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縱橫世間358年 令無數大咖折戟的費馬猜想讓他破解了


  來源:中國科普博覽


  懷爾斯:「我想就在這裡結束」


  1993 年6 月23 日,英國劍橋大學。

  這是英國數學家安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)在牛頓研究所做的系列演講的最後一場。演講廳里擠滿了愈200 名數學家。台下只有四分之一的人能看懂懷爾斯在黑板上寫下的公式和推理,其餘人則是為了見證一個可能是20世紀最偉大的數學定理的誕生。


  一周以前,數學界已經開始廣為流傳,這次演講將解決一個困擾數學家超過三個世紀的重大難題:費馬猜想。不少人正是聽說這一傳聞,從各地蜂擁而至,只為見證這一偉大歷史時刻的誕生。


  懷爾斯在黑板上不緊不慢地寫下一行行演算式,隨著計算的推進,台下的人開始變得不安。他們屏住呼吸,焦急地等待著最後時刻的到來。終於,懷爾斯在飛速地寫完最後幾行證明後,轉過身來。他努力抑制住心中的激動,用略帶顫抖的聲音說:「我想,我就在這裡結束」。


數學家安德魯·懷爾斯(圖片來源: 百度圖片)

數學家安德魯·懷爾斯(圖片來源: 百度圖片)


  演講廳里的所有人都不約而同地站了起來,一時間大廳里掌聲雷動,閃光燈頻頻亮起。在場的人都無比激動,他們相信,隨著懷爾斯證明的塵埃落定,歷史上最精彩的難題-費馬猜想終於得到了解決。一夜之間,懷爾斯成了世界上最著名的數學家。許多大學都舉行了遊行和狂歡,在芝加哥甚至出動了警察上街維持秩序。


  費馬猜想,一個看起來無比簡單的問題,從提出它的那一刻起,在350 年的歲月里,它吸引了歷史上眾多數學家的目光,卻也讓這些曾經最傑出的大腦們苦惱和沮喪。費馬猜想,就是一座屹立在數學家心目中的珠穆朗瑪峰。費馬、萊布尼茨、歐拉、高斯、勒讓德、狄利克雷、拉梅、勒貝格、庫默爾、哥德爾、谷山豐、志村五郎、法爾廷斯等等歷史上最豪華的明星陣容陸續登場。遺憾的,他們都沒能找到登山的途徑。後人只能在前人搭建的山間營地里繼續著攀登的偉業。無人能知道,征服費馬猜想,究竟是一個人們必將能衝破千難萬阻抵達的夢想,還是無數人心中凝結出的海市蜃樓那樣遙不可及。


  歷史終於給出了答案。它選擇了懷爾斯作為最幸運的寵兒。然而,人們不知道的是,懷爾斯為了這一天,已經足足等待了30年。


  1963 年,年僅10 歲的懷爾斯已經對數學產生了濃厚的興趣。有一天,小懷爾斯在彌爾頓的圖書館裡意外看到了一本書。這本書里敘述了一個重大數學問題的歷史。這是一個不定方程的求解問題。它簡單到能讓一個10 歲的小學生都能看懂,卻讓歷史上一個又一個大數學家望而生畏。年少的懷爾斯產生了巨大的困惑和不解,也許是初生牛犢不怕虎,他開始下定決心:一定要解決它!這個問題就是大名鼎鼎的費馬大定理。

  費馬大定理


  問題的根子要從古希臘去尋找源頭。


  公元前500年前後,古希臘畢達哥拉斯學派宰殺百牛歡宴,慶祝畢達哥拉斯定理的發現:直角三角形中,兩直角邊的平方之和等於斜邊的平方,這就是中國古代即被發現的勾股定理。事實上,公元前12 世紀我國《周髀算經》就曾提出過「勾三股四弦五」。


費馬(圖片來源:百度圖片)

費馬(圖片來源:百度圖片)

  兩千一百多年後的1637年,法國的大法官兼業餘數學家費馬在無意之間被古希臘數學家丟番圖《算術》中描述的畢達哥拉斯的工作所吸引,他突發奇想,能否找一個畢達哥拉斯方程變異的不定方程的解。原始的畢達哥拉斯方程可以表達為尋找方程「(x^2)+(y^2)=(z^2)」的整數解。費馬提出,如果把冪次提高,比如方程「(x^3)+(y^3)=(z^3)」直至「(x^n)+(y^n)=(z^n)」能否找到正整數解?


