。
所有這些可能出現的不同組合方式，共有1 073 741 823種。這可是超過10億啊，要知道，這還是只有30個學生的情況。通常，如果一個集合含有n個元素，那麼它的非空子集就有2n – 1個。當n = 100時，結果就是2100 – 1，約等於1030 ，這對任何人而言都是一個「巨數」。
不過，如果你認為1030 還不夠大，你可以把目光投向萬維網（World Wide Web）。萬維網擁有約25億用戶，任意用戶間都能產生關聯，這樣就有3 × 1018種兩個用戶形成的組合，而任意數量相互影響的用戶形成的組合種類則高達10750 000 000。如果某個事件有如此多的發生機會，就算它單次發生的概率再小，也幾乎可以肯定：它在如此多的機會下一定會發生。
下次，當你遇到一個看似奇怪的巧合時，記得回想一下不可能性原理吧。
（撰文：戴維?J?漢德/David J. Hand；翻譯：楊揚）
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