給數學新手的忠告

編者注：數學新手所需要學習的最重要東西，當然是數學。然而，學習從其他數學家那裡得來的經驗也是非常有價值的。在英國數學家菲爾茲獎得主高爾斯編輯的《普林斯頓數學指南》中，收入了包括阿蒂亞、孔涅在內的五位大數學家寫給新手的「給年輕數學家的忠告」。作者被要求按照他們自己研究數學的經驗，對新手給出忠告，就好象他們正在開始自己的研究生涯時，所願意收到的忠告一樣。由此寫出的經驗不僅如我們所期待的那樣很有意思，而且更使我們感到驚奇的是它們很少有重複。以下是他們寫的寶貴經驗，雖然它們是針對數學新手而說的，但是肯定會被所有年紀的數學家所欣賞和閱讀。

本文由上海師範大學陳躍教授翻譯，曾發表於《數學文化》，感謝陳躍教授和《數學文化》授權。

一Michael Atiyah的忠告

Michael Atiyah

聲明

以下僅僅是我個人的看法，主要依據我自己的經驗，反映了我的個性、我所研究的數學類型，以及我的工作風格。實際上，數學家們的經驗、個性、工作類型和風格可以說是千差萬別，你應當遵從你自己的天生愛好。你可以從別人那裡學到東西，但應該用你自己的方式來解釋你所學到的東西。原創性來自於打破常規，在某種程度上，還來自於過去的實踐。

動機

一個數學家做研究，就像一個充滿創造力的藝術家一樣，必須對所研究的對象極其感興趣，全神貫注。如果沒有強烈的內在動機，你就不可能成功。即使你只是一名愛好數學者，你從解決困難問題中得到的滿足感也是巨大的。

在研究的頭一、兩年里是最為困難的。有那麼多的東西要學習。甚至有一些小問題你都無法解決，這樣你就會非常懷疑自己證明新定理的能力。在我研究的第二年，我順利度過了這一艱難的時期。塞爾(Jean-Pierre Serre)也許是我們這一代數學家中最傑出的一位，就是他也曾經跟我講過，他在一段時間裡認真地想過是否要放棄數學。

只有凡夫俗子才最相信自己的能力。你越是出色，你為自己定的標準就越高——你可以超越你所能夠達到的目標。

許多有可能成為數學家的人也具有從事其他行業的能力與興趣，他們可能都會面臨著非常艱難的選擇：是準備成為一名數學家還是做其他的什麼職業。據說偉大的高斯就曾在數學和語言學之間來回搖擺，帕斯卡早年為了研究神學曾經放棄數學，而笛卡爾和萊布尼茨同樣也是著名的哲學家。一些數學家後來成了物理學家（例如戴森(Freeman Dyson)），而另一些人正好相反（例如錢德拉(Harish Chandra)、博特(Raoul Bott)），他們從物理學家變成了數學家。你不能將數學看成一個封閉的系統，數學與其他學科之間的相互作用不論對個人還是對社會來說都是健康的。

心理方面

由於在數學中需要高度的集中思考能力，由此產生的心理壓力是相當可觀的，即使是在研究比較順利的時候也是如此。這個問題是大是小主要看你的性格，不過可以採取措施來降低緊張的情緒。與同伴學生的交流——聽講座、參加討論班和會議等——都有利於開拓視野和獲得很重要的群體支持。過分的孤獨與深思可能是比較危險的，有時候表面上看來是散漫的閑談其實並不是在浪費時間。

一開始的時候，與同伴學生或者導師進行合作研究有許多好處，並且與別人的長時段合作會使人感到特別有信心，無論是在數學方面還是在個人交往方面。當然，個人獨自安靜的思考總是需要的，不過與朋友們的思想交流與討論會更有助於這種思考，所以也是不可缺少的。

解決問題還是創建理論

數學家們有時可以被分為「問題解決者」或者「理論創建者」。雖然確實有比較極端的例子顯示了這種差別（例如愛爾迪希(Erd?s)與格羅騰迪克(Grothendieck)就是兩個極端），但是絕大多數的數學家都處於他們中間的某個位置，他們同時在解決問題和發展某個理論。實際上，如果一個理論沒有導致具體的有趣問題的解決，那麼就不值得去建立它。反過來，任何真正意義上的深刻問題總是刺激著為解決此問題而產生的理論的發展（費馬大定理就是一個經典的例子）。

這對一個初學者來說有什麼啟示？雖然人們不得不去讀那些書本和論文，以吸收通常的概念與理論方法，但是實際上初學者必須學會去關注一個或更多個具體的問題。這些問題可以讓人深思，可以磨礪人們的勇氣。一個經過人們仔細研究和理解透徹的特定問題也是檢驗一個理論是否有效的非常有價值的試金石。

根據研究過程的不同，最後形成的博士論文要麼拋開絕大多數理論的外衣而聚焦於一些本質上的具體問題，要麼它就是一個可以合理解決問題的長篇大論。

好奇心的作用

驅使人們進行研究的原始動力就是好奇心。一個特定的結論什麼時候成立？那是一個最好的證明嗎？或者是否還有更自然、更簡潔的證明？使得結論成立的最一般的情形是什麼？

如果你在閱讀論文或在聽講座時，總是問自己這樣的問題，那麼或早或遲答案會隱約浮現——包括一些可能的探索路徑。每當這種情形出現時，我就會抽出時間努力追蹤這種想法，看它會引到哪裡，或者是否經得起仔細琢磨。儘管通來說十有八九會進入死胡同，但偶爾一次會發現金子。困難在於我們不知道什麼時候該停止，有些起初看起來是有效的想法實際上根本沒用。這時就應該果斷脫身，回到主要的道路上來。人們常常會很猶豫作出這樣的決定，事實上我就是經常回到先前已經丟棄了的想法上來，嘗試用另外一種方法來解決問題。

