超越三維空間的奇異數系：沒有它，就沒有現代代數

不停旋轉的立方，每一面連接的色帶必須經過兩次完整旋轉後才能回到最初狀態。構成物質的粒子比如電子和夸克遵循這樣的運動規律，而一類被命名為「四元數」的四維空間數也表現出了相似的性質。（來源：Jason Hise / YouTube）

19世紀發現的「四元數」永久地改變了物理學和數學，它給予了數學家們一種描述空間旋轉的新方式。

撰文 | 查理·伍德（Charlie Wood）

翻譯 | 潘磊

審校 | 楊心舟

如果把指向3點的時針往回撥動到12點，會經歷怎樣的過程？數學家早就知道如何將這種旋轉簡化成一個乘法運算：用一個數表示時針在平面上的初始位置，再乘上另一個常數。那麼用相同的技巧描述三維空間中的轉動可行嗎？常識認為是可以的，但19世紀最傑出多產的數學家之一——威廉·哈密頓（William Hamilton）卻花費了十多年的時間才找到用於描述三維空間旋轉的數學概念。數學中僅有四個數系準確遵循標準演算法的近似模擬，哈密頓解決出的方法是其中第三個，這一成果還促進了現代代數的興起。

威廉·哈密頓（William Hamilton）圖片來源：wikipedia

定義三維乘法

第一個數系是實數系。實數包括了我們在中學學到的所有數，比如-3.7和42；這一系列數字可以有序地從最小到最大排列。文藝復興時期的代數學家偶然發現了第二個可以用來加減乘除的數系。如果想讓一些方程存在解，必須引入一個新的數——虛數i，一個完全不存在於實數系中的數。如果把實數想像成一條直線，那第二個數系就是一步踏進了「複平面」。在這個平面世界中，「複數」表示一個個類似箭頭的矢量，可以通過加法和減法來滑移，或通過乘法和除法進行轉動和拉伸。

在經典力學和量子力學中有一個與哈密頓同名的演算法，叫做「哈密頓函數」，這位愛爾蘭數學家曾希望通過添加一個假想的j軸從複平面變換至三維空間。但三維空間中一些奇特的性質推翻了哈密頓想到的一個又一個體系。「他一定嘗試過千百次但沒有一個體系成功。」加州大學河濱分校的數學家約翰·貝茲（John Baez）感慨道。問題就在於乘法，在複平面里，矢量的轉動要通過乘法實現。無論哈密頓如何定義三維中的乘法，始終無法反過來讓對應的除法重現有意義的結果。

要理解三維轉動為何如此複雜，可以對比轉動方向盤和旋轉地球儀：方向盤外周的所有點以相同方式一起運動，所以它們的矢量只需要乘同一個（復）數；但地球儀（球體）上的點，靠近赤道的速度最快，而越往兩極越慢。更關鍵的是，兩極不會有任何運動。貝茲解釋說，如果三維旋轉和二維一樣，理論上所有的點都會移動。

四元數的誕生

1843年10月16日，一個驚人的解決方法在哈密頓腦中乍現，興奮的哈密頓立刻將相關方程刻在了都柏林的金雀花橋上。只要把球體放在一個更高的維度里，它的轉動就會更接近於二維的運動。首先需要三個虛數軸i、j、k，再加上一個實數軸a，就可以定義四維空間的矢量。哈密頓命名這一類新的數為「四元數」（quaternions）。在當天夜幕降臨時，他已經勾勒出三維矢量轉動的大致圖景：簡潔的四元數就能表示這些複雜的轉動，其中只需要一個等於0的實數a和三個虛數i、j、k，同時他把代表三個方向的虛數稱作「矢量」。轉動一個三維矢量等同於乘一個有序的四元數，四元數包含了轉動方向和角度的信息。

金雀花橋（上圖，來源：wikipedia）與哈密頓刻在橋上的方程（下圖，來源：加州大學河濱分校）

所有對實數和複數有效的操作都可以作用在四元數上，除了一個難以調和的差異。在實數系中3×2等同於2×3，但在四元數系中乘法順序不可交換。儘管四元數確實有效描述了現實物體的轉動，但數學家從未在數系中發現過這樣奇特的性質。舉個例子，把你的手機面朝上水平放置；讓它向左轉90°，然後向遠離你的方向翻轉，注意此時手機攝像頭的朝向；然後返回最初的位置，先讓手機向遠離你的方向翻轉再向左旋轉，觀察現在的朝向。現在的攝像頭為什麼指向右邊？這令人驚訝的現象，即非交換性，被證明是四元數與現實共有的特性。

