黎曼猜想中秋節被證明了？數學家同行淡然並質疑

最新 09-27

（原標題：159年無人證明的黎曼猜想被阿蒂亞爵士證明了？數學家同行發出質疑：那甚至不能算是個錯誤！）

作者:許琦敏金婉霞

黎曼猜想要被證明了？只怕這次離真正的證明還有一段距離。

德國柏林時間9月24日上午9點45分，菲爾茲獎與阿貝爾獎雙料得主、英國皇家學會院士邁克爾·阿蒂亞爵士在德國海德堡舉行的海德堡獎諾貝爾獎獲得者論壇上，講述了他對黎曼猜想的證明。

▲邁克爾·阿蒂亞爵士在論壇現場講述證明過程時的直播截圖

他聲稱，自己用了一個非常簡單的反證法，就解開了天才數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出，至今159年無人能證明的黎曼猜想。

▲邁克爾·阿蒂亞爵士在論壇現場講述證明過程時的直播截圖

就在論壇開始前不久，他還將論文的預印本發布在了網上。這表明他不是僅僅以一個報告來博得眼球，而是已經有了實實在在的論文。

然而，令人意外的是，當大眾歡呼雀躍於這數學王國中最難攻克的猜想得到證明時，真正的數學家們卻非常淡然。而在預印本出來之後，來自同行的負面評論越來越多，有人說他的所謂證明「甚至不能算是個錯誤」。

究竟阿蒂亞爵士能否證明黎曼猜想？可能人們將再次接受失望。

一個摘要掀起熱潮

就在幾天前，阿蒂亞爵士聲明自己證明了久負盛名的黎曼猜想，並將在海德堡獲獎者論壇上簡單講述證明過程。

於是，這個消息立刻在大眾中掀起了一股熱潮：如果說，數學是人類智慧的皇冠，那麼數論就是皇冠上的明珠，而黎曼猜想則是明珠上最難擦拭掉的那個斑點。

「如果數學世界只剩下一個難題，那麼一定是黎曼猜想。」中國科學技術大學數學系教授歐陽毅說，其實每隔幾年，就會有人宣稱證明了黎曼猜想，但結果都失敗了。

他說，對於數學家而言，只看邏輯和推導，不看誰先聲稱證明了什麼。所以，對於阿蒂亞的聲明，同行幾乎都持淡然的態度，「我們要看到論文，然後驗證裡面的每一個步驟和細節。如果完全正確，那就向他致以最崇高的敬意，他將是本世紀最偉大的數學家，沒有之一！」

數學，就是這樣一個只以成敗論英雄的領域，不看權威，不論資歷。以菲爾茲獎為例，其獲獎者都是年輕人。比如今年的菲爾茲獎得主彼得·舒爾茨就是1987年出生的，但他將代數與幾何結合的工作，已被很多人跟進，有深遠的理論意義。

預印本發布引來更多吐槽

就在89歲高齡的阿蒂亞爵士走上講壇前不久，他關於黎曼猜想的預印本已在網上公布。這說明，他是真的認為自己證明了黎曼猜想——根據數學學科發表論文的慣例，數學家在正式出版前都會提前公布預印本，先接受同行的檢查，一旦放出預印本，就等於宣告這個成果的歸屬。

▲邁克爾·阿蒂亞爵士在論壇現場展示的PPT

只有短短的五頁紙！其中證明只有15行！

的確，黎曼留給後人的也只有短短的八頁紙。可真的有那麼簡單嗎？很快，就有專業人士指出，阿蒂亞在第二節定義的TODD函數就不靠譜，而這恰恰是證明的關鍵所在。

簡單來說，阿蒂亞是用了一個TODD函數的公式，假設有與黎曼猜想矛盾的點存在，這個公式是收縮的，那麼就可以把一個個點代入這個公式，如果沒有一個點成立，那麼他就證明了黎曼公式。然而，這個TODD函數在他上一次在海德堡論壇上發布時，就被當場指出是錯誤的。