令人想像不到的是，好的想法也會產生於一個不好的講座或討論班。在聽報告的時候，我經常發現，結果很漂亮，但是證明卻很複雜和煩瑣。此時我就不會再跟著黑板上的證明，而是在接下來的時間裡去構思一個更簡潔的證明。雖然這通常來說不太成功，但至少我更好地度過了我的時間，因為我已經用我自己的方式努力地想過這個問題。這遠勝過被動地跟隨別人的思考。

例子

如果你像我一樣，喜歡宏大的和強有力的理論（我雖然受格羅騰迪克的影響，但我不是他的信徒），那麼你就必須學會將這些理論運用到簡單的例子上，以檢驗理論的一般性結論。多年以來，我已經構造了一大批這樣的例子，它們來自各個分支領域。通過這些例子，我們可以進行具體的計算，有時還能得到詳盡的公式，從而幫助我們更好地理解一般性的理論。它們可以讓你腳踏實地。非常有意思的是，雖然格羅騰迪克排斥例子，但是很幸運的是他和塞爾有著非常緊密的合作關係，而後者能夠彌補他在例子方面的不足。當然在例子與理論之間也沒有一條明確的分界線。我喜歡的許多例子都是來自於我早年在經典射影幾何中所受到的訓練：三次扭曲線、二次曲面、或者三維空間中直線的克萊因（Klein）表示等。再沒有比這些例子更具體和更經典了，它們不僅都可以同時用代數的方式和幾何的方式來進行研究，而且它們每一個都是一大類例子中開頭的一個（例子一多慢慢就變成了理論），它們中的每一個都很好地解釋了以下這些理論：有理曲線的理論、齊性空間的理論、或者格拉斯曼流形的理論(Grassmannians)。

例子的另一個作用是它們可以指向不同的研究方向。一個例子可以用幾種不同的方式加以推廣，或用來說明幾種不同的原理。例如一條經典的二次曲線不僅是一條有理曲線，同時又是一個二次超曲面(quadric)，或者是一個格拉斯曼流形等。

當然最重要的是，一個好例子就是一件美麗珍寶。它光彩照人，令人信服。它讓人洞察和理解。它是（我們對數學理論）信仰的基石。

證明

我們所受到的教育告訴我們，「證明」是數學中最重要的事情，用公理和命題小心編織起來的歐幾里得幾何體系提供了自文藝復興以來現代思想的基本框架。相比於其他自然科學家們的做實驗的檢驗方法，數學家們為他們的絕對準確無誤的定理而感到自豪，更不要說在其他領域裡那些模模糊糊的思維方式了。

但是自從哥德爾(G?del)（發現不完全性定理）以來，數學的絕對真理地位確實發生了動搖，此外繁複冗長的計算機證明的出現也使數學家們的態度變得更謙卑一些。但是不管怎樣，證明還是保持著它在數學中的主要作用，如果在你的論文中，你的證明有一個比較嚴重的漏洞，那麼將直接導致退稿。

然而，如果將數學中的全部研究工作僅僅等同於不斷作出各種證明的過程，那麼你就錯了。實際上人們可以說，數學研究中真正帶有創造性的那部分工作在寫證明的階段之前就已經完成了。對於後面這個「證明階段」，我們可以打一個比方：就好比你是在寫劇本，必須要從事先的構想出發，發展情節，寫出對話，包括給出舞台指導等。最後形成的劇本就可以看成是「證明」：它是事先構想的具體實現。

在數學中，一般是先有思想和概念，然後再提出問題。接下來就開始對問題解答的探尋，人們尋找某種方法或者策略。一旦你自己相信這是一個恰當的問題，並且你又有對此問題合適的工具，那麼你接著就會開始努力思索證明的具體技術細節。

但不久你會意識到（也許是通過反例發現）問題提出的方式不對。有時候，在初始的想法與最終的結論之間有較大的反差。你沒有注意到一些隱含的假設，或忽略了某個技術細節，或者你考慮的情形太一般。然後你不得不回過頭來，重新修改提出你的問題。如果有人說數學家們總是控制他們提出的問題，以便他們得到答案，這是不公平的誇大其詞，但也不是完全沒有道理。能夠提出一些既有趣又可以被解決的問題，是數學中一種高超的藝術，數學本身其實就是一種藝術。

證明實際上是創造性想像和不斷反思推理之間長期相互作用的最終結果。如果沒有證明，數學的研究是不完整的，反之，如果沒有想像，則研究無從談起。在這裡人們可以看到和其他領域中創造性藝術家（例如作家、畫家、作曲家、或建築家）工作的一個相似情形。先有一個幻象，然後發展成一個思路，再不斷試驗展開，最後便是漫長的藝術品總裝完成的技術性過程。技術與幻象之間必須保持接觸，各自按照自己的方式不斷地修正另外一方。

策略

在上一節中，我討論了對於證明的看法，以及它在整個創造性過程中的作用。現在讓我們轉向一個對於年輕的數學家們來說最實際的問題。人們應採取什麼策略？你怎樣做，才能夠找到一個證明？

這個問題如果泛泛而談的話，沒有多大意義。就象我在前面說過的那樣，每一個好問題都有它的起源：它來自於某個背景，它有自己的根。為了使問題能夠得到進展，你必須要透徹地理解這些根源。這就是為什麼發現你自己的問題、提出你自己的想法總是比從你導師那裡得到問題要好的緣故。如果你知道一個問題是從哪裡來的，為什麼要問這個問題，那麼你就已經成功了一半。實際上，問一個正確的問題常常和解決這個問題一樣困難。找到正確的問題背景是首要的一步。

