加德納趣味數學：皮特·海因的超橢圓

目錄

序

1989 年版前言

前言

第1章 帕金斯夫人的被子和其他正方形填裝問題

第2章 弗利斯醫生的數字命理學

第3章 隨機數

第4章 上升的沙漏和其他物理趣題

第5章 帕斯卡三角形

第6章 堵塞、熱及其他遊戲

第7章 歪招和模稜兩可的歪招

第8章 皮特·海因的超橢圓

第9章 如何三等分一個角

附錄

深色部分為本文所述內容

序

加德納是一位了不起的人物。他最為人熟悉的身份，是《科學美國人》數學遊戲專欄多年的作者。每個月成千上萬的雜誌讀者會迫不及待地翻到加德納 的專欄，找尋趣味數學世界有什麼新鮮事。無論他是在敘述矩陣博士的詼諧趣事，還是對一些近期的研究給出一個旁徵博引的闡述，這些文章的風格總是那麼平易近人，簡明易懂。

我有幸幾次去到加德納以前在紐約哈德孫河畔黑斯廷斯村的房子里，拜訪他和他的妻子夏洛特。歡樂的時光大多用在了歐幾里得大道上的那座房子的頂層，那是加德納的書齋。裡面充滿了各種謎題、遊戲、機械玩具、科學趣題， 以及許多其他有趣的物件，完全像是個巫師的老巢。這倒不是不恰當，馬丁正是一個觀察敏銳的業餘魔術師，擁有許多魔術書籍，當然了，也有一套鮑姆（L. Frank Baum）所撰寫的奧茲國系列書。他的其他書也同樣有趣。還有什麼地方你可以隨意從書架上拿下一本書來，然後發現，這完全是一本小說，裡面卻沒有用到一個字母「e」呢？

不要就此下結論說，加德納他就是一個徹頭徹尾的怪人。事實上，他是一位極為理性的人，對於騙局、騙子或者任何類型的騙術毫不留情。他撰寫了多篇文章，揭露各種騙局，並且還有一本佳作《打著科學名義的風潮與謬論》（Fads and Fallacies in the Name of Science），其中你可以讀到許多如今仍然盛行一時的謬論。那本書，儘管筆調很輕鬆，卻是經過謹慎研究的作品，一如他所有的作品一樣。事實上，他是一位學問淵博的人，擁有芝加哥大學的哲學學位， 並且寫下了關於這麼多論題的著作，這幾乎令人難以置信，特別是像他這樣一位安靜而謙虛的人。

在加德納的書齋里，令我最感興趣的是那個文件櫃。加德納定期給一群人寫信，這些人中有專業的數學家，也有熱情的業餘愛好者。無論他們創作了什麼樣的數學項目，都會被插入到精心排列、加上索引的文件櫃里，其中也包含許多3.5 英寸軟磁碟，與他的《科學美國人》專欄以任何方式相關的任何事物的描述都會被記錄在上面。

加德納的專欄常常談論的是其他人的作品。也許是委內瑞拉的一個在校 女生X 小姐，寫信給他探討一個從她的朋友那裡聽來的問題。看一遍這個文件櫃，可能會有一篇來自於Z大學Y教授的研究論文，探討的是類似的問題。加德納會寫信給Y教授，討論X小姐的問題，或許一兩個月以後，會出現一篇專欄文章，對這個問題給出一個比Y教授更為簡單的解釋。

加德納一直聲稱，他並不是數學家，這也正是他能夠如此明白地對外行解釋數學的原因。他發掘了不少趣味數學的優美文章，從而影響了這麼多的非數學家，間接的影響更多。其實，大多數我遇見的年輕數學家，都充滿熱情地告訴我「，馬丁·加德納的專欄」是如何一路陪伴著他們成長起來的。

這本書中的很多內容，都勾起了我對去馬丁家拜訪的回憶。《帕金斯夫人的被子》（第1章）是我最早寄給他的一封信中所討論的主題，而且我們肯定在廚房的桌子上，玩過一些萌芽遊戲（《幻星、萌芽遊戲及心算奇才》第1章）。看起來，20年來，在萌芽遊戲上，沒有新的知識出現——誰確實拿下了7個點的普通模式遊戲，或者5個點的「悲慘」模式遊戲？