  費馬隨即在《算術》的書中做了批註:「將一個立方數分為兩個立方數,一個四次冪分為兩個四次冪,或者一般地將高於二次的冪分為兩個同次的冪,這是不可能的。關於此,我確信已發現一種奇妙的證法,可惜這裡的空白地方太小,寫不下。」


圖片來源:http://tech.qq.com/)

圖片來源:http://tech.qq.com/)

  可惜,人們看到這句批註的時候是在1670 年。此時距離費馬病逝已經過去了5 年。他的長子在整理費馬的遺物時發現了父親的註記和信件,並把這些註記發表了出來。


  費馬的評註很快流傳開來,人們在他的批註中發現了許多奇妙的思想和發現。遺憾的是,很多想法並沒有嚴格的證明,只有略微的邏輯思考的痕迹。鑒於費馬生前酷愛數學,在數學界也享有一定的名聲。人們認為費馬的批註雖然缺乏嚴格的邏輯論證,但仍然有許多可取的閃光點。不少人甚至開始著手為費馬的一些論斷做出嚴格的證明。


  費馬聲稱:對於他的每一個評註都有一個對應的證明,但是他卻對給出證明細節表現得十分吝嗇。為此,後人不斷不花大量時間去補全那些遺失的邏輯。這方面一個突出的例子就是,18世紀最偉大的數學家歐拉就曾經花費7年時間去證明費馬關於素數的一個精妙評註。


數學家歐拉(圖片來源:百度圖片)

數學家歐拉(圖片來源:百度圖片)


  19 世紀初,費馬遺留的其他問題均告解決,只剩一個問題懸而未解。該問題的簡單表述就是:


  對於一般的大於2 的自然數n,方程「x 的n 次方+y的n 次方=z的n 次方」沒有正整數解。


  這個問題於是被稱為「費馬最後定理(Fermat『s Last Theorem)」。


  三百多年的時光飛逝而過。三個多世紀以來,歷史上最優秀的數學家都曾試圖證明它,卻無一例外品嘗到了屈辱和挫敗,懊惱和無奈。這也讓費馬大定理成為數學中最令人費解的問題而聲名遠播。


  從費馬定理的形式上來看,對它的證明似乎並不能給數學帶來更深刻的結論,也不能引導人們對數字產生更深的認識,更遑論推動數學整個學科的發展。解決它,似乎就是解決一個數字遊戲。對它的痴迷,漸漸地轉化為數學家的一種執念和挑戰。前有費馬充滿挑釁的言辭,在輕描淡寫間就能解決如此困難的問題,似乎在向世人炫耀著他無與倫比的才華。後有無數數學大家的加入,卻鎩羽而歸,更是為這個問題增加了傳奇色彩。


  一個表述如此簡單的問題,卻以如此巨大的困難阻撓著人類最傑出的大腦。到了20世紀,數學的發展更是讓人出乎意料。人們發現,一些問題居然根本就沒有解決的可能。換句話說,人們已經嚴格證明,存在一些數學問題,人們永遠也無法證明其真實性與否。著名的「連續統假設」就是這樣一個令人匪夷所思的問題。


  到了20世紀末期,不少悲觀的數學家已經開始懷疑:費馬定理和哥德巴赫猜想可能都屬於那類,人們即無法證明其正確,也無法證明其錯誤的問題。如果真是這樣,那費馬大定理就可能代表著人類文明的終點而無法逾越。


  幸運的是,從年少時就接觸到費馬大定理的懷爾斯在經過30年的精心準備後,終於向費馬大定理髮起了最後的衝刺。在劍橋的牛頓研究所,他相信自己已經實現了兒時的夢想。長達7年的孤寂時間裡,他把所有的精力都投入到費馬大定理的研究中。也許是他的執著感動了上天,這一刻,他終於迎來了自己的英雄時刻,並將與歷史上那些最偉大的名字一道前行。


劍橋大學(圖片來源:百度圖片)

劍橋大學(圖片來源:百度圖片)


  然而,正如已經抵達西天的唐僧,取經路上的艱險還要經歷最後殘酷的考驗才能得以圓滿。上天還要再一次給試圖征服費馬大定理的英雄設置巨大的障礙。一場讓懷爾斯幾乎滅頂的災難在牛頓研究所的歡呼聲中即將悄然襲來。


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