對昨日文章的說明

昨天在本公眾號發布的瘋狂的數學1： 全體正整數之和為負數！一文引發了讀者朋友的熱烈討論，好些朋友在留言區提出了不同的觀點，留下了許多爭議。編者也認識到昨天那篇文章的一些表述（包括作者本人的表述以及我寫的導讀）存在問題，因此今天特作以下補充說明。

「全體正整數之和為負數」只是一個吸引眼球的標題，但給讀者造成了極大的誤導，這是最致命的硬傷。本質上說，全文在努力證明的歐拉公式，是說Riemann 的zeta 函數ζ(s) 在s=-1的取值等於 -1/12.

2. Riemann的zeta函數，在 s 的實部大於1時，有熟知的表達式

注意，右邊的無窮級數僅僅在s 的實部大於1時收斂。例如，歐拉的一個傑出成就，是確立了ζ(s) 在s=2，4, 6， 8 的取值（當然，當時還未有zeta函數的提法）。對s=2，其結果可以表述為（昨天的文章說錯了，可能是排版的失誤，抱歉）：

3. 當s 的實部小於等於1時， (1)右邊的無窮級數發散，因此右邊沒有意義。例如，當s=1時，我們得到，調和級數

是發散的；同樣的，當s=-1時，我們在標題里所寫的無窮和

也是發散的. 在這個意義下，我們說 「全部正整數之和等於負數」是絕對錯誤的！

4. 那麼歐拉公式到底對不對呢？是這樣，歐拉公式需要重新改寫（理解）才成立。如何理解？這就需要用到複分析裡頭的一個概念：解析開拓。

5. 在複平面內， 現在只對實部大於1的複數 s=x+iy 定義了ζ(s) 的值，即通過(1)來定義。這樣定義出的ζ(s) 在x=1的右半平面內是一個解析函數，通過解析開拓，可以將它擴張（根據解析函數的剛性性質，這個擴張是唯一的）為整個平面內（除掉s=1這一點)的一個解析函數。為了方便起見，這個開拓之後的函數，然而記為ζ(s)，這個才是真正的zeta函數。

6. 有了這個定義在全平面的ζ(s)，就可以說清楚歐拉公式了。歐拉公式本質上，是說

只是要注意，這個ζ(s)在x=1的左半平面的解析表達式，不再是(1)。因此，歐拉公式的左邊並不是（4）所代表的那個發散的級數.

7. 那麼，在不清楚ζ(s)在x=1的左半平面的解析表達式的情況下，如何來求出ζ(-1)的值呢？ 答案是，引入一個輔助函數，叫Dirichlet eta 函數

這個eta函數在 s 的實部大於0（即右半平面）時收斂，並且在右半平面確立一個解析函數。例如，從微積分你應該知道η(1)=ln2.

8. eta函數與 zeta函數滿足一個關係：當s的實部大於1時，不難推出

9. 我們現在關心的是ζ(-1)的值，為此我們將eta 函數也解析開拓到全平面，巧的是，對於eta 函數的解析開拓很容易，因為可以採用Abel求和，即我們只需要如下定義 eta 函數在 s處的值

10. 例如，根據這個定義，不難求出

以及我們最關心的

11. 注意(7)原本只對 x=1的右半平面成立，但是，當eta函數和zeta函數都解析開拓為全平面的函數以後，它對一切s(除去s=1)都成立。這是解析函數的剛性（唯一性）。因此，在 (7)中令 s=-1， 我們就得到

再將（10）式的結果η(?1) =1?4代入上式，化簡就有

此即歐拉公式(5)。

12. 整個推理過程中，唯一的難點，是zeta 函數和eta 函數的解析開拓，特別是前者是如何做到的（後者如何開拓這裡已經給出具體構造了）。對此，有興趣的讀者，就不得不深入學習複分析。這裡推薦一本書，普林斯頓大學數學家E. Stein與人合寫的本科生分析教材，第二本《複分析》第6章和第7章介紹了zeta函數及其與數論的關係。

順便說一句，Stein的《複分析》雖然有中譯本，但恕我直言，翻譯得不好（不難看出，譯者的複分析沒學好），建議大家直接看英文影印版。

13. 歐拉公式教導我們：當你看到一個局部定義的解析函數時，可以嘗試將它解析開拓。例如，zeta 函數在 x=1右側是一個解析函數，那麼你可以試試看它能夠開拓為全平面的解析函數？ 歐拉公式之美，在於通過解析開拓，對一個從字面上看沒有意義的、發散表達式——即(4)的右邊，可以賦予一個確定的值——即ζ(-1)。

聖經說：

要使生命有意義，你需要歷經磨難。

小編照著說：

要使解析函數有意義，你需要解析開拓。

14. 打個比方，不用解析開拓，你只能看到白天，用了解析開拓，你就可以看到黑夜。理解了歐拉公式（進一步，解析開拓）的美，就好比白天懂得了夜的黑。

感謝那姐，為解析開拓代言。

15. 本文沒有討論著名的黎曼猜想，我所了解的關於黎曼猜想的一本很好的讀物（2015年，劍橋大學出版）在此，作者之一Mazur是哈佛大學的數論大家，有興趣的讀者可以網上下載閱讀。說明完畢！

PS. 留言區有些朋友說我態度不是很好，很抱歉，我一向喜歡直截了當。我也提醒各位留言的朋友，這只是一個數學交流平台，不要把自身的問題（比如根本不知道解析開拓的概念就胡亂點評）帶到留言區。如果你自己沒有理解到，你又想理解，總有辦法，請你謙虛一點、收斂一點。也請大家認識到，當我們涉及具體的數學（不論它是作為一門藝術還是科學）時，確實是有門檻的。你要不要努力跳進來，是你個人的事情，我們並沒有義務和責任幫忙。

昨天我在標題的選取和導讀的介紹上犯了大錯，誤導了大家理解文章，謹在此向大家道歉，對不起，我沒想好，我沒做好。

——西北農林科技大學 理學院 林開亮

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