加德納善良地在《幻星、萌芽遊戲及心算奇才》第7章的參考文獻里標註了我的「末日」日曆規則。當然，他並沒說他才是那個起草這一規則的人，它是在我對歐幾里得大道為期兩周的一次訪問時，被豐富完善起來的；而上升的沙漏（第4章），則是在那裡壁爐台上奇妙的物件之一。

下面是一個簡單的方法，可以很快地收回買這本書所付的錢。召集十個或更多的人，並且問他們，一輛沒有騎手的自行車，當一個人把底下的踏板往後拉時（同時有其他人扶著它，只是防它倒下），會發生什麼事。承諾要是誰答對， 就給誰25 美分，前提是，任何答錯的人都要給你25 美分。允許他們盡情討論， 但是不可以進行試驗。然後所有人出發去找來一輛自行車，然後看著它發生那件不可思議的事（第4章，第20道題）。至今為止，我每次嘗試都至少贏來一美元。

你可能已經注意到，這本再版並再次發行的書，一如原來的版本，都是獻 給我的。在我與伯利坎普（Elwyn Berlekamp）、蓋伊（Richard Guy）的合著《穩操勝券之道》（Winning Ways）一書中，我已經回致了敬意。我們將其獻給馬丁·加德納，他為數百萬人群帶去了數學，比其他任何人都要多。

約翰·康韋新澤西州普林斯頓大學

1989年3月

1989年版前言

由Knopf 出版社發行的，我《科學美國人》專欄的三本合集，現在已絕版了。這三本書都將由美國數學協會重印。

除了小小的糾正外，原文保持不變。我已經在大部分章節中增添了一個啰唆的補遺。

我想特別感謝康韋，現在是普林斯頓大學的數學教授，他為這個新版本撰寫了序。還要感謝我的編輯倫茲（Peter Renz）接手了這三本書，並且順暢地引領著這本書到了出版階段。

馬丁·加德納

1988年10月

前言

一位數學老師，無論他有多麼愛他的學科，無論他懷有多強烈的溝通意願，永遠面臨著一個巨大的困難：如何令他的學生保持清醒？

對於一個寫數學書的外行而言，不管他有多努力，想要避免使用術語，並 且令他的討論主題對讀者的胃口，都面臨著一個相類似的問題：怎樣才能令他的讀者繼續翻看下一頁？

「新數學」被證明沒有任何幫助。當時的想法是最大限度地減少死記硬背的學習，強調「為什麼」算術過程這樣進行。不幸的是，學生們發現，交換律、分配律、結合律和基本集合論的語言，比起乘法表來說，更加沉悶無趣。糾結於新數學的平庸老師，變得更為平庸，而表現糟糕的學生，只學了一些除了發明該術語的教育家本人外沒有人會使用的術語，而其他幾乎什麼也沒有學到。有幾本書是專為了對成人解釋新數學而撰寫的，但是他們比舊數學的書更加乏味。最終，連教師也厭倦了提醒孩子，他寫的並不是數字，而是數學符號。克萊因（Morris Kline）的書《為什麼約翰尼不會做加法》（Why Johnny Cant Add），對此給予了完全的否定。

在我看來，要令學生和門外漢覺得數學有趣，最好的辦法是以遊戲的精神來學習。到了更高的層次，特別當數學應用於實際問題時，是可以並且應該非常嚴肅的。但是在較低的水平，沒有學生會被激勵而去學習高級的群論，即使告訴他，如果他成為一個粒子物理學家，他會發現數學很美麗且令人興奮，甚至還很有用。當然，要喚醒一個學生，最好的方法是向他展示有趣的數學遊戲、益智題、魔術把戲、笑話、悖論、模型、打油詩，或者任何其他的事物，這些事物無趣的老師會盡量避免，因為他們覺得這看起來太不正經了。

