這個數學猜想流傳了大半個世紀，世上卻沒有任何關於它的文字資料

知識 10-15

（本文摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，吳大猷科普金簽獎、2014中國好書獲獎作者盧昌海力作。中文網路上流布至廣的數學科普。著名數學家王元院士作序推薦）

那麼在 Riemann ζ 函數非平凡零點這樣的純數學客體與由隨機矩陣理論所描述的純物理現象之間為什麼會出現像 Montgomery-Odlyzko 定律那樣的關聯呢？

很遺憾，這是一個我們至今也未能完全理解的謎團。不過有意思的是，雖然在與 Montgomery 論文的發表已相隔幾十年的今天我們仍未能徹底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本質，可是遠在 Montgomery 的論文發表之前六十餘年前的二十世紀一、二十年代，數學界就曾經流傳過一個與 Montgomery-Odlyzko 定律極有淵源的猜想，這個猜想也是用兩個人的名字命名的，叫做 Hilbert-Pólya 猜想 (Hilbert-Pólya conjecture)，它的內容是這樣的：

Hilbert-Pólya 猜想： Riemann ζ 函數的非平凡零點與某個厄密算符的本徵值相對應。

George Pólya

當然，確切地講， Hilbert-Pólya 猜想指的是：如果把 Riemann ζ 函數的非平凡零點寫成 ρ=1/2+it 的形式，則那些 t 與某個厄密算符的本徵值一一對應。我們知道，厄密算符的本徵值全都是實數。因此如果那些 t 與某個厄密算符的本徵值相對應，則它們必定全都是實數，從而意味著所有非平凡零點 ρ=1/2+it 的實部都等於 1/2，這正是 Riemann 猜想的內容。因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立，則 Riemann 猜想也必定成立。

我們在上節中提到， Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函數非平凡零點的分布可以用任何一個典型隨機厄密矩陣的本徵值分布來描述。這種描述雖然奇妙，終究只是統計意義上的描述。但如果 Hilbert-Pólya 猜想成立，則 Riemann ζ 函數的非平凡零點乾脆就直接與某個厄密矩陣的本徵值一一對應了。這是嚴格意義上的對應，有了這種對應，統計意義上的對應自然就不在話下。因此 Hilbert-Pólya 猜想雖然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十餘年，卻是一個比 Montgomery-Odlyzko 定律更強的命題！

歷史真是富有戲劇性，從二十世紀早期開始流傳的 Hilbert-Pólya 猜想居然在無形之中與半個多世紀之後才出現的 Montgomery-Odlyzko 定律做了跨越時間的遙遠呼應。

但這一呼應實在是太遙遠了， Montgomery 的論文尚且因為缺乏證據而遭到冷場， Hilbert-Pólya 猜想自然就更無人問津了。這種冷落是如此徹底，以至於當 Montgomery 的論文及後續研究重新燃起人們對 Hilbert-Pólya 猜想的興趣，並開始追溯它的起源時，大家驚訝地發現不僅 Hilbert 和 George Pólya (1887-1985) 兩人不曾在人們找尋得到的任何發表物或手稿之中留下過一絲一毫有關 Hilbert-Pólya 猜想的內容。而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何與這一猜想有關的敘述。一個隱約流傳了大半個世紀的數學猜想竟似乎沒有落下過半點文字記錄，卻一直流傳了下來，真是一個奇蹟！

但 Odlyzko 執著地想要探尋這一奇蹟的起點。那時候 Hilbert 早已去世， Pólya 卻還健在。 1981 年 12 月 8 日， Odlyzko 給 Pólya 發去了一封信，詢問 Hilbert-Pólya 猜想的來龍去脈。當時 Pólya 已是九十四歲的高齡，卧病在床，基本不再執筆回複信件了，但 Odlyzko 的信卻很及時地得到了他的親筆回復。畢竟，對一位數學家來說，自己的名字能夠與偉大的 Hilbert 出現在同一個猜想中是一種巨大的榮耀。 Pólya 在回信中這樣寫道：

很感謝你 12 月 8 日的來信。我只能敘述一下自己的經歷。

1914 年初之前的兩年里我在 G?ttingen。我打算向 Landau 學習解析數論。有一天他問我：「你學過一些物理，你知道任何物理上的原因使 Riemann 猜想必須成立嗎？」我回答說，如果 ξ 函數的非平凡零點與某個物理問題存在這樣一種關聯，使得 Riemann 猜想等價於該物理問題中所有本徵值都是實數這一事實，那麼 Riemann 猜想就必須成立。

三年後 (1985 年) Pólya 也離開了人世，他給 Odlyzko 的這封回信便成了迄今所知有關 Hilbert-Pólya 猜想的唯一文字記錄。至於早已去世的 Hilbert 在什麼場合下提出過類似的想法，則也許將成為數學史上一個永遠的謎團了。

摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，吳大猷科普金簽獎、2014中國好書獲獎作者盧昌海力作。中文網路上流布至廣的數學科普。著名數學家王元院士作序推薦。