持續學習：數學分析之函數的連續性

在上一篇文中，學習了函數與函數極限，其中有講到函數的四種特性：奇偶性，單調性，周期性和有界性。

今天來學習函數的另一個重要概念--連續性。直觀的表現是其函數圖像在某點的鄰域有定義，圖像不斷開。我們之前學的基本初等函數都是連續函數。

第1節，講的連續的概念，和連續函數的概念：

• 函數的點x0連續的定義：lim f(x)=f(x0） x->x0 ，這是使用了函數極限來描述函數的點連續，這也是安排本節在函數極限之後的原因。當然，也可以改為使用增量配合ε-σ的描述法：Δy = f(x)-f(x0）;lim Δy= 0 Δx->0
• 函數的點連續分為左連續與右連續
• 當連續點組成連續區間時，函數就存在區間連續，函數區間連續細分為開區間連續，閉區間連續，半開半閉區間連續

根據矛盾成對出現原則，有連續就會有間斷

第2節，講的就是函數間斷的概念：

• 函數的間斷點：就是函數不連續的點，可以分為：
• 第一類間斷點：包括可去間斷點和跳躍間斷點，這類間斷點特徵是函數在該點的左右極限都存在
• 第二類間斷點：在間斷點x0中，lim f(x) x->x0- 與 lim f(x) x->x0+ 至少有一個不存在，即點的左極限與右極限至少有一個不存在
• 間斷點定理：若f(x)在去區間（a,b)內單調，且x0∈(a,b)是f(x)的間斷點，則x0必是跳躍間斷點

第3節，講連續函數的局部性質：從函數極限的性質可以推出連續函數的局部性質

• 局部有界性
• 保不等式性
• 局部保號性
• 滿足四則運算條件的四則運演算法則（加減乘除）
• 複合函數的極限定理：limf(g(x)) x->x0 = f(lim g(x) x-x0) =f(u0) ,其中u0=lim g(x) x-x0
• 複合函數的連續性，既然複合函數存在極限定理，同理也就可以利用複合函數的極限來描述複合函數的連續性。

特別地，談談基本初等函數的連續性：之所以稱他們為基本初等函數，是因為他們都具有多數的函數的典型特性

• 反函數連續定理：若函數在閉區間嚴格單調且連續，則其反函數在其定義域上連續
• 定理：所有基本初等函數都在其定義域內連續
• 定理：一切初等函數都在其定義區間上連續

函數的連續性很重要，因為可以用來求極限，還與後續的微分關係很大

第4節，講函數的整體性質：

• 有界性定理：函數在閉區間連續，則在此區間有界。該定理關聯了函數的有界性和連續性。特別注意必須是閉區間
• 最值的概念：分為最大值和最小值，很容易理解的概念，不過多解釋
• 最值定理：函數在閉區間連續，則函數在此區間有最值（最大與最小）。也是只對閉區間成立
• 零點定理：若f(x)在[a,b]上連續，且f(a).f(b)<0，則存在x0屬於[a,b]，使得f(x0)=0，即方程f(x）=0在(a,b)內至少有一個根
• 介值定理：若f(x)在[a,b]上連續，且f(a)≠f(b)，u是介於f(a)，f(b)的任何實數，則存在x0屬於(a,b)，使得f(x0)=u
• 連續性推論：若函數在區間上連續，且不是常值函數，則函數的值域是一個區間
• 一致性連續：是指函數在區間上每一點都連續。因為函數的連續性是函數的局部性質，是點態的。
• 刻畫一致連續：設f(x)在區間I上有定義，若對任意ε>0，存在σ=σ(ε)>0，使得對任何x1,x2∈I ，只要|x1-x2|<σ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε ，那麼就說f(x)在I上一致連續
• 函數的一致連續使得函數的連續性從點態變為了區間態，這種加強了條件的連續，帶來了新的性質：
• 1）若 f(x) ,g(x)都在區間I上一致連續，那麼f(x)±g(x)也在I上一致連續
• 2）若f(x)在區間I上一致連續，J是I的子區間，那麼f(x)在J上一致連續
• 3）一致連續性定理：若函數在閉區間上連續，則函數在該區間一致連續。該定理通過閉區間條件，溝通了連續與一致連續

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