沒有人建議一個老師只需要逗樂學生而不做其他任何事。而一本只給門 外漢提供益智題目的書，與只講述嚴肅數學的書一樣的書，毫無效果。顯然，必須兼備嚴肅性和趣味性。趣味性令讀者保持清醒，而嚴肅性則令這遊戲有價值。

這就是從1956年12月開始寫作以來，我試著在我的《科學美國人》專欄中給出的組合。這些專欄已有6本合集先前出版。這是第七本。與先前的合集一樣，專欄文章經過了修訂，並且進行了擴充，以跟上當下實際情況，和收錄了讀者的寶貴意見。

本書涉及的主題豐富多彩，彷彿是一場旅行狂歡節，人們可以欣賞到形形色色的表演，享受不同旅程，盡情領略沿途風光。無論是專業數學家還是僅僅「到此一游」的遊客，我希望每一位漫步欣賞這一趟豐富多彩的數學旅途的讀者，可以享受到喧鬧的樂趣和遊戲。假如他真的這樣做，當最終旅途結束的時候，他可能會驚訝地發現，甚至不需要努力，他已經吸收了大量不同尋常的數學知識。

馬丁·加德納

1975年4月

第八章

皮特·海因的超橢圓

有一種藝術，沒有更多，不會再少：

做任何事情，都要樸實，不可花哨。

——皮特·海因（Piet Hein）

一個文明的現代人，總是從各個方面，無論是室內還是室外，被塑造物體形狀的兩種古老方式之間的微妙而人們很少注意到的衝突所包圍。這兩種方式是：成直角和成圓形。圓形車輪的汽車，由手動圓形方向盤控制著方向，沿著縱橫交錯如同矩形網格線一般的街道行駛。建築物和房屋大多數均由直角構成，圓形的穹頂和窗戶偶爾點綴一番。我們在矩形或圓形的桌子旁，膝蓋上放著長方形餐巾，用圓形的盤子吃飯，用橫截面為圓形的杯子喝飲料。我們從矩形的包裝紙板上撕下火柴點燃圓柱形的香煙。還有，我們用矩形的紙幣和圓形的硬幣支付矩形的賬單。

甚至我們的體育運動里也結合了直角和圓形。玩得最多的戶外運動，是在矩形球場上玩圓球。室內運動，從游泳池到象棋棋盤，都是圓形和矩形的類似組合。矩形的紙牌拿在手中形成扇狀的圓弧形排列。這個矩形頁面上的字母， 是直角和圓弧的拼綴之作。無論你往哪個方向看，你的視野里都充滿了方形、圓形以及與它們仿射伸縮的形狀：矩形和橢圓。（在某種意義上，橢圓比圓形更多見，因為從一定的角度觀察時，每個圓都看上去是橢圓。）在光效應藝術畫作和紡織品設計中，正方形、圓形、矩形和橢圓形彼此爭相表現，一如它們在日常生活中那樣。

丹麥作家和發明家皮特·海因最近問他自己一個有趣的問題：怎樣的一種最簡單又最賞心悅目的閉曲線能夠公正地居間調停這兩種互相衝突的傾向？ 皮特·海因（他總是被提及全名）最初是一位科學家，他在斯堪的納維亞國家和英語國家中以他那極其膾炙人口的各卷優雅格言詩（評論家們將之比作馬提亞爾的雋語），以及他那關於科學和人文主義論題的作品而聞名遐邇。對於趣味數學家來說，他作為六貫棋、索瑪立方塊和其他一些有名的遊戲和趣題的發明者而聲名顯赫。他是維納（Norbert Wiener）的朋友，維納的最後一本書《神和機器人》（God and Golem），就是獻給他的。

馬提亞爾（Marcus Valerius Martialis，約40—103/104 年），古羅馬詩人。主要詩集有《奇觀》（Liber Spectaculorum）和《雋語》（Epigrammata）。——譯者注

