黎曼猜想證明：尷尬的現場QA與悲觀的各方評價

機器之心報道，機器之心編輯部。

錯過了昨日 Michael Francis Atiyah 爵士的直播？沒關係，這裡有高清視頻與完整 PPT。經過一天的發酵，關於阿蒂亞爵士此次黎曼猜想的證明，各方評價開始出現。

昨日，一場盛況空前的宣講引爆了數學圈，89 歲的阿蒂亞爵士對黎曼猜想的證明吸引了全球的關注。也因為關注人數過多，現場直播「車禍」不斷：官方直播流崩潰，組織方不得不改用手機直播。

前期的手機直播質量奇差，聲音和 PPT 內容都不清晰，導致一些讀者（包括我們）漏掉了許多內容。

數小時前，Heidelberg Laureate Forum 2018 官方終於在 YouTube 上放出阿蒂亞爵士的高清演講視頻，短短數個小時已經有近 5 萬次觀看。

有趣的是，我們觀察到黎曼猜想在中國引發的關注與討論更大。手機直播過程中，我們能看到很多彈幕都是中文；YouTube 視頻評論里也有很多人刷「666」（容我做個捂臉哭的表情）。

言歸正傳，YouTube 視頻存在一個問題：PPT 畫面太小，看不到其中內容。讀者們可以從以下鏈接回到阿蒂亞爵士視頻直播的界面，切換 PPT 與人物界面，查看高清 PPT 內容：

PPT 鏈接：https://hitsmediaweb.h-its.org/Mediasite/Play/35600dda1dec419cb4e99f706197a3951d

關於阿蒂亞爵士的證明

黎曼猜想關注的是素數分布的問題，而素數指的是在大於 1 的自然數中，除了 1 和該數自身外，無法被其他自然數整除的數。之所以素數這麼重要，是因為它在密碼學中有非常廣泛的應用，我們需要很大的素數作為分解質因數的元素才能保護信息。但是很快人們就發現，素數是沒有分布的，也就是說，我們無法根據某個分布尋找非常大的素數，素數是隨機的。

如果黎曼猜想被證明是正確的，那麼它就表明素數沒有什麼突出的規律，也就是說它們幾乎具有均勻的隨機性。如果黎曼猜想得到證明，它可以說是驗證了從 1 到 n 中平均有 N/ln(N) 個素數，因此素數基本上是按照 N/ln(N) 的均勻分布。注意這裡的 N/ln(N) 只是代表我們機器學習中常見的數學期望，並不能說確切地等於 N/ln(N) 個素數。總之如果 Atiyah 證明了黎曼猜想，那麼素數還必須服從大數定理，這可能對於統計學和機器學習的研究能有一些幫助。

Atiyah 的證明從理解物理學中的精細結構常數 α 出發，並發現依靠新的函數 T(s)（也就是 Todd 函數），我們可以解決或至少為解決各種廣泛的問題提供新方向，包括黎曼猜想。在整個演講中，Atiyah 首先介紹了複數的不可交換延伸：四元數（Quarternions）、複數、擴展歐拉公式到四元數（Euler-Hamilton 公式）這些基礎概念，它們是進一步提出新工具和證明方法的前提。

隨後 Atiyah 重點介紹了證明黎曼猜想的核心新工具，即 Todd 多項式函數，藉助這一函數與指數的無限迭代，我們可以理解精細結構常數 α 並嘗試最終的黎曼猜想證明。其中精細結構常數 α 是物理學中的無量綱常數，它展示了原子物理學中原子譜線分裂的樣式。

對於證明黎曼猜想的核心 Todd function T(s) 函數，Atiyah 在文檔中給出了一些有趣的屬性：

• T 是實數，即 T(sˉ ) = T(sˉ)；
• T(1) = 1；
• T 會將臨界帶映射到臨界帶，臨界線映射到臨界線。

Atiyah 將 Todd 函數稱為弱解析函數，這意味著它解析函數族的弱限制。所以對於任何複數中的緊緻集 K，T 都是解析的。如果 K 是凸集，那麼 T 是自由度為 K(k) 的多項式函數。Todd 函數同樣是複合的，即弱解析函數的解析函數還是解析函數。