因此，簡要地說，你需要對這個問題的歷史有一個很好的了解。你應當知道解決類似的問題是採用什麼方法，以及這些方法的局限性又在哪裡。

當你被一個問題完全吸引時，應該立即全力以赴地思考這個問題。為了得到解答，除了全力投入外別無他法。你應當考察特殊的情形，以便確定主要困難出現在什麼地方。你對問題的背景和先前的解決方法了解得越多，你能夠嘗試的技巧與方法也就越多。另一方面，有時候對問題與方法的無知也是一件好事情。曾有報道說李特爾伍德(J. E. Littlewood)讓他的每一個研究生都分別做一個將黎曼猜想裝扮起來的問題，直到他們在六個月之後，才知道了真相。他的理由是學生們不會有自信去直接攻克這麼有名的難題，但是如果他們不知道他們的對手是大名鼎鼎的黎曼的話，也許他們會獲得進展！儘管這種策略不大可能產生一個黎曼猜想的證明，卻能夠產生一批生氣勃勃、敢於攻堅克難的學生。

我自己的方法是盡量避免直接攻擊，努力尋找間接的途徑。這是因為，將你的問題與各個不同領域中的思想與方法聯繫起來，可能會帶來令人意想不到的結果。如果這個策略成功的話，它將會導致一個非常漂亮的簡單證明，同時也「解釋」了為什麼事情能夠成立的原因。實際上我相信：努力地去尋找這樣一種解釋和理解，是我們真正應該達到的目標。證明可以看成是這個過程的一部分，有時也是這個過程的結果。

拓展你的視野也是你尋找新方法任務中的一部分。與人交談會提升你的數學素養水平，並且有時會給你帶來新思想和新方法。你很有可能由此而獲得關於你自己研究的一個有價值的想法，甚至是一個新的方向。

如果你需要學習一個新的課題，除了學習文獻之外，最好是能找到這方面的一個比較友善的專家，「從他的嘴裡」獲取教益——口頭的講解更簡潔明快。

在向前看並經常注意新發展的同時，你也不應該忘記過去。在過去的年代中，有許多非常有價值的數學成果被塵封和遺忘了，它們只有被重新發現的時候才顯露出光芒。這些結果不容易被發現，部分原因是因為數學的術語和風格改變了，但是它們確確實實是金礦。如果你遇到這樣的金礦，你應該要感到非常幸運，你必須報答那些開拓者。

獨立或合作

在開始你的研究之前，你與你導師之間的關係是至關重要的，因此要小心地選擇你的導師，包括他所研究的方向、人品、以及以往的研究工作等都要考慮。當然很少有導師在這三個方面都令人滿意。接下來，如果事情在頭一兩年進行得並不順利，或者你的興趣發生了明顯轉移，則應該毫不猶豫地調換你的導師，甚至是你的大學。這不會冒犯你的導師，或許也是他的解脫！

有的時候，你可能是比較大的研究小組中的一個成員，並且與其他成員也有交流的機會，所以實際上你有不止一個的導師。這可以提供其他的思想來源，以及另外不同的工作方式，這些都是有幫助的。在這樣一些大的群體中，你也可以從你的同伴學生那裡學到許多，這就是為什麼選擇一個包含有大的研究生院的數學系是一個好主意的緣故。

當你一旦完成了你的博士論文後，你的研究就進入了一個新的階段。儘管你可以繼續與你的導師進行合作，並待在原來的研究群體中，但是為了你以後進一步的發展，比較健康的做法是用一年或更多的時間去另外的一個地方。這可以讓你接受新思想的影響，並獲得更多的機會。現在是這樣一個時代：你可以有機會在大千數學世界中為自己找到一個位置。一般來講，在一個相當長的時間裡，繼續太緊密地停留在你博士論文的課題上不是一個好的主意。你必須要「另立門派」，以顯示你的獨立性。這不必在研究的方向上作劇烈的改變，只是應該要有確確實實新穎的地方，而不是你博士論文的簡單的常規延續。

風格

在你寫論文的時候，你的導師通常會指導你如何安排文章的結構和呈現的方式。然而在你的數學研究中也非常需要你自己的個人風格。雖然對於各種類型的數學來說，這方面的要求有所不同，但還是有許多方面的要求適用於所有的數學分支學科。以下便是對怎樣寫出一篇好論文的幾點提示。

(1) 在你開始寫作之前，先通盤考慮好整個論文的邏輯結構。

(2) 將很長的複雜證明分成比較短的中間步驟（如引理、命題等），這會幫助讀者閱讀。

(3) 寫通順簡明的英語（或者你選擇的語言）。請記住數學也是文學的一種表現形式。

(4) 儘可能地簡明扼要，同時又要敘述清楚。要保持這樣的平衡是很困難的。

(5) 盡量將論文寫成和你所喜歡閱讀的論文一樣，並模仿它們的風格。

(6) 當你已經完成了你論文的主要部分後，回過頭來認真地寫一篇引言，在其中要清楚地解釋論文的結構和主要結果，已經一般的來源背景。要避免不必要的含糊深奧，要面向一般的數學讀者，而不只是少數的專家。

(7) 試著將你的論文初稿讓一個同事閱讀，並留意任何的建議或評論。如果你最親近的朋友與合作者都無法理解你的論文，那麼你就已經失敗了，你需要加倍地努力。

(8) 如果不是非常急著出版，那麼將你的論文丟在一邊幾個星期，做其他的事情。然後再以一種新鮮的視角重新來閱讀你的論文，會有一種全然不同的感覺，你將知道怎樣去修改它。

(9) 如果你相信重寫論文會更加清楚、更容易閱讀，那麼你就不要吝嗇將論文重新寫一遍，也許站在一個全新的角度看得更清楚。寫得好的論文將成為「經典」，被將來的數學家們廣泛閱讀。