皮特·海因問自己的這個問題，是由早先於1959 年在瑞典產生的一個棘手的城市規劃項目所引起的。許多年之前，斯德哥爾摩就已決定對市中心的一塊滿是舊房子和狹窄街道的擁擠地區進行拆除重建工作。二次大戰結束後，這項龐大而昂貴的項目終於上馬。有兩條新的寬闊的交通要道，一條南北向，一條東西向，在這個市中心地區相交。在這兩條要道的交叉處，要鋪設一個寬大的矩形場地（如今被稱為塞格爾廣場）。在這個場地的中心，是一個卵形的凹地，其中有一個噴泉，噴泉周圍是一個卵形的水池，水池中有數百個較小的噴泉。陽光透過這水池的半透明池底，照入一個卵形的自助餐廳。這餐廳低於路面，周圍滿是由立柱和商店構成的卵形環。在這下面，最終還將有兩個卵形的地下層，那裡是餐廳、舞廳、衣帽間和廚房。

在設計這個中心凹地的準確形狀時，瑞典的建築設計師們遇到了意想不到的障礙。橢圓不得不被否決，因為它那尖凸的兩頭會對周圍車流的順暢性造成影響；況且，它放在那塊矩形場地中也顯得不協調。隨後，城市規劃者們便試圖採用一種由八個圓弧構成的曲線，但它看上去就是一個拼湊之作，有八處曲率發生「跳躍」，十分難看。另外，規劃要求對那些大小不同的卵形作嵌套式布置，但這種八圓弧曲線沒法以一種討人喜歡的方式被這樣布置。

到這一步，負責這個項目的建築設計團隊就去請教皮特·海因。這種問題， 需要的正是他那數學和藝術的聯合想像力，正是他那幽默感，正是他那在人們意料不到的方向上進行創造性思維的才能。那麼，他會找到怎樣的一種不像橢圓那樣尖凸的曲線，它既能討人喜歡地被嵌套式布置，又能顯得十分協調地放在斯德哥爾摩市中心那塊矩形的露天場地中？

要理解皮特·海因的新奇答案，如他所做的那樣，我們必須首先將橢圓視作一個更為普遍的曲線集合中的一個特殊情況，這個集合中的曲線，在笛卡兒坐標系中的方程為：其中a 和b 是不相等的參數（任意常數），它們表示該曲線的兩個半軸長度，而n 為任意正實數。豎直線括弧表示對每個分數要取它的絕對值；也就是說，不管其數值的符號。（在後面給出的一些公式中豎直線括弧將被省略，假設絕對值是不言而喻的。）

當n=2時，滿足方程的x和y的實數值（用現代的術語來說，它的「解集」）決定了落在以這兩個坐標軸的原點為中心的橢圓上的圖形點。當n 從2向1遞減時，這卵形的兩頭更為尖凸（海因稱之為「半橢圓」）。當n=1時，這個圖形是一個平行四邊形。當n 小於1時，這四條邊是凹曲線，並且隨著n 趨近於0，這四條邊越來越凹。到n=0，它們退化為兩條相交的直線。

如果n被允許增長到大於2，這卵形的邊就越來越平直，它越來越像一個矩形，事實上，當n趨向無窮大時，矩形是它的極限。在什麼時候，這樣的曲線看起來最順眼？皮特·海因設定。

在計算機的幫助下，400 對坐標被計算到15位小數，畫出許多不同尺寸的更大的精確曲線，它們具有相同的長寬比（以符合斯德哥爾摩市中心那塊露天場地的比例）。這些曲線竟然是不可思議地令人滿意，它們既沒有太圓，也沒有太方，優雅地結合了橢圓和矩形的美。此外，如圖8.1和圖8.2所示，這樣的曲線可以被嵌套式布置，給人以一種強烈的協調感和同心卵形線之間的一致感。皮特·海因將所有這些有2以上指數的曲線稱為「超橢圓」。斯德哥爾摩立即採用了這個指數為的超橢圓作為它新市中心的基本主題。當整個中心最終完工的時候，它必然會成為瑞典的著名旅遊景點之一。（對數學家而言當然是！）這個大型超橢圓水池已經為斯德哥爾摩帶來一種不同尋常的數學特色，就好像聖路易斯拱門的大懸鏈線，主導著當地的天際輪廓線那樣。

