物理學中的這個「魔數」，可以被推導出來嗎？

24日，所有的媒體都在關注邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）是否證明了黎曼猜想。然而，大多數數學家對此都持懷疑態度。他們的理由很簡單，因為證明黎曼猜想實在是太難了，過去有很多的嘗試都失敗了。這裡我們將不去探討阿蒂亞的證明是否正確，而是關注另一個問題：精細結構常數。事實上，阿蒂亞一開始並沒有打算去證明黎曼猜想，而是試圖推導精細結構常數。

阿蒂亞在演講時的一頁ppt。

在物理學中，我們經常能看到精細結構常數（α），它是一個無量綱常數。在量子電動力學（QED）中，精細結構常數表徵了電磁相互作用的強度。它的數值大約等於1/137。假如這個值再大一點，那麼電磁力就會更強，原子也會更小等等；但反過來假如這個值再小一點，原子就會變得更大。這個數字可以告訴我們電子和光子之間QED相互作用的總強度，我們可以通過費曼圖來計算：

簡單的費曼圖。

阿蒂亞認為，在某種意義上，α是一項基本無量綱數值，就跟e或π一樣。因此，人們總是試圖從一些更深層的原理去「推導」它的值。上個世紀，有許多物理學家都嘗試去解釋精細結構常數，但並沒有人成功。愛丁頓（就是驗證了廣義相對論的那位英國天文物理學家）是最早嘗試運用純理論方法來計算精細結構常數的科學家。顯然，他失敗了。

約翰·惠勒曾寫道：「物理學家喜歡這個數字不僅僅是因為它是無量綱的，還因為它是自然界中三個基本常數的組合。為什麼這幾個常數結合在一起的時候會得出一個特別的數字：1/137.036，而不是其它的數字？」

費曼也在書中寫道：「這個數字自五十年前發現以來便一直是個迷。所有優秀的物理學家都將這個數貼在牆上，為它大傷腦筋……它是物理學中最大的謎題之一，一個該死的迷：一個魔數來到我們身邊，可是沒人能理解它。你也許會說是『上帝之手』寫下了這個數字，而我們不知道他是怎樣下的筆。」

那麼，試圖推導精細結構常數是否是一個正確的嘗試？物理學家Sean Carroll在自己的博客中這樣寫道：」對於現代物理學家來說，這似乎是一個錯誤的探索。「

首先，根據重整化理論（在量子場論中，解決計算過程中出現無窮大的一系列方法），α並不是一個真正的數字，而是一個函數。特別是，它是關於所考慮的相互作用中的動量總量的函數。從本質上說，對於在不同能量下發生的過程，電磁強度略有不同。這基本上就是Sabine Hossenfelder提出的反對意見。她在Twitter中表示，精細結構常數只有在低能時才近似於1/137。它的值會根據能量而變化，並一直增加，直到達到大統一。

更重要的是，α並不是基本的。在上面所展示費曼圖是兩個簡單的例子，但是對於任何給定的過程而言，還有複雜得多的費曼圖，例如：

複雜的費曼圖。

事實上，我們得到的總答案不僅取決於電子和光子的性質，還取決於在這些複雜的圖中以虛粒子的形式出現的所有其他粒子。所以，我們所測量到的精細結構常數實際上取決於頂夸克的質量和希格斯玻色子的耦合等。

最重要的是，不僅α不是基本的，QED本身也不基本。自然界中的三種基本力——強核力、弱核力和電磁力——很有可能會結合成某種大統一理論，即使目前我們還無法確定。但我們知道，弱核力和電磁力能統一成電弱理論。在QED中，從公式α=e2/4π（這裡，我們把其他常數設置為1）中可以看出，α和「基本電荷（e）」有關。所以，如果你嘗試「推導」α，實際上是在推導e。

但是e絕對不是基本的。在電弱理論中，我們有兩個耦合常數：g進而g"，分別表示「弱同位旋」和「弱超電荷」。除此之外還有「弱混合角」（或「溫伯格角」）θ，它與初始規範玻色子如何在自發對稱性破缺後被投射到光子和W/Z玻色子上有關。在這些問題上，我們有一個關於基本電荷的公式：e= g sinθ。基本電荷不是自然界中的一個基本成分；它只是在高能情況下發生了一系列複雜的事物之後，我們在低能時直接觀測到的東西。

而阿蒂亞的論文中並沒有提及這些問題。事實上，論文中沒有討論關於電磁學或QED的內容，這似乎只是一種計算方法，用這種方法計算出的數值能與α的測量值足夠接近，使他相信這或許是完全正確的。但我們並無法由此看出精細結構常數必須是這個數值的任何物理原因。

以上所述並非要斷言阿蒂亞的推導就是錯誤的，而是想要說明這樣的推導為什麼不可行。我們不應期待能推導出一個α的基本公式，它是一種低能情況下的許多複雜輸入的混亂結合。這就像是試圖推導出北京的平均溫度的基本公式。

當然，也有可能在這一切的背後隱藏著某些數學上非常優美的公式。只是就目前所知，這種可能性很小。

參考來源：

http://www.preposterousuniverse.com/blog/2018/09/25/atiyah-and-the-fine-structure-constant/

https://drive.google.com/file/d/1WPsVhtBQmdgQl25_evlGQ1mmTQE0Ww4a/view

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