獨家專訪黎曼猜想「證明者」Atiyah：這不可能是一個巧合

9 月 24 日的海森堡論壇備受矚目，因為著名數學家 Michael Francis Atiyah 爵士在會議上公開了他「證明黎曼猜想」的方法。證明過程只有短短 45 分鐘，而最精華的部分僅有一頁 ppt。這與 Atiyah 爵士在會前的摘要描述相符：用一個十分簡單的過程對黎曼猜想進行證明。

圖 | 證明黎曼猜想最重要的一頁 ppt

但是，即使到了會後，學界對這次證明過程依然存疑。對於證明過程，DT 君也有一些好奇的地方。證明過程中所提到的 Todd 函數十分有趣，該函數正是由 Atiyah 爵士的導師一手開創的，而 Todd 函數在 Atiyah 爵士的黎曼猜想證明過程中具有十分重要的地位。

此外，Atiyah 爵士在證明過程中提到的精細結構常數也是物理學界的一大未解之謎。雖然精細結構常數可以通過測量獲得數值，但關於為什麼精細結構常數的數值是 1/137，學界仍未獲得答案。而此次 Atiyah 爵士證明黎曼猜想的過程中，也提到了對精細結構常數推導的相關內容，並且 Atiyah 爵士在會上表示，解釋精細結構常數是重頭戲，而證明黎曼猜想是意外之喜（bonus）！

對於這些問題，DT君向 Atiyah 爵士提問，並獲得了爵士的一些回答。

Q：我們了解到您關於精細結構常數的論文已投至 Journal Proceedings of the Royal Society A 雜誌，論文中提到一些與證明黎曼猜想相關的重要內容。您認為您的文章將在什麼時候發表？

我希望我的論文在 2018 年就發表。

Q：您在證明過程中提到了 Todd 函數。您是否可以對 Todd 函數的結構和特徵進行解釋？

Todd 函數是由偉大的德國數學家 Friedrich Hirzebruch 發揚光大的。對這一函數目前有許多解釋。其中最基礎的是，Todd 函數衡量了四元數的非交換性，同時 Todd 函數也與物理學中的重整化有關。

Q：Todd 函數和黎曼 zeta 函數之間有怎樣的聯繫？

這兩個函數之間並沒有直接的聯繫，但它們都屬於一類函數，我把這類函數稱為弱解析函數（weakly analytic functions）。通過 Todd 函數我們可以將黎曼 zeta 函數轉換成一個更簡單的方程並利用它證明黎曼猜想。

Q：精細結構常數和黎曼 zeta 函數之間是怎樣的關係？

第一張圖：zeta 函數需要乘以一個係數才能滿足一些泛函方程，而這也是與質數有關聯的地方。對於黎曼 zeta 函數來說，這個係數就是 π。那麼如果我們用四元數來取代複數（黎曼猜想中涉及到了複平面的解析延拓），這個係數就正好是精細結構常數。而 Todd 函數就正好將這個係數從 π 變到了精細結構常數，對物理學家來說，這是經典情況的量子類比。

Q：精細結構常數真的是一個定值嗎？它是否會隨時間變化？

精細結構常數 α 是從理想環境中假定的常數，也就是說在不考慮物理環境背景的情況下。這時 α 就是一個純數學結構，和 π 類似。π 是不會變的。當然物理環境是可能變化的。例如在地球的實驗室里，兩個電子之間的引力與電磁相互作用相比實在太弱，可以忽略不計。但如果我們來到黑洞附近，引力比電磁相互作用就大得多了。

但 α 僅僅與電子的電磁自相互作用有關，因此數值不會變化。但精細結構常數還有一個「兄弟」，與萬有引力常數 G 有關，而這一組合 又是一組新的純數學結構。我計劃在另一篇論文中解釋這件事，文中會用到八元數，以及一些基於愛因斯坦、狄拉克和羅傑·彭羅斯爵士的想法。

Q：您對 Todd 函數的評價是怎樣的？是否 Todd 函數還可以用作其他猜想的證明工具?

是的。我認為 Todd 函數是打開許多大門的金鑰匙，我期待著用 Todd 函數解決許多著名的問題。

Q：您什麼時候開始考慮證明黎曼猜想？是什麼事情激發了您？

我在幾年前就對證明黎曼猜想有一個模糊的想法，但我並不是一個數理論專家。在過去一年左右我一直專註於嘗試理解精細結構常數，這一常數是研究電子的基礎。最終我在 2018 年夏季里約熱內盧的國際數學家大會上講到了這一點。會後從里約熱內盧到法蘭克福的飛機上，我意識到理解電子可以直接聯繫到證明黎曼猜想。

我最開始被這一想法震驚了，但在進一步思考後，我理解了為什麼電子可以直接聯繫到黎曼猜想。電子是基本粒子，而有理數定義了基本域。在英語中代數的數域與物理的場用的是同一個單詞「 field 」，這是一個令人開心的巧合。對精細結構常數的最好定義是，它是電子與自己交談的聲音（it is the sound of the electron talking to itself）。用不那麼詩意的語言來說，電子就是在電磁場的自我相互作用的帶電粒子。但自證一般都很難證明，並且這個課題還充斥著無窮和邏輯陷阱。

Q：如您在會議中提到，目前完全證明黎曼猜想還需要更多工作。那麼，您在此次研究主要在證明黎曼猜想中作出哪些貢獻？

黎曼猜想中有許多推廣，因此證明黎曼猜想將提高我們對不同質數分布的理解。我的證明可以很容易的擴展到這其中的任意一個推廣，但這裡可能還存在與哥德爾不完備定理類似的複雜哲學議題。也許這些更深的問題需要年輕數學家進一步探索。

Q：如果您最終未能獲得千禧年大獎難題的獎金，您是否還會繼續探索其他問題？

我並不缺錢，我研究數學只是因為我熱愛數學，而因研究獲得的錢我還將進一步用於探索更多的數學問題上。但我可以肯定的是，我還將挑戰另外的千禧年大獎難題，我希望我還能持續獲得新的想法。

最後，DT 君還是大膽的問出了最讓人費解的問題：「您所提到的 π 轉化成精細結構常數的部分，這是否可能只是一個巧合？您如何確定結論中的物理意義？」

Atiyah 對此回應說：「不，這不可能是一個巧合。我的證明方法是依賴於數學理論的，這並不是什麼數秘術。這就像阿基米德的 π，或歐拉的 eiπ。數學是物理學的理想化，並在物理學有許多應用。我的工作與其他數學的應用研究沒有什麼不同，只是這一應用是在非常基礎層面上的。」

值得注意的是，在 Atiyah 爵士的海森堡論壇演講中，也提到了對未來學者的一些期望。他希望未來年輕科學家能夠判斷黎曼猜想中的哪些方面是可以完成的，一旦做出決定就無悔地去探索。

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