圖8.1 同心超橢圓

圖8.2 斯德哥爾摩的地下餐館

及其上面水池的平面圖

同時，一位大眾熟知的瑞典傢具設計師，馬森（Bruno Mathsson），饒有興味地採用了皮特·海因的超橢圓。他首先製作了各種超橢圓形的書桌，現在擺放在許多瑞典高管的辦公室內，隨後又設計了超橢圓形的桌子、椅子和床。（誰還需要稜稜角角？）丹麥、瑞典、挪威和芬蘭的各行各業紛紛向皮特·海因尋求各種直角與圓不相容的問題的解決方法。最近幾年以來，他一直致力於設計超橢圓形的傢具、餐具、杯墊、燈具、銀器、紡織品圖案等等。其中的桌子、椅子和床還體現了皮特·海因的另一種發明：非同尋常的自夾緊的桌腳、椅腳和床腳，極易拆下和裝上。

「與圓和橢圓一樣，超橢圓有著令人信服的統一性，但沒有那麼顯眼，也沒那麼平庸。」皮特·海因最近在一本關於應用藝術和工業設計的主流丹麥雜誌上寫道。（該雜誌那一期的封面，是白底上一個凸顯的黑色線條的超橢圓，並配以這種曲線的方程。）

「超橢圓不僅僅是一種風靡一時的新時尚，」皮特·海因繼續寫道，「它是對一次和二次的較簡單曲線，即直線和圓錐曲線的束縛的一個解脫。」順便說一句，我們不能將皮特·海因的超橢圓與常見的，特別是在電視機屏幕形狀上看到的土豆形曲線混淆。這種曲線難得超過用各種圓弧拼接成的卵形線，並且沒有任何能將審美上的統一性賦予曲線的簡單方程。

當橢圓的兩條軸相等時，它當然是一個圓。如果在圓的方程

中，指數2被一個更大的數代替，繪製出的曲線就變成了皮特·海因所稱的「超橢圓」。指數為時，從它藝術地處於兩個極端當中這個意義上說，它是一個真正的「方圓」。具有一般方程

的曲線，當n從0趨向無窮時，其形狀變化畫在圖8.4中。如果這個圖可以沿著一根軸被均勻地拉伸（仿射變換之一），它將描繪出以橢圓、次橢圓和超橢圓為其成員的一族曲線。

用同樣的方法，可以把球和橢球的相應笛卡兒方程中的指數提高，以獲得皮特·海因所稱的「超球」和「超橢球」。如果該指數是，這樣的立體可被視為在通向成為立方體和長方體的道路上走到半途的球和橢球。

真正的橢球，有3條不相等的軸，方程為：

其中a、b 和c是不相等的參數，代表每條軸的一半長度。當這3個參數相等時，這個圖形便是球。當只有兩個參數相等時，這個表面稱作「旋轉橢球面」或類球面。它是將一個橢圓繞其相等兩軸中任一根旋轉而形成的。如果旋轉是繞較長軸進行的，其結果就是一個長隨球——一種蛋形，其圓形橫截面垂直於這根軸。

事實證明，對一個密度均勻的長橢球的實體模型，用其任何一頭豎起時， 都無法比一個雞蛋豎起時更能保持平衡，除非有人對雞蛋使用一種通常被認為是哥倫布採用的計謀。哥倫布在1493 年發現美洲大陸之後，回到西班牙，他以為新發現的大陸是印度，從而證明了地球是圓的。在巴塞羅那，人們設宴招待他。這是本佐尼（Girolarno Benzoni）在他的《新世界歷史》（History of the New World，威尼斯，1565 年）中所講述的故事（我從一個早期的英譯本中引來）：