二 Béla Bollobas的忠告

Béla Bollobas

「在這個世界上，那些醜陋的數學不可能長久流傳。」哈代（Hardy）曾經這樣寫過，同樣我相信在這個世界上，那些陰鬱的缺乏激情的數學家也是沒有什麼地位的。僅僅當你真正熱衷於數學時，你才有可能做好它，即使當你從事另外一種工作，在忙了一整天之後你也會擠出時間來研究數學。就像詩歌和音樂一樣，數學不是機械的勞作，而是美好的假日。

口味（或鑒賞力）高於一切。對於我們這門學科來說，對什麼是好的數學似乎有比較一致的看法，這簡直是一個奇蹟。你應當在重要的分支領域裡工作，這種領域在相當長的時間裡不大可能枯竭，你應該做那些既美麗又重要的問題：在一個好的領域裡，這樣的問題非常多，而不是僅有那麼幾個著名的難題。確實來說，如果把目標定得太高，將導致在長時間裡出不了成果：雖然在你研究生涯的某個階段里可以忍受，但是對於新手來說最好要避免這樣。

在你的數學活動中要努力保持一種平衡：對於真正的數學家來說，研究是放在首要地位的，但是在研究之外，還要進行大量的閱讀，以及搞好教學。要充滿樂趣地做好所有水平的數學工作，即使它（幾乎）跟你的研究沒有任何關係。教學不應該成為負擔，而應該是靈感的來源之一。

研究絕不應該變成一種零星的雜務（不象寫作那樣）：你應該選擇你很難不去想它的問題。這就是為什麼你自己有一些被它們深深吸引的問題比你去解決別人交給你的問題要更好的緣故。在你研究生涯的早期，當你還是一個研究生的時候，你應該聽取你的有經驗的導師的意見，讓他來幫助你判斷你自己喜歡的問題是否合適，這比做他給你的問題要好，因為後者可能不符合你的口味。畢竟來說，你的導師對某個問題是否值得你去研究，應該會有一個比較好的想法，哪怕是他對你的實力與口味可能還不了解。在你以後的研究生涯中，當你不再依賴你的導師時，與一些比較談得來的同事的交流也常常會受到啟發。

我會建議你們：在任何時候，你所做的數學問題應該包含以下兩種類型：

(1) 「夢想」類的問題：一個你非常想要解決、但基本上你不可能期望解決的大問題。

(2)非常值得的問題：如果花費足夠的時間和努力、並且足夠幸運的話，你覺得你很有可能解決的一些問題。

此外，還有兩種你應該考慮的問題，雖然它們不如前面的那兩種問題重要。

（1）不時地解決這樣一類問題，它們在你的能力之下，你完全有自信會很快地解決它們，使得花在它們上面的時間，不會妨礙你去解決更合適你的問題。

（2）在更低的層次上，去做那些已經不是真正值得去研究的問題（雖然它們在幾年前曾經是這樣的問題），總是一件非常愉快的事情，由於這些問題太好了，所以值得花時間：解決他們將給你帶來快樂，並鍛煉和提升你的創造能力。

要耐心，要堅持。當你考慮一個問題時，也許你能夠採取的最有用的措施是，在所有的時間裡都把這個問題放在心上：牛頓就是用這樣的方法，其他的許多先人也都是這樣。要付出你的時間，尤其是在攻克主要問題的時候，要保證自己在一個大問題上，花費相當數量的時間，但不應期望過多，做完之後，就擱置起來，然後決定接下來該做什麼。在讓你的研究不放過一個機會的同時，也應注意不要在一種方法上陷得太深，否則就可能遺漏其他的解決方法。就象愛爾迪希曾經說過的那樣，要使頭腦敏捷，要讓你的大腦保持開放的狀態。

不要怕犯錯誤。一個錯誤對於一名象棋手來說，可能是致命的，但對一個數學家來說，它相當於是常規的程序。你應該感到恐懼的是面對一張空白稿紙的時候，此時你對問題的思考還不多。等過了一段時間，你的廢紙簍里將裝滿你嘗試失敗的稿紙，此時也許你還在勤奮地工作。要盡量避免平庸的嘗試，而永遠是興緻勃勃地投入工作。特別是，研究一個問題的最簡單情形，通常來說不會浪費時間，而且可能是非常有效的方法。

當你在一個問題上花費了相當多的時間之後，很容易低估你所取得的進展，並且還同樣會低估你將它們全部回憶起來的能力。最好將它們寫下來，哪怕是一小部分的結果：你的筆記會節約你以後的大量時間，會給你帶來更多的機會。

如果你足夠幸運，並且取得了突破的話，你很自然地會對整個項目感到有些厭倦，並且還想靠此榮譽止步不前。要抵制這種想法，並努力尋找是否還有其他的突破在等待著你。

作為一個年輕的數學家，你的主要優勢是你有充足的時間做研究。對此你可能沒有意識到，但是以後很可能不大會再有像你開始研究生涯時那樣充足的時間了。每個人都感覺到沒有足夠的時間來研究數學，並且隨著時間的推移，這種感覺會越來越強烈，時間肯定會越來越少。

現在轉向閱讀。在談到所閱讀過的數量時，年輕人通常都處於不利的地位，因此作為彌補，應儘可能地多閱讀，既包括你的一般的領域，也包括作為一個整體的其他數學。在你的研究領域，要確信你讀的許多論文是由最好的人寫的。雖然這些文章常常寫得不太仔細，但是它們所包含的高質量的想法會對你的辛苦閱讀給出豐厚的回報。不論你讀什麼，都要保持一種積极參与和質疑的態度：不斷設法理解作者的意圖，不斷努力思考是否還有更好的處理方法。如果作者走的是你已經知道的思路，那麼你應該感到高興，如果他走的是另一條不同的道路，那你就應該進一步思考其中的緣由。對於各種定理與證明，反覆問你自己這樣的問題，即使它們看起來非常簡單：這些問題將極大地幫助你更好地理解數學。

