數學家願意用靈魂交換的黎曼猜想被證明了？
「如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂
來換取一個數學命題的證明，
『黎曼猜想』必能承靈魂之重。」
——蒙哥馬利
近日，有一條爆炸性的新聞充斥在各個媒體
現年89歲的
阿蒂亞爵士
菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主
聲明證明了一個久負盛名的猜想——
黎曼猜想
在德國海德堡舉行的第6屆海德堡國際數學與計算機科學獲獎者論壇上
，邁克爾·阿蒂亞就黎曼猜想發表了論述。在這場全球矚目的黎曼猜想證明演講之後，現場聽眾報以10多秒的掌聲，之後就是提問
環節的持續1分鐘的
沉默
。what？這不是智者雲集的學術大會嗎？老師提問，滿場靜默，這不是高中課堂嗎？
而打破沉默的確實一個這樣的問題↓↓↓↓↓
其實，阿蒂亞爵士的證明是否靠譜
還有待數學界的確定
但是作為數學界最重要的猜想
黎曼猜想究竟有何神奇之處
竟讓如此多的數學家為此痴迷和魂牽夢繞
黎曼猜想
到底說了什麼？
又對世界有怎樣的
意義
「黎曼猜想」是講啥的？
簡單來說，『黎曼猜想』是關於
素數
（又叫質數）的問題，是為了研究素數分布規律
。
素數是什麼？
一個大於1的自然數，除了1和它自身外，不能整除其他自然數的數叫做
素數
。素數看似很遙遠，其實在我們的日常生活中，很多加密
場景就利用了素數。
素數有
很奇怪的分布規律
，小於20的素數有多少個？答案是有8個：2、3、5、7、11、13、17和19。小於1000的素數有多少個？小於100萬呢？小於10億的呢？觀察素數表，你會發現素數數目是下降的，它們越來越稀疏。
越到後面，素數的尋找越發艱難
。
於是，聰明的數學家們將素數應用在
密碼學
上，因為人類還沒有發現素數的規律，以它作密鑰進行加密的話，破解者必須要進行大量運算，即使用最快的電子計算機，也會因求素數的過程時間太長而失去了破解的意義
。
素 數 加 密
現在普遍使用於各大銀行的是RSA公鑰加密演算法 ，基於一個十分簡單的素數事實：將兩個大素數相乘十分容易，但是想要對其乘積進行
因式分解
卻極其困難，因此可以將乘積公開
作為加密密鑰。
一旦黎曼猜想得證，那麼基於大素數分解的非對稱加密演算法
可能
就走到了盡頭，私鑰加密、簽名也就失去了意義。
通往「素數」的征途
人們對素數的興趣可以追溯到古希臘時期，歐幾里得用反證法證明了
自然數中存在著無窮多個素數
，但是對素數的分布規律卻毫無頭緒。1737年，瑞士的天才數學家
歐拉
（Euler）發表了歐拉乘積公式。在這個公式中，如鬼魅隨性的素數不再肆意妄為，終於向人們展示出了其循規蹈矩的一面。沿著歐拉開闢的這一戰場，數學王子
高斯
（Gauss）和另一位數學大師勒讓德（Legendre）深入研究了素數的分布規律，終於各自獨立提出了石破天驚的素數定理
。這一定理給出了素數在整個自然數中的
大致分布概率
，且和實際計算符合度很高。
素數定理
從不大於n的自然數中隨機選一個，它是素數的概率
大約
是1/ln n。
「大神」黎曼出場
黎曼在很年輕的時候就寫了一篇牛逼哄哄的論文，題目叫《論小於已知數的素數的個數》，翻譯成人話就是：素數是怎麼分布的。
這篇論文里，黎曼提出了一個函數，被後世稱為
黎曼ζ函數（ζ，讀音Zeta）
。黎曼認為，素數的分布奧秘與這個複雜的函數密切相關。這個複雜的函數長得像
下面這個樣子↓↓↓↓
而黎曼猜想，討論的就是這個
函數的零點的分布情況
。啥是函數的零點？一般說來，就是函數圖像中，y軸為0的那個點，比如下面就是某一個函數的零點
↓↓↓↓↓↓↓
zeta函數通俗理解
1
zeta函數的簡單示意
其實這個zeta函數
不是
看上去
求和
那麼
簡單
，你可以理解成一個
複函數
，可以把它理解為有兩個變數的函數，一個叫實部，一個叫虛部。寫成熟悉的函數樣子的話，那就是
y = f (實, 虛)
。
我們要研究的，就是上面這個函數的零點，因為這個函數有兩部分自變數，實部變數和虛部變數，主要糾結點就在這個虛部變數是否為0.
