讀懂相對論， 從彎曲空間的幾何開始？
年輕的俄羅斯數學家羅巴切夫斯基突發奇想，將古老歐氏平面幾何的「平行公理」稍作改變，創立了邏輯上同樣完整而嚴密，但看起來卻有些古怪的「非歐幾何」。最初，人們對此嗤之以鼻，認為這不過是瘋子數學家玩的遊戲而已。
不過，那些嘲笑羅巴切夫斯基的人沒有料到，幾十年之後，非歐幾何在愛因斯坦的廣義相對論中找到了用武之地。它正是廣義相對論中描述的一種彎曲空間所遵循的幾何！
古老的幾何學
幾何是一門古老的學科，在公元前由幾何大師歐幾里德創立，至今兩千多年威力不減。
歐幾里德幾何是一個漂亮的公理系統，它只需要設定幾條簡單的、符合直覺、大家公認、不證自明的命題（稱為公理或公設），然後從這幾條命題出發，推導證明其它命題，繼而推導證明更多命題，如此繼續下去，一套數學理論便建立起來了。這就像是建造高樓大廈，「公理」就是水平放在地基第一層的大「磚塊」，有了牢靠堅實的基礎，其它磚塊便能夠一層一層疊上去，萬丈高樓也就能夠平地而起。基底磚塊破缺了，或者置放得不平穩，樓房就可能會倒塌。
歐幾里德平面幾何的公理有五條。他就從這簡單的五條公理出發，推演出了所有的平面幾何定理，建造出歐氏幾何的宏偉大廈。
數學邏輯推理創造的奇蹟令人吃驚。不過，當人們反覆思考這幾條公理時，覺得前面4條顯然都是不言自明的，唯有第五條公理比較複雜，聽起來不像一個簡單而容易被人接受的直覺概念。於是，人們就自然提出疑問：這第五條是公理嗎？它是否可以由其它4條公理推導出來？大家的意思就是說，歐氏平面幾何的大廈用前面4塊「大磚頭」可能也就足以支撐了。這第五塊磚頭，恐怕本來就是放置在另外四塊磚頭之上的。
歐氏平面幾何的第五條公理也稱為「平行公理」，可表述為：「過直線外的一點，有且僅有一條平行線。」
一位名叫尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792 - 1856）的年輕俄羅斯數學家突發奇想：如果將這條公理稍稍改變一下，也就是說，將大廈下面的某塊基石稍微移動一下，會產生什麼樣的後果呢？比如說改成：「過直線外的一點，至少有兩條平行線。」
這一改非同小可，幾字之差，生出了與歐氏幾何完全不同的另一種幾何，人們稱之為「非歐幾何」或「羅氏幾何」。非歐幾何的大廈同樣拔地而起、穩固牢靠，邏輯上完整而嚴密，但看起來卻有些古怪。
羅氏幾何體系得到古怪而不合常理的命題是必然的，因為被羅巴切夫斯基改變之後的第五公設，本身就與人們的日常生活經驗不相符合。過平面上直線外的一點，怎麼可能作出多條不同的直線與已知直線不相交呢？由此而建造出來的數學邏輯大廈，當然會是個怪物。比如說，羅氏幾何導出了如下古怪的命題：同一直線的垂線和斜線不一定相交；不存在矩形，因為四邊形不可能四個角都是直角；不存在相似三角形；過不在同一直線上的三點，不一定能作一個圓；一個三角形的三個內角之和小於180度……這種奇怪的「幾何大廈」，能有什麼用處呢？有人嗤之以鼻，心想，不過是瘋子數學家玩的遊戲而已！
那些嘲笑羅巴切夫斯基的人沒有料到，幾十年之後，非歐幾何在愛因斯坦的廣義相對論中找到了用武之地，它正是愛因斯坦廣義相對論描述的一種彎曲空間所遵循的幾何！
幾何上的無窮小
不過，真正與廣義相對論彎曲空間有關的是「黎曼幾何」，它比上面所說的非歐幾何更進了一步，屬於微分幾何。
歐幾里德之後，笛卡爾發明了解析幾何，牛頓和萊布尼茨發明了微積分。兩者之結合使得那個時代的數學和物理如虎添翼，面目一新。像羅巴切夫斯基那樣使用傳統的公理方法來研究幾何，顯然要輸人一籌。歐拉、克萊洛、蒙日以及高斯等人認識到了這一點，創立並發展了微分幾何。
微分幾何的先行者、法國數學家亞歷克西斯·克萊洛（Alexis Clairaut，1713 - 1763）對空間曲線進行了深入研究，第一次研究了空間曲線的曲率和撓率（當時被他稱之為雙重曲率）。