哥倫布和許多體面的西班牙人在一次聚會上……其中一個人擔保說道：「克里斯托弗先生，即使你沒有找到印度人，在這裡我們西班牙自己的國土上， 我們也不會連一個嘗試去做你同樣事情的人也沒有，因為這裡滿是偉大的人物，他們精通宇宙誌和文學。」哥倫布對這些話不置一詞，只是要了一個雞蛋。他把它放在桌子上，說道：「先生們，我將和你們所有人打一個賭，你們無法像我一樣讓這個雞蛋在沒有其他任何東西支撐的情況下立起來。」他們都試了， 沒有人能成功地讓它立起來。當雞蛋回到哥倫布的手中時，他把雞蛋往桌子上一敲，只是稍稍敲破了雞蛋的一頭，就讓它穩穩地立住了。所有的人尷尬不已， 他們都明白他要說的話了：在他做完這件事之後，大家都知道怎麼做了。

這個故事可能是真的，但是在此15年前，瓦薩里（Giorgio Vasari）就在他著名的《最傑出的畫家、雕塑家和建築師們的生活》（Lives of the Most Eminent Painters, Sculptors and Architects，佛羅倫薩，1550年）中講述過一個似乎相似的故事。年輕的義大利建築師布魯內萊斯基（Filippo Brunelleschi），為佛羅倫薩大教堂——聖母百花大教堂設計過一個大而重得不同尋常的圓頂。該市的官員們要求看看他的模型，但他拒絕了，「他提出……誰能在一個大理石平面上讓一個雞蛋豎直立起來，誰就應該去建造那圓頂，因為這樣每個人的才能就能得到識別。於是取一個雞蛋，所有那些師傅們都試圖讓它豎直立起來，但沒有一個人能找到方法。當要求布魯內萊斯基把雞蛋豎起來時，他輕輕拿起雞蛋，把它的一頭在大理石平面上一敲，便使其直立了起來。工匠們抗議說，他們也能做到這樣。但布魯內萊斯基笑著回答說，要是他們看了模型或者設計圖的話， 他們也能夠建起圓頂。於是事情就這樣解決了——他應該被委派去完成這項工作。」

這個故事有一個超級搞笑的地方。當巨大的圓頂終於完工時（那是在許多年以後，但是在哥倫布第一次航海的數十年以前），它的形狀是半個雞蛋，底部是平的。

這些與超雞蛋又有什麼關係呢？好吧，皮特·海因（順便提一句，關於哥倫布和布魯內萊斯基的引文出處，就是他提供的）發現，一個指數為的超雞蛋——實際上，任何指數的超雞蛋——實體模型，假如與其寬度相比並不是很高的話，可以用任何一頭站立並立即保持平衡，無需任何鬼花招！事實上，幾十個胖乎乎的木質和銀質的超雞蛋現在在斯堪的納維亞半島各處禮貌而永久地站立著。

考慮圖8.3所示的銀質超雞蛋，其指數為，高寬比為4∶3。看起來好像要翻倒了，但事實並非如此。超雞蛋這種鬼魅般的穩定性（兩頭都是）可以被認為是超橢圓在方和圓之間協調平衡的象徵，從而這也是像皮特·海因這樣的人，那協調平衡的心智的一個討人喜歡的象徵，他如此成功地居介調停了斯諾（C.P. Snow）的「兩種文化」。

圖8.3 銀質超雞蛋，用任意一頭都可穩定站立

圖8.4 超圓形及相關曲線

由方程

表示的平面曲線族，首先是由19 世紀的一位法國物理學家拉梅（Gabriel Lamé）認識到並加以研究的，他在1818 年寫了關於這些曲線的文章。在法國和德國，都被稱為拉梅曲線。當n 是有理數時，它們是代數曲線，而當n 是無理數時，則是超越曲線。

當n=2/3，a=b時，曲線是星形線（見圖8.4）。這曲線由在一個大圓內沿其內側滾動的小圓上的一個點的軌跡生成，而這個小圓的半徑為大圓的1/4或3/4。戈洛姆（Soloman W. Golomb）使人們注意到，假如n為奇數，並且拉梅曲線方程里的絕對值符號被去除，你會得到一個曲線族，著名的阿涅西箕舌線曲線是其一個成員（當n=3時）。霍根（William Hogan）來信說，由他和其他工程師所設計的那些風景區幹道的拱門，往往是指數為2.2 的拉梅曲線。他說，在1930年代，它們被稱為「2.2 橢圓」。

