一頁PPT證明黎曼猜想？Michael Atiyah剛剛的正式演講炸了鍋

作者：Synced

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就是它

9 月 20 日，一張 Twitter 截圖引爆數學圈：菲爾茲獎、阿貝爾獎得主邁克爾 · 阿蒂亞（Michael Atiyah）爵士將證明數學王冠上的明珠——黎曼猜想。今日，在德國舉辦的 2018 年度海德堡獲獎者論壇（Heidelberg Laureate Forum）上，阿蒂亞爵士用 45 分鐘的時間向全世界展示這個有著一百五十多年歷史的數學猜想的證明，不過前三十分鐘都在介紹歷史，證明只有一頁 PPT……其實大會開幕前不久，有消息稱網上已有阿蒂亞爵士的預印版論文，但機器之心只查證到最早是 Reddit 上一篇討論給出的谷歌文檔鏈接，未能確認其出處與權威性，因此放在文後供大家研究。

引爆朋友圈的 Twitter 截圖，邁克爾 · 阿蒂亞爵士在今日於德國舉辦的海德堡獲獎者論壇上宣講其證明。圖中表明，阿蒂亞宣布「我將展示一個簡單的證明，用一種全新的方法」，這個證明基於馮諾伊曼（1936）、希策布魯赫（1954）和狄拉克（1928）的相關研究。

黎曼猜想

1900 年在法國巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上，德國數學家希爾伯特做了《數學難題》的演講，列舉了他認為最重要的 23 個數學難題。100 年之後的 2000 年，美國克雷數學研究所也在巴黎發起了一個數學會議，參會數學家共同討論並列出了最重要的 7 個數學難題，還為每個難題設置了 100 萬美元的獎金。沒錯，這就是著名的「千禧問題」。

而無論是 23 個希爾伯特難題還是 7 個「千禧問題」，只有一個問題同時出現，那就是黎曼猜想。

國內知名科普作家盧昌海對於黎曼猜想如此評價：

與費馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。

所以，什麼是黎曼猜想？

黎曼猜想是數學家黎曼在 1859 年向柏林科學院提交的一篇短論文（才八頁）中提出的，這篇論文討論的是素數分布的問題。素數分布在數論中有很重要的地位，相當於原子概念在現代物理學中的地位。黎曼發現，素數分布的規律就隱藏在某個函數的零點分布中。這個函數就是黎曼 ζ 函數：

黎曼 ζ 函數

黎曼將該函數解析延拓至整個複平面，並指出：黎曼ζ函數的非平凡零點（是指 s 不為-2、-4、-6???等點的值，這些都是平凡零點）的實數部分都是 1/2。也就是說，這些非平凡零點都分布在複平面的 Re(z)=1/2 的直線上（即下圖中的虛線）。

1901 年 Helge von Koch 指出，黎曼猜想與強條件的素數定理等價，其中π(x) 為不大於 x 的素數個數。目前已驗證最初的 1,500,000,000 個素數對這個定理都成立。但是否所有的解對該定理都成立，尚無證明。

黎曼猜想與數論中的素數分布問題有著非常緊密的聯繫。數論是數學的重要分支，在數論中，素數分布問題又是一個重要研究課題。也就是說，黎曼猜想的證實對數論也有很重要的影響。此外，人們還發現黎曼猜想與某些物理現象存在關聯，這也增加了黎曼猜想在物理學界的影響力。

黎曼猜想及推廣形式的成立是現有很多數學命題的前提。如果黎曼猜想及其推廣形式被證明，這些數學命題都將變為數學定理；反之，一旦黎曼猜想被證偽，將有 1000 多個數學命題成為黎曼猜想的「陪葬品」。要證偽黎曼猜想，只需要找到一個不在 Re(z)=1/2 這條直線上的非平凡零點即可，當然目前並沒有發現這樣的零點。