▲邁克爾·阿蒂亞爵士在論壇現場展示的PPT

所以，儘管演講還在繼續，同行就已經基本上斷定，這次阿蒂亞爵士並未能帶來真正的驚喜。有同行在網上表示，為了尊重這位曾經做出過非常傑出而漂亮工作的偉大數學家，就不要再討論了，因為他的證明是「not even wrong」。

▲「not even wrong"的英文釋義

在科學界，這個英語短語描述了一個聲稱是科學的論點或解釋，但是基於無效的推理或推測前提。因此，它指的是不能嚴格地、科學地討論的論述。

「這不是一次嚴肅的嘗試，甚至連錯誤都算不上。在論述中沒有使用到zeta函數的任何性質，而這在黎曼猜想中很關鍵。」歐陽毅說，很多偉大的數學家經常在晚年宣稱證明了某個命題，卻最終未能成功。這也是一種常態，不用對這位前輩過於苛責。

證明黎曼猜想究竟會帶來改變嗎？

數學證明，是個不斷反覆質疑、驗證的過程。中國科學院院士、復旦大學數學系教授李大潛說，當年英國數學家安德魯·懷爾斯做報告證明了費爾馬大定理，也被同行指出其中的問題，他又花費了很大力氣，才最終得到了結論。即使阿蒂亞這次失敗，也沒什麼，畢竟這是數學上一個公認的難題。美國的克萊數學研究所公布的七大千禧年數學難題，每個懸賞一百萬美金，黎曼猜想名列第一。

除了難度高，黎曼猜想的證明在現實世界中會改變什麼嗎？李大潛介紹，作為核心數學中的一個重要猜想，不少數論的研究成果都是建立在黎曼猜想成立的基礎上進一步研究的，如果該猜想成立，它們就有了依據，不然就全無價值。

然而，在實際應用中，大家並不用為黎曼猜想是否被證明擔心。歐陽毅說，因為數學是在理論上追求完美，但在現實應用中，很多理論極限上的情況並不會發生。

數論在密碼上的應用，包括信息安全和網路空間安全，乃至量子計算，出現的情況都是有限情形（目前使用的素數不超過150位數）。黎曼猜想可能的反例出現的範圍已經遠遠超出實際應用中數的範圍。

「除非阿蒂亞證明黎曼猜想不成立，或者提出質數的新規律，否則不會對現實應用產生太大的衝擊。」歐陽毅說，現在看來，我們只好等待下一位勇士，再向黎曼猜想發起挑戰。

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黎曼猜想

在自然數序列中，質數（也稱為素數）是那些只能被1和自身整除的整數，比如2，3，5，7，11等等。由於每個自然數都可以唯一地分解成有限個質數的乘積，因此在某種程度上，質數構成了自然數體系的基石。

1859年，德國數學家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）發表了一篇名為《論小於給定數值的素數個數》的論文，提出黎曼猜想。黎曼猜想是關於黎曼Zeta函數的零點的猜想。

黎曼Zeta函數在任何複數s
≠
1上有定義，與許多其它函數一樣，黎曼Zeta函數在某些點上的取值為零，那些點被稱為黎曼Zeta函數的零點。比如它在所有負偶數上有零點（例如，當s
= ?2, ?4, ?6,
...），這些零點被稱作「平凡零點」。黎曼猜想認為這個函數的所有非平凡的零點都分布在複平面上一條平行於虛軸且實部為二分之一的直線上，但並未給出證明。

這一猜想中的非平凡零點與質數的分布密切相關，而質數在自然數中的分布問題在純數學和應用數學上都極其重要。

一百多年，無數人曾試圖證明黎曼猜想，但至今未有人能夠攀頂。1900年，德國著名數學家希爾伯特在巴黎國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，也就是著名的「希爾伯特23問題」，被認為是20世紀數學的制高點，其中便包括黎曼猜想。

邁克爾·阿蒂亞（Michael Francis Atiyah）爵士