有這樣一個旅館，即使已經客滿，仍然可以繼續接收新客人

在這個信息化的時代，出差旅行而找不到住的地方的情況基本上是不存在的，因為如果你要去的地方已經訂不到酒店或旅館，那麼你會直接取消這次行程。但如果你是一名背包客，當你來到一個風景優美的小鎮，深深的被這裡的風土人情所感染，想要在這裡住下來，卻發現這個小鎮上的旅館已經全都客滿了，那一定萬分沮喪，更為要命的是，你今天晚上很可能就要露宿街頭了。不過，如果這個時候你突然發現一家這樣的旅館，雖然它已經客滿了，但是仍然卻可以繼續接收客人，而且接收多少都可以，那麼你一定是又驚喜又疑惑吧。

是的，的確是有這樣一家旅館，這家旅館的名字就叫做「希爾伯特無限旅館」。先來介紹一下希爾伯特，然後再來說說這個旅館，免得大家以為這個旅館是我編出來的，給我一頓炮轟。希爾伯特是德國著名的數學家，如果用當下流行的辭彙來說，希爾伯特絕對可以算得上是一個「現象級」的數學家。好了，現在讓我們回過頭來看看這個旅館吧。就如同名字寫的那樣，希爾伯特無限旅館是一家可以無限接收客人的旅館，即使旅館已經客滿，仍然不影響繼續接收新客人。如果你是那個找不到旅館的背包客，你一定會很好奇這是怎麼一回事。

希爾伯特無限旅館的原理是這樣的，在旅館客滿的情況下來了一位新客人，於是，旅館老闆就會讓這位客人住在一號房，然後讓原來住在一號房間里的客人移動到二號房，二號房移動到三號房，三號房移動到四號房，以此類推，這樣所有的客人便都有了住的房間。那麼為什麼不讓新來的客人住在最後一個房間，而非要這麼倒騰呢？因為無限旅館的房間數量是無限的，所以沒人能夠說清最後一個房間的房間號碼。以這樣的方式來接收新的客人的確可以讓所有的人都有房間住，但是等一等，有一個問題。

我們說了，這是一家無限旅館，而且永遠可以接收新的客人，那麼也就是說可以接收無限多的客人了。那麼假設現在真的來了無限多的客人，該怎麼辦呢？房間中的客人豈不是要永遠的移動下去，無法真正住下來？不用擔心，有辦法。我們只需要讓一號房間的客人移動到二號房間，讓二號房間的人移動到四號房間，讓三號房間的人移動到六號房間，簡單來講，就是讓所有房間的客人移動到他自己的房間號碼乘以2的房間之中，這樣你會發現，旅館瞬間空出了無限多的奇數房間，正好可以供無限多的旅客居住。

現在看來，無限旅館似乎已經沒有任何毛病了。現在唯一的問題是，這樣的旅館真的存在嗎？如果客觀條件滿足，這樣的旅館的確可以真實存在，只要我們擁有一個無限的空間。遺憾的是，地球的面積是有限的，就連宇宙都是有限的，雖然它可能在不斷膨脹，所以有限的空間是無法容納下一個無限旅館的，不過這沒有關係，記得嗎，這是希爾伯特無限旅館，也就是說這並不是悖論，這是一個數學問題，單純的數學問題，這個問題很好的解釋了有關無限集合的問題，在一個無限的集合之中，無論增減集合內部的元素都不會改變無限集合的性質。

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