另一方面，對於一個你正在打算做的未解決問題，通常來說不必熟讀與此相關的所有東西：但在你很深入地思考過之後，可以（而且應該）去讀那些其他人寫的不成功的文章。

要保持你對新奇事物的感知與驚訝的能力，要能夠欣賞你所讀過的數學研究成果和思想，不要對這些傑出的思想和成果感覺到沒有什麼了不起。事後你當然知道事情一定是這樣的，這是很容易的：畢竟你已經剛讀完了證明。聰明的人會捨得花大量的時間來汲取新思想。對他們來說，只知道一些定理和看懂它們的證明是遠遠不夠的：他們要把定理及其證明融化在他們的血液里。

在你的數學職業生涯進展過程中，永遠讓你的心智保持對新思想和新方向的開放狀態：數學的疆域總是在變化，如果你不想落在後面，那你就必須也要跟著變化。永遠要磨礪你的工具，並且不斷學習掌握新的工具。

最重要的是，喜歡數學和熱愛數學。喜歡你自己的研究，到處尋找和閱讀相關的新結果，將你對數學的熱愛傳遞給別人，即使你的創造僅僅是一些美麗的小問題，只要是你思考過的，或者是從你的同事那裡聽說的，都會帶來樂趣。

如果我要總結以上這些我們應該遵循的忠告，以便在科學和藝術中獲得成功，那麼最好是回憶Vitruvius在兩千年前曾經寫下的一句話：從來不學習的天才，以及沒有天才的學習者，都不能成為一個完美的藝術家。

三 Alain Connes的忠告

Alain Connes

數學是現代科學的支柱，它是許多新概念與新工具的相當有效的源泉，藉助於這些新概念和新工具，我們才得以理解置身其中的「現實世界」。這些新概念本身就是人類思維這個蒸餾器經歷長期「蒸餾」過程的結果。

我被要求寫一些對於年輕數學家的忠告。首先我感到每一位數學家都是一個個特殊的案例，總體來講數學家們都傾向於成為（喜歡獨立的）「費米子」，即他們盡量避免在太大眾化的領域裡做研究，而物理學家們的表現則更像（群居的）「玻色子」，他們組合成很大的團隊，並經常「過分誇大」他們取得的結果——這種態度是會被數學家們鄙夷的。

人們一般總是首先將數學劃分成一些相互獨立的分支學科，例如幾何學、代數學、分析學、以及數論等等，其中，幾何學主要是試圖理解「空間」的概念，代數學主要研究字母符號的操作藝術，而分析學則主要關注涉及「無窮」與「連續」的對象等等。

但是，這種看法與數學這門學科的一個最重要的本性相違背，即把上述那些分支學科中的任何一個在不剝離自身本質的前提下從其餘的分支中獨立出來是根本不可能的。實際上，整個數學就像一個完整的生命體，只有在結為一體的情況下才能生存，如果它被分割成若干不相連的部分，那麼它就會消亡。

數學家們的研究生涯可以被描述成是在「數學的現實世界」王國里的一次探險旅行，他們用自己的知識架構逐步揭開它的神秘面紗。

這個過程往往開始於對現存書本上關於數學王國的教條描述的不滿與反叛。想要成為數學家的年輕人開始意識到，他們自己關於數學世界的看法已經抓住了數學的某些特徵，而這又與已有的教條不相符合。在大多數的情況下，這種初期的反叛來源於無知，但卻不無益處，因為它可以幫助人們從對權威的敬畏中解放出來，使得他們可以依靠他們的直覺，並且用實際的證明來支撐他們的直覺。一旦一個數學家真正開始了自己的研究並獲得了解，哪怕是以一種非常原始和「個人化的」方式，或者是處在數學世界的一個非常狹小的領域裡，並且無論初看起來是多麼怪異1，那麼這個探險旅行實際上就已經開始了。當然，很重要的是不要去打破「阿莉阿尼線團」2：在始終保持用一種新鮮的眼光看待旅途中遇到的各種問題的同時，還能夠在一次次感到迷路的時候回到出發點。

同樣重要的是，一直保持對各種數學的興趣。否則，我們就會冒著一種風險，將自己完全局限於一個已經被高度技術化了的非常狹小的領域裡，從而限制了我們對於巨大的變幻莫測的數學世界洞察力的發揮。

在這方面最基本的要點是：儘管有許多數學家畢其一生在探索數學世界中各不相同的領域，而且看問題的角度是那樣的不同，可是他們都同意他們其實是在研究同一對象的各個不同部分。不管我們各自旅行的出發點在哪裡，總有一天，當我們走了足夠長的距離後，會發現大家都不約而同地走到了數學王國的同一座著名城堡：例如橢圓函數、模形式、或者zeta函數等。「條條道路通羅馬」，數學世界也是相互連通的。當然這並不是說數學的所有各個部分都是相似的，在這裡很值得引用格羅騰迪克（在《收穫與播種》一書中）對分析學與代數幾何學所作的比較，前者是他最初涉足的研究領域，而對後者的研究則耗盡了他之後數學生涯的全部心血：

我仍然記得這種強烈的印象（當然完全是主觀的），就好象我自己從貧瘠的荒野轉瞬間突然來到了「神所授予的」富饒土地，它們無邊無際，你可以盡情地在其中探究，施展自己的身手與才華。