什麼是曲線的曲率和撓率？我們從圖1a所示的三條平面曲線來認識曲率。圖中的三條曲線，就像是三條形狀不同的平地上的高速公路。
我們首先需要引進曲線的切線，或稱之為「切矢量」的概念。切矢量即為，當曲線上兩點無限接近時，它們的連線的極限位置所決定的矢量。圖1a所示的公路上標示的箭頭，便是在曲線上各個點切矢量的直觀圖像。而曲率是什麼呢？曲率表徵曲線的彎曲程度。比如，圖1a中最上面一條公路是直線，直線不會拐彎，我們說，它的彎曲程度為0，即曲率等於0。切矢量旋轉得越快，曲線的彎曲程度也越大。所以，數學上就把曲率定義為曲線的切矢量對於弧長的旋轉速度。
平地上彎彎曲曲的公路可以看作是平面曲線，用「曲率」就可以描述它們。如果公路是修建在山區中，它們一邊轉彎一邊還要盤旋向上或者向下。這時候，汽車駛過的路徑便不再是平面曲線，而是空間曲線了。對於山間的公路，如圖1b所示，我們除了可以看到其彎曲的程度之外，還能觀察到公路往上（或者向下）繞行的快慢。我們將這個描述繞行快慢的幾何量叫做「撓率」。
一條空間曲線的曲率和撓率在空間的變化規律完全決定了這條曲線。
從上面對空間曲線的研究，可以看出微分幾何的方法比歐氏幾何公理式的方法要強有力多了。與曲線類似，微分幾何也能用以研究曲面，曲率和撓率的概念，也能推廣到曲面上，去定義複雜得多的曲率張量。
曲面的形狀變幻無窮，按照我們感興趣的性質，可以將其分為兩大類：可展曲面和不可展曲面。初看圖2a和圖2b所畫出的曲面，也許你看不出這兩類圖形有何區別。它們都是從三維空間看到的形狀。不管可展還是不可展，看起來不都是「彎曲的」、「不平的」嗎？然而，如果你再仔細觀察，就會發現，可展曲面的「彎曲」與不可展曲面的「彎曲」有著本質的區別。簡單地說，可展曲面在本質上是「平的」，它們可以被展開成一個平面。比如，將圖2b所示的錐面，用剪刀剪一條線直到頂點，就可以沒有任何皺褶地將它平攤到桌子上。柱面也可以沿著與中心線平行的任何直線剪開，成為一個平面。
但是，圖2a所列舉的不可展曲面，就不能展開成平面了。那是真正的、本質上的「不平」。一頂做成了近似半個球面的帽子，你無論怎樣剪裁它，都無法將其沒有皺褶地攤成一個平面。另一方面，你用一張平平的紙，很容易捲成一個圓筒（柱面），或者是做成一頂錐形的帽子，但你無法做出一個球面來。你頂多只能將這張紙剪成許多小紙片，粘成一個近似的球面！
談到這兒，你大概已經基本明白了「可展」和「不可展」的區別到底是什麼。儘管兩類曲面在嵌入3維空間之後看起來都是彎曲的，但是，可展曲面的內在本質是「平的」，不可展曲面的內在本質是「不平」。區分這兩類曲面「內在本質」的概念叫做「內蘊性」，研究這種性質的幾何叫做內蘊幾何。
曲面彎曲的內蘊性最早被「數學王子」高斯注意到，後為黎曼所發展，並推廣到大於3的n維流形。因而，黎曼幾何是一種內蘊幾何。換言之，內蘊性指的是曲面（或曲線）不依賴於它在三維空間中嵌入方式的某些性質。也就是說，它是曲面某些內在的、本質的幾何屬性。高斯用高斯曲率——兩個主曲率的乘積，來表徵曲面的這種屬性（圖3a）。如果一個曲面的高斯曲率為0，說明它本質上是平的，是可展曲面，如圖3b所示。如果一個曲面的高斯曲率不為0，說明它本質上是不平的，是不可展曲面，如圖3c所示。
高斯曲率不為0的情形又有兩種。正的高斯曲率對應於球面幾何（圖3c的下圖），負的高斯曲率對應於馬鞍面（圖3c的上圖）。馬鞍面上的幾何就是前面所介紹的羅巴切夫斯基幾何，又被稱為雙曲幾何。
爬蟲的幾何
可是，又該如何判定我們所面對的是哪一種幾何呢？最簡單的辦法是測量曲面上一個三角形三個內角之和E=A+B+C。平面幾何的E=180o，球面幾何E>180o，雙曲幾何E<180o。
