安倍晉三從東京穿越地洞到里約花了多少時間？
在里約奧運會的閉幕式上，發生了驚人的一幕：
一貫堅持「釣魚島是日本的」的日本首相安倍晉三突然以一身「馬里奧」的形象亮相，歡迎大家去日本東京參加2020年奧運會，這引發輿論關注。
具體情況是這樣的：
直播畫面顯示，安倍晉三是從地洞里鑽出來的。（因為從東京到里約坐飛機需要差不多30個小時，作為首相他是很忙的，而走地洞大概只需要42分鐘。）
創意真的很不錯哦。其實在物理上我們可以證明，一個理想化的地球是沒有自轉的均勻完美球體，如果假設地球內部的密度是均勻的，如果在地球上面挖出一個貫穿地心的真空直洞，連接兩個相對的對跖點（就是這2點的連線通過球心），那麼人在地心隧道裡面墜落就只受重力。這樣的情況下，只靠重力穿過地球的單程旅行時間是42分鐘。
但是，問題來了，東京與里約的連線並不通過地心，這個隧道其實是一條弦而不是一條直徑。看起來路程短了一些，引力的情況也有所變化。
見上圖中的A東京，B里約之間的隧道不通過地心（球心），請問安倍晉三從東京穿越地洞到里約到底花了多少時間？
這是一個有趣的問題，但對會寫微分方程的讀者來說，應該也不難。筆者用微分方程寫了一下，發現雖然A東京，B里約之間的隧道並不通過地心，但引力在隧道AB方向的投影還是可以計算的。這裡面的計算技巧就是「力的分解」，相信很多讀者在高中一年級的時候是學過的：
通過力的分解，我們只考慮在A東京，B里約的連線上引力分力作用，就可以計算出安倍晉三沿著隧道AB方向的加速度。這個加速度a的大小是：
a = G · ρ · 4/3 · π · x
其中x是安倍晉三離開平衡點的位移，ρ是地球的質量密度，G 是牛頓萬有引力常數。
而且，安倍晉三的運動微分方程依然滿足頻率為ω的簡諧振動方程。
而最關鍵的點在於ω = sqrt( 4/3 · πGρ )與x無關，也就是說，這個角頻率是一個常數，而它的倒數刻畫了運動的周期。因此，雖然A東京，B里約之間的隧道不通過地心（球心），但安倍晉三從東京穿越地洞到里約還是花了42分鐘。
這件事情其實與400年前伽利略在教堂觀察到的單擺的等時性是一樣的：
從這個意義上來說，如果你想得極為深遠，你可以把地球上A東京，B里約的距離做一個標度變化（就好像吹氣球一樣把地球吹大，吹得象木星那樣大也可以，前提是要保持地球的密度不變），那麼安倍晉三從東京穿越地洞到里約依然是42分鐘。我們可以這樣說，42分鐘這個時間具有「標度不變性」，這是一個極高的對稱性。
在這個意義上來說，我們要感謝安倍晉三，他給我們上了生動的一課。當然，我們應該明確，馬里奧安倍是日本的，釣魚島是中國的。
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