對於如何藉助 Todd 函數證明黎曼猜想，讀者還是研讀那一頁 PPT 吧：

這就是阿蒂亞爵士證明黎曼猜想的一頁 PPT

尷尬的 QA 環節

在阿蒂亞爵士 45 分鐘宣講結束後，組織方安排了問答環節。但人氣爆棚的現場到了 QA 環節卻一度陷入尷尬：主持人強調不要害羞、大膽提問，但卻無人應答，阿蒂亞爵士唯有揚手「come on」。

冷場近一分鐘，一位印度口音的的小哥（來自人工智慧領域，非數學背景）提出了第一個問題：是否解決了黎曼猜想？

阿蒂亞回應說，「這是由你的邏輯決定的。原始的黎曼猜想我是證明了，除非你是那種不接收反證法的數學家。」

他表示，人們傾向於接受直接事實，但我們的一些定理是反證法證明的，所以我認為我可當此榮譽。但他也補充說，其證明沒有解決所有問題，後續還有很多問題，自己只是走了第一步（第一步就是解決方案），現在可以退休了。

第二個問題：什麼時候可以查看公開證明？

阿蒂亞表示，其實他已經寫了多篇論文，最長的一篇是關於精細結構常數。但發表不易，因為到了他這個年紀，人們（雜誌）就不再發表他的論文，年紀太大了，而且肯定有錯。

但論文是可以看到的。一份是關於精細結構常數的，另一份正是昨天上午流傳的「5 頁預印版」論文。

阿蒂亞爵士也解開了這兩份論文為什麼用谷歌文檔這樣不正式的方式傳播，「我甚至提交到了 arXiv 上，但它們不接收。」（尷尬）年齡歧視啊！

第三個問題：你曾說沒人相信黎曼猜想的任何證明，因為沒人證明了它。你認為人們會相信你嗎？或者說你不在乎？

阿蒂亞說他確實在乎相信此證明的人，因為有人曾說過數學或者科學一般涉及兩個步驟：創造與傳播。如果你不宣傳自己的想法，就沒人知道。此外，一般人們不相信證明可能是因為它是全新的想法。

學界反應悲觀

在阿蒂亞的簡短證明播出之後，學界對此評價稍顯冷淡。人們紛紛表達了對於證明黎曼猜想的悲觀看法，同時也表示了對阿蒂亞以往巨大貢獻的尊敬。無論如何，這種複雜的感情似乎在告訴數學圈外的我們：人類距離搞清楚這一「世紀猜想」還有一段距離。

「他在演講中所展示的內容幾乎不可能成為能夠證明黎曼猜想的任何證據，」來自挪威科技大學的經濟學家 J?rgen Veisdal 表示，他此前也曾研究過黎曼猜想。「他的證明太過模糊，也太不具體了。」Veisdal 表示，他還需要更仔細地研究目前的證明，以得出更加明確的判斷。

《Science》在這位著名數學家演講後聯繫到了他的幾位同事。他們對於當事人給出的、基於不可靠關聯而得出的結論感到擔憂，並表示這次證明黎曼猜想的努力最終未能成功。但目前，因為顧及到關係，還沒有同事或學生願意公開提出批評。

加州大學河濱分校（University of California, Riverside）的數學物理學家 John Baez 是少數幾個願意對阿蒂亞的主張發表批評意見的人之一。「該證明只是將一個大膽的主張疊加在另一個之上，沒有任何關聯的論證和真正的證據。」Baez 說道。

對於各方的批評，阿蒂亞早有預料。他在演講之前的一封電子郵件中就表示：「演講的觀眾中會有睿智的年輕學者，以及經驗豐富的老科學家。我要做的是把自己拋入獅群之中，希望能夠全身而退。」

在數學論壇 MathOverflow 上，人們對於阿蒂亞爵士的證明也普遍持悲觀態度。Todd Trimble 表示：「在過去的五十多年裡，阿蒂亞為數學界所做的貢獻無人能出其右，但今天他的證明『甚至不能說它是錯誤（not even wrong）』。正是出於這個原因，鑒於他的劃時代貢獻，他應該獲得足夠的尊嚴。」

也就是說，一些學者認為阿蒂亞的證明思路成功的概率很低，同時也沒有經過完整的證明（至少目前還沒有公開細節），從而談不上正確與錯誤。

又有知乎網友稱，今天早上，清華大學數學系前系主任肖傑在一節代數課上對阿蒂亞的證明給出了自己的評價：「如果他那是對的，數學就完蛋了。」

儘管如此，人們還是表達了對於這位「二戰後最強數學家」的敬仰之情：「He"s still my hero.」

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