當一個超橢圓（指數大於2 的拉梅曲線）被應用到一個實際對象上時，其指數和參數a 和b 當然可以有所變化以適應環境和偏好。對於斯德哥爾摩的那個市中心來說，皮特·海因使用參數，a/b = 6/5。

幾年以後，羅賓遜（Ger? ald Robinson），一位多倫多的建築師，把超橢圓應用於多倫多郊區彼得伯勒一個購物中心的停車庫。長寬比例被要求是a/b=9/7。給定這個比例，一項調查顯示，一個比2.7 略大一點的指數可以構成一個看起來最為美觀的超橢圓。這表明e 可以作為一個指數使用（因為e=2.718…）。格瑞吉曼（Norman T. Gridge?man）在他關於拉梅曲線的內容豐富的文章中寫道，羅賓遜用e作為指數，結果是，這個卵形線上的每一個點，除了與軸線相交的4 個點外，都是超越點。

讀者們也建議使用其他參數。特納（J. D. Turner）建議說，通過選擇指數， 使所得圖形的面積正好是圓形和方形（或者矩形和橢圓形）這兩種極端圖形的面積的平均值，從而居間調停這兩個極端。曼德維爾（D. C. Mandeville）發現這個調和圓形和方形的面積的指數，如此接近π，這使他想知道，它是否就是圓周率。不幸的是，事實並非如此。布萊克（Norton Black）使用計算機確定，該值比3.17 略微大一點。特納還提出，通過選擇一個指數，使所得曲線通過一條將矩形的角連到橢圓上相應點的直線的中點，來調和橢圓和矩形。

特納和布萊克各自都建議將a/b 設為黃金比例，使超橢圓與美觀的「黃金矩形」相結合。特納選出的最美觀的超橢圓，是參數a/b = 黃金比例，n = e 的卵形。巴林斯基（Michel L. Balinski）和霍爾特第三（Philetus H. Holt Ⅲ），在1968 年12月（我沒能把該月的哪一天記下來）的《紐約時報》上發表的一封信里，建議將的黃金超橢圓作為巴黎的談判桌的最佳形狀。那時候，準備為達成一個越南和約而談判的外交官們，正在就他們談判桌的形狀吵吵嚷嚷。如果在桌子形狀上不能達成一致，巴林斯基和霍爾特寫道，應該把這些外交官們放入一個中空的超雞蛋，然後搖晃它，直到他們達成「在超橢圓上的一致」。

塞格爾廣場，在瑞典語中稱為「塞格爾托格」，仍在建造之中。超橢圓形廣場以及與地面等高的噴水池已經建造完成。那下面的皮特·海因拱廊，及其商店和餐廳，預期將在1979年完工。

超雞蛋是更一般的立體形狀的一個特例，可以稱之為超橢球。這種超橢球的方程為：

當a=b=c時，其立體是一個超球。隨著指數的變化，其形狀從球變為立方體。當a=b時，這個立體的橫截面是超圓，其方程為：

具有圓形橫截面的超雞蛋，方程為：

當我在我的專欄里寫超橢圓時，我認為任何一個指數大於2和小於無窮大的立體超雞蛋，假如它的高度和寬度之比不超過一個太大的比值，將在用其任何一頭站立時保持平衡。當然，指數無窮大的立體超雞蛋將成為一個直立圓柱，從原則上說，無論它的高度比寬度多出多少，它總是能用它的平底站立。但是在不到無窮大的情況下，看起來在直覺上很清楚：對於每個指數，存在一個臨界比例，若長寬比超過這個臨界比例，雞蛋就無法保持穩定。事實上，我甚至發表了下面的證明：

如果一個雞蛋的重心CG低於其底線中點的曲率中心CC，那麼雞蛋就會平衡。它平衡，是因為對雞蛋的任何輕推都會提高重心CG。如果CG比CC高，雞蛋就不穩定，因為最微小的推動都會降低重心CG。為使這一點更清楚，首先考慮圖8.5左邊所示的球。球內CG 和CC位於同一點：球心。對於任何一個指數大於2的超球，如圖8.5 左邊第二圖所示，CC高於CG，這是因為其底部凸起不夠。指數越大，則底部凸起越少，CC就越高。

