黎曼猜想未被完全證明！英國數學教父公開證明過程
就在剛剛，著名數學家邁克爾·阿提亞（Sir Michael Francis Atiyah）爵士終於向全世界展示了他「證明黎曼猜想」的過程。
就在於海德堡舉辦的 Heidelberg Laureate Forum 上，阿蒂亞爵士作為第二位演講嘉賓上場，成功讓會議主辦方的直播視屏流崩潰。阿蒂亞爵士開始演講大概10分鐘之後，主辦方才在其官方推特賬號上恢復直播。
在阿蒂亞 45 分鐘的演講過程中，前 20 多分鐘，這位數學家主要分享了一些數學史的內容，並解釋了黎曼假說的本質及其與素數的相關性。而其中一些展示也顯示了阿蒂亞爵士對此次證明信心滿滿，在一張片子中，他寫道：「如果你證明了質數定理, 你將不朽"。
圖 | 海德堡論壇上，阿蒂亞前半部分對數學史進行了一些介紹
之後，他才提到了黎曼猜想的主要證明過程。
在海德堡論壇上，阿蒂亞爵士提出了對黎曼猜想證明方法的一個簡單思路。其靈感來源於阿蒂亞爵士在 2018 年 ICM 上提出精細結構常數（Fine structure constant）的推演，這是一個物理學上長期存在的數學問題。這一推演過程結合了馮·諾依曼的運算元理論及希策布魯赫創立並證明的代數簇黎曼-羅赫定理，還應用了Todd函數參與計算，而這個函數將是證明黎曼猜想的核心。阿蒂亞爵士稱，他關於精細結構常數的相關論文已投稿至 Royal Society。介於這篇文章目前還未經過同行審議，一些學者對他的推演過程存疑，同樣，也有學者對此次黎曼猜想的證明過程質疑。當然，還一些學者認為，阿蒂亞爵士的思路或為後續黎曼猜想證明提供了一種新思路。
而在提到關於證明黎曼猜想的具體細節時，阿蒂亞爵士並未做出證明的全部工作，其思路基於一個物理上未被完全證明的常數，而更多是就自己未盡的事業向數學界的後輩們提出了四點建議。首先，要運用如今最強大的工具，這裡的工具不僅限於數學工具，還包括超級計算機甚至是量子計算機，還有其他領域例如物理學界、邏輯學界等的工具；其次，借鑒其他著名猜想，不管是證明了的還是未證明的；其三，需要判斷哪些難題是能夠高效率完成計算的；最後，老爺子覺得RH已經是很難的一個猜想了，證明出其一部分就已經很了不起了，他希望數學界的後輩們能權衡一下，哪些黎曼猜想的方面是我們有時間完成的，做出決定就無悔地去做吧！
圖 | 海德堡論壇上阿蒂亞爵士的一些證明過程細節
圖 | 阿蒂亞爵士對未來數學家的一些建議
這一結果似乎並不出乎意料，其實早在一些論壇上，學者對此次黎曼猜想的證明就不看好。在演講正式開始前，一份谷歌雲盤中的預印本文件已在網上瘋傳。預印本文章僅有5頁紙，證明過程如他提交給海德堡論壇的摘要所說十分簡單。一些網友表示，在去年的國際數學大會（ICM）上，阿蒂亞爵士就曾出現令人尷尬的場面。甚至有人表示了對阿蒂亞爵士處境的隱隱擔憂。也有一些網友調侃，用 20 美元打賭此次證明是錯的。
邁克爾·阿蒂亞爵士 1929 年出生於英國倫敦，今年已是 89 歲高齡。
這位英國數學「教父」擁有諸多頭銜：雙料得主、倫敦皇家學會前主席、愛丁堡皇家學會前主席、劍橋大學三一學院前院長，還受封為爵士。他的早期工作主要集中在代數幾何領域。上世紀 60 年代他與艾沙道爾·辛格合作，創立阿蒂亞-辛格指標定理，還和德國拓撲學家弗里德里希·希策布魯赫共同創立拓撲 K 理論，證明了自己的定理。該定理將分析學與拓撲學聯繫起來，在複數幾何、泛函分析及理論物理中均有深遠的應用，被公認為 20 世紀最重要的數學成果之一。因此他獲得了 1966 年的菲爾茲獎和 2004 年的阿貝爾獎。
圖 | 阿蒂亞 (左) 與希策布魯赫 (右)
黎曼猜想由數學家波恩哈德·黎曼於 1859 年在一篇題為《論小於給定數值的素數個數》的論文提出關於黎曼函數零點分布的猜想。論文所研究的是經典的質數分布問題。