如果能在 500 年後重返人間，要問的第一件事情，就是黎曼猜想被證明了還是被證偽了。——希爾伯特

邁克爾 · 阿蒂亞爵士的證明

邁克爾 · 阿蒂亞 (Michael Atiyah, 1929.4.22－) 是英國著名的數學家，也是當代最偉大的數學家之一。他的主要研究領域為幾何，1960 年代他與伊薩多·辛格合作，證明了溝通數學分析和拓撲學兩大領域的阿蒂亞-辛格指標定理。1966 年，阿蒂亞爵士榮獲菲爾茲獎，2004 年與辛格共同獲得阿貝爾獎。

今年向黎曼猜想發起挑戰的阿蒂亞爵士已經 89 歲了。

當然，他也有一批支持者，認為「我想如果有誰能完成這件事，那就是阿蒂亞。」（出自英國應用數學家馬特 · 亨特 Twitter）

阿蒂亞在晚年不乏雄心，面對外界的質疑，他曾經說道：「我已經得到了我需要的所有獎項，我還能失去什麼？這就是為什麼我在冒著一個年輕學者不敢冒的風險。」

無論是質疑還是支持，阿蒂亞爵士口中的「一個簡單的證明，一種全新的方法」今日最終在海德堡獲獎者論壇上公布：

因觀看人數過載，直播崩潰，官方改為手機直播，經機器之心留言提醒，官方終於把直播畫面對準PPT，感動。

首先，Michael Atiyah 介紹了素數研究的歷史以及素數與黎曼猜想的關係。

他還開了個玩笑，「解決黎曼猜想你會出名，但如果你已經是個名人，那就有聲名狼藉的風險了。」

Atiyah 花了很多時間介紹歐拉公式，這並不是因為它連接了虛數等各種元素的美麗，同時還因為連接馮諾伊曼和 Hirzebruch 關鍵思想可以得出更加一般的歐拉表達式，這對於以新的角度審視與證明黎曼猜想非常重要。Atiyah 說：「歐拉公式相當於莎翁『生存或毀滅』的數學等價物。」

為什麼黎曼猜想如此有趣卻那麼難以證明？Michael Atiyah 表示主要有以下三個方面，首先素數表現出局部不規則性，卻又漸進地表現出一些規律；其次要想知道 N 以內的素數數量，這是非常困難的；最後這些困難與疑惑，很多都能通過黎曼猜想得到解釋，因此即使它還沒有被證明，實際上已經有很多推理都建立在它之上了。

此前有很多人猜測，Michael Atiyah 會使用量子力學來證明黎曼猜想，但 Atiyah 在演講中表示證明黎曼猜想的是 Todd 函數：

Atiyah 介紹了 TODD 函數與黎曼猜想之間的關係，以前我們無法證明黎曼猜想，但有了新工具後就有可能解決這個問題。TODD 函數最重要的屬性是能發展一種對精細結構常數 α 的解釋。

然後，重點來了，30 分鐘介紹了黎曼猜想歷史，終於到了證明的時刻。阿蒂亞爵士表示，所有的證明都在以下一頁 PPT 上。

那麼證明黎曼猜想後我們又能幹什麼呢？Michael Atiyah 表示 RH 能推廣到多種情況，並且一步步得到證明。同時我們需要對素數實現數值計算的結果，它的證明對年輕的數學、計算機科學、邏輯學和物理學研究者非常重要，但期待 RH 的無限擴展卻又是不可判定的。

最後，阿蒂亞爵士總結了未來預期可以做的任務：使用已有的最強大的工具；驗證所有著名的猜想（已證明的、未證明的）；確定那個可有效計算（在需要的時間尺度上）；確定決定我們有時間完成。

以上就是阿蒂亞爵士在 HLF18 上的所有演講內容了，之後官方會有完整視頻放出。演講結束後，Twitter上大家進行了激烈討論，對這一頁證明能否解開黎曼猜想抱有不同態度。

其實，在大會開幕之前，網上已經傳播稱阿蒂亞爵士放出了預印版論文，機器之心只查到該論文出自數小時前 Reddit 上的一篇討論，未能確認其出處與權威性，但 Reddit 討論中有用戶表示這篇預印文章的來源似乎是一個 email list，但是最原始的發件人並不是 Atiyah，而是一個人自己說收到了 Atiyah 的 email。

直播結束後，仍未有消息確定此論文的準確來源。

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