大多數的數學家們都很務實地將自己看成是這個「數學世界」的探索者，他們並不是很關心它是否真的存在，他們只是用自己的直覺以及大量的理性思維來揭示這個數學世界的結構。這種直覺離所謂的「理想化的願望」並不太遠（就像法國詩人Paul Valery所強調的那樣），而大量的理性思維則需要高度集中的思考時間。

每一代數學家都構建了反映他們自己對這個數學王國理解的智力圖景。他們建造了越來越敏銳的智力工具，這樣就能夠來開發先前未被發現的各種研究領域。

真正有趣的事情是：在數學王國的各個不同的領域之間找到了意想不到的聯繫橋樑，這種聯繫在前輩數學家們的智力圖景中還是顯得非常模糊和遙遠的。而當這種情形產生時，就像突然之間一陣清風吹散了籠罩在我們美麗大地上的迷霧。在我自己的工作中，這種類型的巨大驚喜常來自於與物理學密切相關的數學研究。數學概念很自然地來源於物理學，這已經成為了一個基本共識，就像阿達瑪(Hadamard)所曾經指出的那樣。對他來說，他們所展示的

不僅僅是短暫的能讓數學家們暈頭轉向的新奇小技巧，而是那種從事物本身湧現出來的真正富饒多產的新穎。

下面我將用一些比較「實用」的忠告來結束這篇短文。只是要注意每一位數學家都是一個「特殊的案例」，不用太在意這些忠告。

散步當你正在與一個非常複雜的問題搏鬥時（常常涉及計算），一個非常明智的練習是出去走一段距離很長的路（不帶紙和筆），一邊走一邊在腦子裡做計算，不用擔心這初看起來是否「太複雜了，不可能這樣做」。即使不成功，也能夠訓練超人的記憶力和不斷完善自己的方法。

躺下數學家們一般很難向他們的同事解釋，他們研究工作最辛苦緊張的時刻竟然是他們在黑暗中躺在沙發上的時候。很不幸的是，隨著e-mail和電腦屏幕侵入所有的數學研究機構和場所，將自己完全孤立起來、從而集中心思的彌足珍貴的機會就變得十分稀少了。

再勇敢些在通向新的數學發現的過程中，一般有好幾個階段。儘管處在後面的只需要我們理性與專心的（證明與計算）核查階段的工作量大得驚人，但相比較而言，位於前面的更加富有創造性的（探索與構思）階段則完全不同。在某種程度上，這個探索階段還需要一種你對自己無知的保護意識，因為總是有千萬個理由叫我們不要盯在那些其他許多數學家們都沒有解決的問題上。

挫折在數學家們的研究生涯中，包括很早的時期，他們會不斷收到來自競爭者們的論文預印本，這時他們會因為落後而感到倍受打擊。在這裡我所能給出的建議是，應當努力將這種挫敗感轉化為鼓勵你更加勤奮工作的前進的動力。然而這做起來並不容易。

懷有妒忌的認可我的一個同事曾經說，「我們（數學家）的工作，說到底就是為了得到幾個朋友的懷有妒忌的認可。」確實，由於我們的研究工作本質上講還是相當冷僻孤立的，所以不幸的是我們總是以各種方式極度渴求這種認同感，可是坦率講我們不應該期望過高。實際上，真正的判斷來自於自己。沒有人能比自己更明白自己所做的工作究竟是什麼，過分地擔心在乎別人的看法是在浪費時間：因為迄今為止還沒有一個定理是通過被選舉出來的方式獲得證明的。就像費曼(Feynman)曾經說過的那樣，「你為什麼要在乎別人怎麼想？」

1我自己最初的出發點是研究多項式根的分布問題。幸運的是我在很小年紀就被邀請參加在西雅圖舉行的一次會議，在那裡我受到引導，後來我所有的在因子理論方面的工作都起源於此。

2阿莉阿尼是古希臘傳說中的克里特國王彌諾斯的長女。國王養了一頭怪物，每年要吃七對童男童女。雅典王子忒修斯決心到島上的迷宮裡除掉怪物。在進迷宮前，他偶遇阿莉阿尼公主，公主愛上了他，交給他一個線團，讓他將一端放在迷宮外，一端拿在手中，以免迷路。忒修斯殺死怪物後順線走出迷宮。

四 Dusa Mcduff的忠告

Dusa Mcduff

我是以一種與我的同齡人很不相同的方式開始我的成年生活的。我總是被教導說要有一份獨立的職業，我的家庭與學校也非常鼓勵我成為一名數學家。與通常學校不同，我所上的女子學校有一位非常傑出的數學教師，他讓我領略了歐幾里得幾何與微積分的美好。而與此相對比的是，我對教科學的老師就沒有好感，並且由於大學裡的科學教師也不是太好，以至於我從來就沒有學到任何真正的物理學。

就是在這種很有限的條件下，我變得非常想成為一名專門進行研究的數學家。在某些方面我非常自信的同時，在另外一些方面我又感到十分的欠缺。我所面臨的一個基本問題是，有時會莫名地感受到這樣一種說法的影響：女性在學術職業上屬於二等公民，因此是可以被忽略的。我從來沒有女性的朋友，從來沒有真正地評估過我自己的智力狀況，可能還是和其他女性一樣屬於比較瑣碎和實際的那種，並且不像男人那樣真正具有創造力。社會上對於這種情況有許多的說法：婦女們待在家裡燒火做飯，而男人們則外出闖世界，婦女可能會冥想，但不會成為詩人，婦女不具有成為一名數學家所需要的真正的靈魂等等。對此還有許多其他的說法。最近在我的一些女性朋友中流傳著一封有趣的信件，它列出了各種不同科學領域中一些常見的互相矛盾的偏見，所得出的結論是，女性被認為不論做什麼最有價值的事情，都是做不好的。