2
zeta函數
虛部為0
——
平凡零點這個函數雖然長得有點複雜，但是假如我們先不管虛部，強制讓
虛部=0
，那就是一個很普通的函數 y = f』 (實) 了。這個函數長啥樣呢？下圖的是它的一部分。你會發現它有一個明顯特點：當實部=-2、-4、-6、-8、-10……等等的時候，這個函數都和x軸相交。換言之，它的
函數值在這些時候都是0，也就是
零點
。
當然，這些點太顯然了，很沒意思，用數學家的話說就是這都是「平凡」的解。也就是黎曼猜想中的
平凡零點
。
3
zeta函數
虛部不為0
——非
平凡零點我們剛才只考慮了虛部=0的情況。如果允許虛部隨便取，那要怎樣才能讓函數值取0呢？
這就是黎曼的猜想了：為了讓函數值取0，不管虛部多大，
實部都是1/2。
因此
zeta函數的零點分布情況
，應該是下面這個圖的樣子。
換句話說，黎曼猜想的全部內容可以表述成，「黎曼zeta函數的零點要麼是
負偶數
，要麼是實部為1/2的複數。
」黎曼猜想里，他對非平凡零點的分布用詞十分謹慎，他認為很
可能
所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。
巧合還是真理？
可惜黎曼的論文中並沒有把他的猜想都寫出來，就撒手人寰，把這個問題就拋給了後面的數學家。之後幾百年，讓無數的數學家們為之糾結不已，糾結到什麼程度呢？
有人問德國數學家
希爾伯特
，如果能穿越到500年後，醒來他最想問的問題是什麼？他的答案就是：黎曼猜想被證明還是證偽了？
一次次的接近
事情在黎曼提出猜想
44年
後有了轉機，丹麥數學家格拉姆給出了前15個零點的計算結果。
又過了
22年
，英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德
，兩人合力算出前138個零點，這基本是人類計算的極限了！讓人興奮的是，這138個零點，無一例外，
全部符合黎曼猜想
。後來一直到了1932年，另一位德國數學家西格爾，在黎曼夫人從火中搶救出來的一部分黎曼手稿中，破譯出了黎曼當年計算非平凡點的計算方法，為了表彰西格爾的貢獻，這個公式被稱為
黎曼——西格爾
公式。
在這四年之後，人們便成功的計算出了前1041個零點，
正如所料，他們都在臨界線上
。隨後圖靈曾野心勃勃地試圖通過機器計算找到黎曼猜想的反例，結果以失敗告終。不過計算機的引入時的零點計算在1969年爆髮式增長到了3500000個。
零點賭局
在零點計算中還曾出現過一個賭局，這件賭局事關兩瓶總價高達
70萬元的波爾多葡萄酒
。賭局的雙方是德國普朗克研究所的查基爾和義大利數學家邦別里。
查基爾
認為區區三百五十萬個零點對黎曼猜想來說等同於是零證據
，畢竟他認為黎曼猜想的反例零點不可能出現在這麼靠前的位置，他認為起碼要計算到300000000（三億）個左右。而邦別里
認為不在臨界線上的零點是不可接受的，所以黎曼猜想一定得成立。
由於雙方沒有自信能在有生之年看到黎曼猜想的證明或證否，所以他們便賭在這前三億個零點中，定下的賭注便是
兩瓶波爾多
。
這個賭局過了幾年之後，
荷蘭的學家們就把非臨界點計算到了三億個，這三億個零點全部滿足黎曼猜想，從而讓查基爾輸掉了賭局。
由於在計算中花掉了整整一千個小時的CPU時間，而當時的計算機收費是七百美元一小時，所以這兩瓶酒的價值可以看做直接飆升至
70萬美元
。零點現狀
數學家哈代（Hardy，1877年-1947年），他證明了黎曼Zeta函數的零點的臨界線，這是針對黎曼猜想的一個重大突破
英國數學家哈代首先證明Zeta函數的零點有
無窮多個
都位於實部是0.5的直線上。這是一個無比震驚的重大突破。在此之前，人們甚至不知道零點的個數是否有限，而哈代的結果則是直接告訴人們，零點的個數不僅是無窮的，而且還有無窮多個零點都位於這條臨界線上。隨後，挪威數學家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點個數佔全部非平凡零點個數的
比例大於零
，這意味著臨界線上的零點在全部零點的分布中舉足輕重。
進一步，美國數學家萊文森（Levinson）引入了獨特的方法，證明臨界線的零點佔全部零點的
比例達到了34.74%
。基於萊文森的技巧，美國數學家康瑞（Conrey）在1989年把
比例推進到了40%
，這也是迄今為止得到的最好結果。
進入2001年，德國IBM實驗室開啟了一個叫做Zeta Grid的計劃建立起來遠勝於以往的計算系統。任何人只要下載一個軟體包就可以讓自己的機器加入Zeta Grid，這樣大量的計算工作通過網路發散到了大量計算機上。
到2004年這一系統貢獻的零點數量了850000000000（八千五百億個）並以每天近十億個的速度增長。最後這個項目在2005年以超過10000000000000（十萬億）的成績畫下句號。
黎曼猜想的未來
十萬億個飽含著激情和努力的證據再次堅定了人們對黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函數畢竟有無窮多個零點，十萬億和無窮大比起來，仍然只是滄海一粟。
但是當今數學文獻中有1，000條以上的數學命題是以黎曼猜想或其推廣形式的成立為前提的。因此，黎曼猜想及其推廣形式一旦被證明，數學中將史無前例地於「一夜間」
新增1，000多條定理
，這將對數學的面貌產生非同小可的影響。所有直接間接用到那些命題的領域也將程度不等地受到影響。
黎曼猜想是否如阿蒂亞爵士所說
已經被證明，
也許很快會有別的數學家推翻這一證明
也許人類真的已經看到了黎曼猜想的真諦
也許黎曼猜想的未來
需要正在看科普說的你來探究！
（本文綜合來源於網路）
▼
往期精彩回顧
▼
地球很大嗎？在宇宙中還真不算大！
為什麼蚊子永遠不會被雨砸死？
高鐵二等座為啥沒有E？
※綠蘿、活性炭除甲醛？！
※「網紅」機器人！科學實驗秀！天津科普嘉年華活動預告第二彈！
TAG:天津科普說 |