一個觀察者在自己生活的物理空間中所能夠觀察和測量到的幾何性質，就是這個空間的內蘊性質。比如說，球面的內蘊性質，就是生活在球面上的2維爬蟲感受到的幾何性質。我們人類當然是3維的生物，不是什麼2維爬蟲。但是，因為我們的地球很大，我們的3維尺寸比起地球來說是很小的。因此，我們可以將自己設想為某種2維生物。比如，我們在地球上測量一個大三角形，就如圖3b下中的球面三角形ABC，測地員將會發現，這個三角形的三個內角都是90度，因此，內角和E=270o，大於180度。
圖3b下所顯示的是一個規則球面，它的空間彎曲程度到處都是一樣的，但一般來說，空間的彎曲程度不一定處處相同，數學家們用「平行移動」的概念來研究空間的彎曲程度。
什麼是平行移動？簡單地說，就是將一個矢量平行於自身的方向沿著空間里的一條曲線移動。像汽車上的陀螺儀那樣，汽車沿公路運動時，陀螺儀總是平行於自己原來的指向。
在物理上，讓大家更感興趣的問題是：一個矢量平行移動一圈後再回到原來出發點的時候是否會有所改變？比如說，跟著汽車轉了一圈的陀螺儀，指的方向是否還和原來出發時的方向一樣？也許你不加思索就會給出答案：當然沒有什麼改變。但這是因為你習慣了用歐氏空間的直角坐標系來思考問題，從而輕易得出這個結論。如果我們假設地面是一個歐幾里德平面，陀螺儀平行移動回到原處時，方向的確不會改變。但是，每個人都知道，地球是一個球體，所以我們實際上是生活在一個球面上。那麼，如果從球面（或者別的曲面）的角度來研究這個問題，又會得出什麼樣的結論呢？
所謂「平行移動」的意思是說，在移動矢量的時候，儘可能保持矢量方向相對於自身沒有旋轉。好比一個女孩平行地前進、後退、左右移動，只要她的身體沒有扭動，就叫平行移動。這樣，當她移動一周回到出發點的時候，她認為她應該和原來出發時面對著同樣的方向。如果她是在平面上移動的話，她的這個想法是正確的。但是，假如她是在球面上移動的話，她將發現自己面朝的方向可能不一樣了！出發時她的臉朝左，回來時卻是臉朝前，如圖4b。
假如將女孩面對的方向用一個箭頭（矢量）來表示。圖4a所示的是一個矢量在莫比烏斯帶上的平行移動，當矢量從位置1出發，沿著數字1、2、3……一直移動到10，也就是回到原來的出發位置時，得到的矢量和原來的反向。圖4b中所示是球面上的平行移動，當矢量從位置1出發，沿著數字1、2、3……一直移動到7，也就是回到原來的出發位置時，得到的矢量和原來的矢量垂直。
上面的兩個例子說明，矢量在曲面上平行移動一周之後，不一定還能保持原來的方向，可能與出發時有所差別。這個差別正好與曲面的高斯曲率有關係，反映了曲面內在的彎曲程度。
阿扁的世界
下面，我們研究錐面上的平行移動，看看錐面與「真正的平面」有何不同。讓我們想像有一個極小極扁的平面生物「阿扁」，生活在一張平坦的紙上，如圖5a。阿扁使用直角坐標系對他的平坦世界進行觀察和測量。他感受到的幾何，是標準的歐幾里德幾何：三角形的三個內角之和等於180度；過不在同一直線上的三點，可以作一個圓；直角三角形的兩條直角邊的長度的平方和等於斜邊長的平方……
阿扁學過微積分，還會計算許多圖形的面積。阿扁經常在他的平坦世界中駕車旅行，繞行一圈回來之後，他車上的陀螺儀方向總是與原來方向相同，如圖5a所示的那樣。
有一天，來了一個3維世界的小生物「阿三」。阿三看中了阿扁生活的這張紙，並且靈感突發，把這張紙剪去了一個角。比如說，像圖5b中圖所畫的情形，剪去了一個45度的角，然後將剩餘圖形的兩條剪縫黏在一塊兒，做成了一個圖5c所示的錐面。阿扁是個2維小爬蟲，他看不見阿三，也感覺不到阿三的存在，更不可能知道阿三對他的世界幹了些什麼。