我接著不久又遇到的另一個明顯問題是，我在只學了非常少的數學的情況下，就要著手完成我的博士論文。我的題目是有關馮·諾依曼(von Neumann)代數，這是一個狹小的題目，與其他我真正了解的事情沒有任何聯繫。在那個小領域裡我看不到前進的方向，並且我幾乎對其他的領域也一無所知。當我在研究生的最後一年到達莫斯科時，蓋爾范德(Gel』fand)給了我一篇論文，是關於流形上向量場的李代數的上同調的，我不知道什麼是上同調，什麼是流形，什麼是向量場，以及什麼是李代數。

儘管這種無知部分地是由於一種過分專門化的教育體系所造成的，但這也是我與更廣泛數學世界缺少聯繫的結果。我曾經用基本上將自己的女性角色與數學家的角色分開來擔當的方式，解決了將兩者調和起來的問題。我從莫斯科回來後，我的這種數學上的孤獨感愈發強烈。在我從泛函分析轉向拓撲學的過程中，極少受到指導，我很害怕提問，盡量不問問題，以免顯得無知。與此同時，當我做博士後時，還有了孩子，因此整天忙於應付各種瑣碎事務。在這個階段中，由於對怎樣研究數學的過程還不理解，我主要是靠閱讀來進行學習，沒有意識到學會提出問題的基本的重要作用，哪怕是提出自己的也許是比較幼稚的想法。我對自己今後的職業規劃也同樣沒有想法。天上不會掉餡餅：你必須去申請研究職位和工作，並且不斷地尋找有興趣的會議。如果能得到一位良師益友的幫助，那就更好了，他能夠對你如何克服所有這些困難，給出更好的建議。

對我來說，可能最重要的是學會怎樣去提出比較好的數學問題。作為一個學生，你的任務就是：不僅要學習足夠多的東西，以便能回答別人提出的問題，而且還要學習怎樣去構造一個問題，以便能走向有趣的研究方向。在研究新的東西時，我經常習慣於從中間出發，運用一些別人已經發展起來的複雜理論。不過經常從最簡單的問題和例子出發也能夠獲得進展，這是因為它們能使你更容易地理解基本問題，從而可能發現一條新的途徑。例如在辛幾何中，我總是很喜歡運用格羅莫夫(Gromov)的非擠壓(nonsqueezing)定理，它對如何以辛方式控制一個球體給出了限制條件。這個非常基本的幾何結果在某種程度上與我產生了共鳴，因此它成為了由此出發進一步探索的一個牢固的基礎。

最近以來，人們越來越感覺到數學是一種依靠群體努力進行建設的學科：即使是最傑出的思想，如果它脫離了與數學整體的聯繫，也會失去意義。通常來說，一旦你理解了這種與整體的聯繫，再進行自我獨立的研究工作就會變得非常重要和富有成果了。當然，在學習的同時，與別人的聯繫互動也是必不可少的。

有許多的方法可以成功地建立起這樣的交流渠道，例如改變建築物的結構、會議和會場的安排、數學系裡教學研究計劃的調整，以及改進相對來講不那麼正式的討論班與講座的氣氛等。有時候在討論班上，一個新手數學家不是昏昏欲睡和看上去比較厭煩，而是積極地提問，使問題得到澄清，並且使參加討論的每一個人都獲益，此時我們會驚喜地發現討論班上的氣氛改變了。人們（不管是年輕的還是年長的）通常都因為害怕暴露自己的無知、缺乏想像力和其他固有的缺點，而導致沉默。但是在像數學這樣的看上去既困難又美麗的學科中，其實每一個人都需要從別人那裡學到一些東西。現在有許多很好的小型會議和研究班，它們是這樣組織的：即容易讓人們學習討論某些已有的理論的細節，又能夠對新的方向和新的問題展開討論和進一步的研究。

怎樣將女性角色與數學家角色調和統一起來的問題依然困擾著我，雖然數學是一門本質上不適合女性的學科的觀點已經不那麼普遍流行了。我不認為我們女性應該儘可能多地出現在數學世界中，只要有足夠數量的女數學家，並且不再作為例外而被忽視就可以了。我發現主要由女數學家參加的會議並不理想；滿屋子全部都是女性，她們正在談論著數學，這種氣氛比較怪異。同樣，人們也越來越能夠理解，真正的問題是在於任何一個年輕人將怎樣既能夠過好一個令人滿意的個人生活，同時又成為一個有創造力的數學家。只要人們開始以一種嚴肅的方式認真地對待這個問題，並且努力地工作，我們將真正地擁有一個漫長的數學人生。

五 Peter Sarnak的忠告

Peter Sarnak

多年來我已經指導了不少博士研究生，這也許使我有資格以一個有經驗導師的身份來寫一些忠告。每當我遇到一個出色的學生（我非常幸運我能夠有這樣的一些學生），我所能給出的指導僅僅是告訴他，比如可以在某個區域內挖出黃金，或者給出一些含糊不清的建議。一旦他們行動起來，發揮其智慧與才能，結果他們沒有發現黃金，但卻找到了鑽石（當然事後我忍不住會說「我告訴過你會這樣」）。在這種情況下，和大多數的情形一樣，一個討論班導師的作用就更像一個教練：只是不斷加以鼓勵，並確信所指導的學生正在做的是一些有意思的問題，且清楚其可以採用的工具是什麼。這麼多年下來，我發現自己經常重複說的某些評論與建議對於學生來說還是很有用的。以下所列是其中的一部分。