圖8.5 關於超雞蛋不穩定性的

錯誤證明示意圖

現在假設超球被均勻地沿其豎直坐標往上拉伸，變為一個旋轉超橢球，或者皮特·海因所稱的超雞蛋。在它被拉伸的時候，CC點下降，CG點上升。顯然，CC和CG必定重合於某一點X。在到達此臨界點之前，超雞蛋是穩定的，如圖8.5 左邊第三圖所示。過了這個點，超雞蛋就不穩定了（圖8.5右）。

格雷姆（C.E.Gremer），一位退役的美國海軍指揮官，是眾多讀者中第一個告訴我這個證明是錯誤的人。與直覺相反，在所有超雞蛋的基座點處，曲率中心無限高！如果我們增加超雞蛋的高度，而讓其寬度保持不變，基座點處的彎曲程度就保持「平坦」。德國的數學家稱之為平坦點（Flachpunkt）。在超橢圓的兩頭，有類似的平坦點。換句話說，所有超雞蛋，不論其高寬比，理論上都是穩定的！隨著超雞蛋變得更高和更瘦，當然也有一個臨界比例，在這個臨界比例上，使這超雞蛋倒下所需的傾斜度是如此接近零，以致材料的非均勻性、表面的不規則性以及振動和氣流等因素都會令其實際上不穩定。但是，在一個數學上理想的意義上，沒有臨界的高寬比。正如皮特·海因所說，在理論上我們可以把任何數量的超雞蛋，每一個寬為一英寸，高和紐約帝國大廈一樣，頭對頭地一個放在一個上面，保持平衡，不會翻倒。計算使一個給定的超雞蛋無法再恢復平衡的精確的「倒下角度」，在微積分中是一個棘手的問題。許多讀者解決了這個問題，並且寄來他們的結果。

說起雞蛋的平衡，讀者可能不知道，如果你有足夠耐心，並且手法很穩的話，幾乎所有的雞蛋可用它大的一頭在光滑的平面上立起來。通過先搖晃雞蛋試圖弄碎蛋黃是沒有用的。作為一個適於在客廳表演的戲法，更令人迷惑的是將雞蛋用以下方法用它那尖的一頭立起來：偷偷將一小撮鹽放在桌子上，將雞蛋豎立在上面保持平衡，然後輕輕地將多餘的鹽粒吹走，再叫觀眾們進來看。留下的令雞蛋保持平衡的微量鹽粒是看不到的，特別是在白色表面上。由於某種奇特的原因，用正當方法將雞蛋用其大頭站立並保持平衡，1945年在中國成為風潮，至少1945年4月9號的《生活》雜誌上的圖片故事是這麼說的。

世界上最大的超雞蛋，由鋼和鋁製成，重量將近一噸，於1971年10月設立在格拉斯哥的開爾文館外，是為了向皮特·海因表示敬意，他出席了在那裡舉行的現代家園展並且作了演講。超橢圓曾經兩次出現在丹麥的郵票上，1970年，在紀念托瓦爾森（Bertel Thorvaldsem）的2克朗藍色郵票上，以及1972年的聖誕節封緘上，上面有女王和親王夫婦的肖像。

各種尺寸和材質的超雞蛋，在世界各地的獨特禮品專賣店裡都有銷售。用脫氧鋼製成的小型超雞蛋作為一種「行政主管的玩具」被推上市場。對它們的一個最好的玩法是，取一個這樣的小超雞蛋，用其一端站立，輕輕一推，試著讓它做一個、兩個或者更多個前滾翻，最後用另一端靜止站立。殼壁中空的超雞蛋，填以一種特殊的化學物質，作為飲料冷卻器出售。更大的超雞蛋被設計來裝香煙。更昂貴的超雞蛋，純粹作為藝術品也正在製作。

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