但新數系中蟄伏著一個問題。當手機或矢量以任何方式轉動了360°，而在四維空間中，四元數只是描述其轉動了180°。你需要兩次完全的旋轉才能讓表示手機或矢量空間位置的四元數回到最初的狀態。（只翻轉一次，四元數的符號會相反，因為虛數的平方是-1）

顛倒的矢量會產生虛假的負信號，這可能會嚴重破壞物理體系，因此哈密頓在橋上刻下發現後的近四十年，物理學家彼此論戰欲阻止四元數成為描述轉動的標準。而耶魯大學教授約西亞·吉布斯（Josiah Gibbs）定義現代矢量時，抵制行為爆發了。要確定第四維度非常麻煩，Gibbs通過完全刪去變數a以精簡哈密頓的發現：Gibbs得到的「四元數系」保留i、j、k三個符號，沒有實數變數a的情況下，把四元數乘法簡化拆分成獨立的矢量相乘，即現在每個數學、物理專業本科生都會學到的點乘（數量積）和叉積（向量積）。一些哈密頓的支持者把新的系統看作「怪物」，而現代矢量擁護者則貶低四元數是「無理糾纏」和「純粹的邪惡」。論戰在期刊和文冊上持續多年，最終現代矢量憑藉其易用性走向勝利。

四元數新應用

四元數本會隨著新系統的應用逐漸消逝，但20世紀20年代量子力學揭開了它的真正身份。對光子和其他傳遞作用力的粒子（玻色子）來說，旋轉一周就是正常的360°；但電子和其他構成物質的粒子（費米子）需要旋轉兩周才能回到最初位置。哈密頓建立的數系一直描述的就是這些類似費米子，尚未發現卻真實存在的物質特性，它們現在被稱為「旋量」。

儘管如此，物理學家在日常計算中從不會採用四元數，因為以矩陣理論為基礎，目前已經發展出了解決複雜旋量的替代運算方式。只是在近幾十年，四元數有了復甦的跡象。它們不僅被應用到計算機圖形學中，作為計算轉動的有效工具，還存在於研究高維空間複雜表面的幾何領域。

超凱勒流形（Hyperk?hler manifold）是一類特殊表面，能夠可逆地在矢量群和旋量群之間轉換——統一了那場矢量代數戰爭的雙方；超凱勒流形有獨特的魅力，因為一直以來矢量描述玻色子的運動，而旋量只描述費米子的運動。物理學家對超凱勒流形有極大的興趣，他們想知道自然界中的物質和力之間是否存在對稱性，即「超對稱性」。（但如果真的存在，超對稱性在我們的宇宙中必然要被嚴重破壞。）

同時對數學家來說，四元數從未真正失去它的光芒。「從哈密頓創造四元數的那一刻起，每個人包括他的兄弟決定去建立他們自己的代數體系，」Baez說，「大部分完全無用，但最終……他們發展出了現在我們所知的抽象代數，也就是現代代數。」今天，抽象代數學家研究多種多樣的數系，這些系統具有多種維度和各異的性質。

第四個也是迄今為止的最後一個數系，由哈密頓的朋友約翰·格雷夫斯（John Graves）在四元數出現不久後建立，目前存在潛在的巨大價值。它允許乘法模擬和相應的除法運算。一些物理學家猜想這些奇特的八維空間「八元數」可能在基礎物理學中發揮著重要作用。（相關閱讀：《只有八維數字，才能還原宇宙的本質？》）

牛津大學的幾何學家奈傑爾·希欽（Nigel Hitchin）教授說了他的看法：「基於四元數，還有很多的幾何學研究等待發掘……但如果你想要觸摸新的前沿，那將是八元數的空間。」

https://www.quantamagazine.org/the-strange-numbers-that-birthed-modern-algebra-20180906/

《環球科學》經典專刊回歸

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