（1）當我們學習一個新的領域知識時，我們應該將閱讀現代論述與鑽研原始論文結合起來，尤其是該領域開創大師的論文。很多學科的現代敘述所產生的主要麻煩是它們太完美了。隨著每一個（數學專著與教科書的）新作者都不斷地發現和加入更巧妙的證明處理方法，最後形成的理論體系總是傾向於採用「最簡短的證明」。很不幸的是，這種形式化的表述經常引起新一代學生們的極大困惑：「人們是怎樣想出來的？」通過回到原始的出發點，學生通常就能夠看到概念與理論的演變十分自然，並且理解它們是怎樣一步步變成現代形式的理論的。（當然面對著那些天才的數學家們所具有的令人意想不到的傑出思想，我們只能感到驚嘆不已，但是這種情況要比你想像的少得多。）我想舉一個例子，緊李群表示論有許多現代的表述，我在講解其中的一種時，通常會推薦學生去閱讀外爾(Weyl)的原始論文，看他是如何推導出他的特徵標公式的。類似地，我會向已經了解複分析並且想要進一步學習黎曼面現代理論的學生，推薦他寫的書《黎曼面的概念》，而黎曼面對於現代數學的許多領域來說具有最基本的重要性。研究和閱讀像外爾這樣的大數學家的論文選集同樣也是十分富有教益的。在學習他們的定理的同時，我們可以發現他們的心智是如何運作的。從一篇論文到下一篇之間，基本上總是有一條線在自然地引導，而且容易看出某些後來的研究發展也是不可避免的。這一切都非常具有啟發性。

（2）另一方面，你應當對一些教條和「標準猜想」敢於質疑，即使它們來自於某些大人物。許多標準猜想都是基於一些人們所能夠理解的特殊情形作出的。除此之外，剩下的基本上只有人們多少有些一相情願的想法：人們很期望一般的圖景不會和特殊情形所建議的圖景相差太遠。我知道幾個這樣的研究事例，在其中一開始的時候，人們都是先著手證明一個被認為普遍成立的結論，但是沒有取得任何進展，直到最後人們才認真地反思它是否真的成立。在說了以上這些後，我也感到，如果不是出於特別好的理由，隨便地去懷疑某個特定的猜想（例如黎曼猜想）及其可證性，的確有些不妥。雖然作為科學家的我們，肯定是應該採取一種批判性的態度（特別是針對一些我們數學家所發明的人造對象），但在心理上同樣重要的是，我們要相信我們的「數學世界」的存在性，對什麼能成立、以及什麼能被證明抱有信心。

（3）不要將「初等」混同於「容易」：一個證明可以確定是初等的，但卻不是容易的。實際上，存在著許多這樣的定理：只要用一點點（現代數學的）高端方法就可以使定理的證明變得非常容易理解，並顯示蘊涵於其中的思想，相反如果避免使用高端的概念與方法，而只是用初等的方法來證明，則會掩蓋定理背後的思想內涵。另一方面，也要注意不要將高端等同於高質量，或者等同於「高級證明」（這是一個我很喜歡用的字眼，它會引起許多我以前學生們的鬨笑）。在年輕的數學家們中間確實有一種（盲目）使用新奇的高端數學語言的傾向，以顯示他們正在做的工作比較深刻。然而，只有真正理解了現代工具，並且與新的思想相結合，現代的工具才能發揮作用。那些在某些領域（例如數論）工作的人，如果不花時間和實質性的努力去學習掌握這些工具，就會使他們處於非常不利的境地。拒絕學習和掌握這些新工具，就好象只用鑿子來拆一座建築物。即使你使用鑿子非常熟練，別人用推土機也比你有巨大的優越性，並且用不著掌握像你那樣（使用鑿子）的技巧。

（4）在數學中做研究會讓人感到受挫，如果你還不習慣於遭受挫折，那麼數學就不是你的理想選擇。在絕大多數的時間裡，你是沒有任何進展的，如果不是這樣，則要麼你是一個天才，要麼就是你所遇到的問題屬於在開始研究之前你已經知道怎樣解決的那種。儘管一些後續的研究工作也會有相當的（發展）空間，並且達到較高的水準，但是一般來說絕大多數的重大突破都是用艱苦的工作換來的，伴隨著許多錯誤的步驟，長時間裡只有微小的進展，甚至還有倒退。有一些方法可以減輕這種痛苦。如今的許多人採用合作研究的方式，這種方法除了有讓不同專長的人一起攻關的明顯優點外，還能讓人們來共同承受失敗。這對絕大多數的人們來說肯定是很有好處的（在數學中分享重大突破所帶來的喜悅和榮譽一般來說不會導致嚴重的名次爭議，就像其他一些科學領域常見的那樣）。我經常勸我的學生在任何可用的時間裡，手上要同時有一連串待研究的問題。其中，就是挑戰最小的問題也應該有足夠的難度，難到解決它以後會給你帶來相當的滿足感（不然又有什麼意思呢？），並且幸運的話可能帶動其他問題的解決。這樣，你應該考慮一連串更具有挑戰性的問題，其中最難的問題就是（該領域）最關注的未解決問題。你應該不時地考慮去攻克它們，從各種不同的視角來審視它們。很重要的是你要敢於讓自己去解決非常困難的問題，不然就沒有成功的可能性，也許幸運的話，你會從中獲取許多。

（5）每周聽系裡的各種學術報告，並且希望報告的組織者能夠挑選好的報告人。在數學中有比較廣博的知識是很重要的。在學習了解其他分支領域裡的人們解決有趣問題的進展時，或當你聽到演講者在談論相當不同的研究時，你的心靈會經常受到某些思想的觸動。同樣，你也可能學到一種方法或理論，或許可以用到你正在做的其中一個問題上。在最近的一段時期里，有好幾個長期未能解決的重大問題獲得了最令人驚訝的突破，解決它們的方法都是來自於一些不同的數學分支領域思想的意想不到的組合。

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