質數是除了 1 和自身以外不能被其他正整數整除的數，從某種意義上說，質數在數論中的地位類似於物理世界中構築萬物的原子。在實際運用中，質數可以在密碼學、安全認證等領域發揮作用。如現通用的 RSA 加密演算法，加密計算的第一步是產生兩個大質數，對極大整數做因數分解的難度決定了加密的可靠性。故尋找大質數、探尋質數分布的規律，一直是數學界關注的問題。
黎曼發表的論文中，一個重大的成果是發現質數蘊藏在一個特殊函數之中，而該函數的零點對質數分布的細緻規律有著決定性的影響。這一函數如今被稱為黎曼ζ函數。
也就是說，黎曼發現，質數在自然數中的分布並不是毫無規律可循，而是其分布與黎曼ζ函數緊密相關。德國數學家戴維·希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了 20 世紀數學家應當努力解決的 23 個數學問題，其中便包括黎曼猜想，它也是克雷數學研究所懸賞的世界七大數學難題之一。
許多數學家都為證明黎曼猜想做出貢獻。1932 年，德國數學家西格爾從黎曼的手稿里找到了關鍵的證據，遺留下的公式重現天日，西格爾也獲得了菲爾茲獎。人工智慧之父圖靈計算出了函數的 1104 個非平凡零點，開啟了計算機輔助計算的接力賽。1975 年，美國麻省理工學院的萊文森引入了獨特的方法，證明黎曼函數臨界線上的零點佔全部零點的比例達到了 34.74%。一年後中國數學家樓世拓、姚琦證明了比例達到 35%。很快，荷蘭數學家利用計算機檢驗了 2 億個黎曼函數的零點，證明猜想很可能是對的。80 年代初，蘇聯數學家宣布利用電腦成功檢驗了一個與黎曼猜想有關的數學問題。最新的成果是一法國團隊將零點計算出了前 10 萬億個而沒有發現反例。
似乎人們離證明成功越來越近了，但阿蒂亞爵士這一次宣布證明黎曼猜想還是受到了不少質疑，有人認為他上了年紀，已是「廉頗老矣」，有人認為他之前發表的論文已經顯出頹勢。
不過，老來依舊致力於解決大問題的他，在幾年前為愛丁堡皇家學會主持「科學之美」的會議期間接受採訪時就很「佛系「地表示，人們可能會評價他是「大數學家晚節不保」，甚至自己兒子都潑過冷水。但他已得到數學界最重要的獎項，自感沒有什麼可以再失去，盡情思考就行了。
目前，已有上千項基於黎曼猜想的推論，這其中已不乏一些十分驚艷的想法。如所有自然數的和，即 1 + 2 + 3 + 4 + …，通過黎曼 ζ 函數的解析延拓可產生看似荒謬結果 -1/12，這一結果在量子力學及弦論等領域中已有所應用。可以說，黎曼猜想的證明是無數數學家和物理學家都高度關注的議題。
但從這次會議來看，Atiyah 實際上並沒有完全給出黎曼猜想的證明，他的工作似乎集中在試圖推導出精細結構常數上，而證明黎曼猜想只是個意外的驚喜。
當然，肯定有很多人對於此次仍缺乏大量細節的所謂「證明過程」感到不滿意，但實際上，對於一部分吃瓜群眾來說，我們其實感受到了這位已經89歲的數學家的探索精神和幽默感——「證明黎曼猜想，你會名聲大噪。但如果你已經出名了, 你就會冒著淪落聲名狼藉下場的危險。」
同時，此次海德堡論壇上對黎曼猜想的證明嘗試，也掀起了社會各界的廣泛關注。可以說，阿蒂亞爵士此次的演講引發了一次空前的科普盛世。雖然對黎曼猜想的解釋仍需進一步完善，但其一生中對數學做出的貢獻，以及此次講座中的一些思考，都是對未來科學家進一步探索未知的一種激勵。
阿蒂亞爵士在 89 歲高齡仍然站在探索數學問題的第一線，其對數學的熱愛也可見一斑。在進行海德堡論壇上的黎曼猜想證明前，他曾表示，「我已從事數學研究 70 年，已無法停下。」用畢生信念追求理想，並為達成理想鍥而不捨，這種精神也值得我們學習。
無論如何，對黎曼猜想的證明涉及了關於代數幾何、代數數論及代數拓撲等多學科的審視，即使此次證明失敗，阿蒂亞爵士思考過程本身也在推動這些分支學科進行更深入的交叉。正如德國物理學家量子力學創始人普朗克曾說過，「科學是內在的統一體，它被分解為單獨的部分，不是由於事物的本質，而是由於人類認識能力的局限性。」對黎曼猜想的新思考，正在促進科學家們打破學科間壁壘造成的認知局限。
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