不過，生活在紙上的阿扁並沒有立即感到他的世界有什麼變化。照樣是歐氏幾何，他畫的直角坐標軸仍然在那兒。當他拿著他的（平面）陀螺儀，沿著他的小圓圈（如圖5b中的C1那樣）旅行，進而回到原來出發點的時候，陀螺儀的指向和原來一樣。這說明，矢量平行移動的規律好像沒有任何改變。
阿扁的技術越來越高，膽子越來越大，旅遊路線也走得越來越遠。他逐漸發現了一些問題。比如說，當他沿著圖5b中所示的C2那樣的曲線走一圈回到原出發點時，他的陀螺儀的指向和出發時有了一個45度的角度差。這個新發現令阿扁既激動又困惑。於是，他進行了更多的帶陀螺儀繞圈實驗，繞了好多個不同的圈，終於總結出了一個規律：他生活的世界中，在右圖中所標記的點O附近，是一個特殊的區域，只要他移動的閉曲線中包含了這個區域，陀螺儀的指向就總是和原來出發時的方向相差45度左右。如果行走的圈沒有包括這個點的話，便不會使陀螺儀的方向發生任何改變。當時的阿扁，技術還不夠精確，還沒有搞清楚這個區域是多大，況且，他也有點害怕那塊神秘兮兮的地方，不敢在那兒逗留過久，作太多的探索，以防遭遇生命危險。
阿扁喜歡讀書學習新知識，他從一本數學書中了解到，如果陀螺儀走一圈方向改變的話，說明你所在的空間是彎曲的。因此，通過對多次實驗結果的總結歸納，阿扁提出一個假設：他所在的世界基本是平坦的，除了那塊該死的區域之外！
再回到我們的世界來看待球面幾何。陀螺儀走一圈後方向改變的值，叫做平行移動一周後產生的角度虧損，可用θ表示。角度虧損與空間的高斯曲率有關，一個標準球面上的高斯曲率處處相等。因此，如果有某種生活在球面上的扁平生物的話，他沿任何曲線繞行一圈後，陀螺儀方向都會有變化，而且，角度虧損θ是不固定的，它與繞行迴路所包圍的球面面積A成正比，其比例係數對球面而言是一個定植，就等於曲面的高斯曲率α。角度虧損θ = α*A。
如果研究對象不是標準的球面，而是一般的2維曲面，上述「角度虧損θ正比於區域面積A」的結論在大範圍內不能成立，但在2維曲面某個給定的P點附近，當繞行的迴路趨近於無限小的時候仍然成立。也就是說：無限小的角度虧損dθ將正比於無限小的區域面積dA：dθ = α*dA。這時的α= dθ/dA，便是曲面上這一點的曲率。
阿扁也想通了這些道理，明白他的世界不是球面，而大多數地方都是平面，只有一點不對，那一點附近的空間是彎曲的。
阿扁將上面有關曲面曲率與無限小平行移動角度虧損的關係（α= dθ/dA）用到錐面。因為錐面是一個可展曲面。它所有地方的幾何都與平面上的歐幾里德幾何一樣，除了那個頂點以外。也就是說，錐面上每個點的曲率都等於0，但頂點是一個曲率等於無窮大的奇點。
有了這些數學知識，阿扁恍然大悟：原來我生活的世界是一個錐面！
人類是三維空間的生物，我們的世界是三維的。就像前面所描述的「阿三」，當然要比那個可憐的平面生物「阿扁」高明多了。阿扁反覆測量了許多次，用他的2維扁平腦袋，作了極端困難的「抽象」，才弄明白了他的錐面世界！而我們在3維世界中看2維就能看得非常清楚了：錐面是一個可展曲面，或者說，本來就是由阿三將一張平面的「紙」剪去了一個角而粘成的。因此，我們瞄一眼就知道，阿扁的錐面世界處處都是平坦的，除了那一個頂點O之外。
在錐面上作平行移動時，為什麼當移動路徑包括了頂點O的時候就會有角度虧損呢？從我們的3維世界更容易理解這個問題。在圖6a中，我們將錐面從頂點剪開後重新展開還原成一個平面圖形。這個「剪去一角的平面圖形」與整個歐幾里德平面的區別在於，圖中的A和B是錐面上的同一點，因此，直線OA和OB需要被理解為是同一條線。這樣，我們就明白了角度虧損的來源。
（作者：張天蓉，德克薩斯州大學奧斯汀分校理論物理博士）
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