萊布尼茨部分數學手稿探賾

徐傳勝 劉靖國

臨沂大學數學與統計學院

摘要：萊布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716) 是17世紀德國著名哲學家、數學家, 其博學多識、涉獵廣泛, 謂之「百科全書式人物」。在數學研究領域, 其把微分學和積分學緊密聯繫起來, 並創造了一系列優美數學符號。擬分析萊布尼茨部分數學手稿和相關著述, 探賾其數學思想的篳路藍縷之程, 感受數學大師的「思想魅力」和「火熱思考」, 以滋養我們的求真精神和求善心靈, 進而體會數學思維的生動性和辯證性。

關鍵詞：萊布尼茨; 數學思想; 微積分; 數學符號;

作者簡介：徐傳勝, 男, 山東聊城人, 博士, 臨沂大學教授, 從事近現代數學思想發展史研究。

原發期刊：西北大學學報 (自然科學版) 2018,48(05)

出於政治原因考慮, 漢諾威家族在德國哲學家、數學家萊布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716) 去世後就完整封存了其檔案。而在二戰期間, 希特勒 (Adolf Hitler, 1889—1945) 曾安排了一輛虎式坦克看守漢諾威萊布尼茨文獻館。故有關萊布尼茨的原始資料保存完好, 甚至現在還能找到其當年的病假條。1985年系統整理萊布尼茨文檔工作納入德國科學院計劃, 《萊布尼茨全集》正逐冊出版, 預計出版120卷。因商榷中文版《萊布尼茨全集》相關事宜, 本文第一作者有幸結識了德國柏林-勃蘭登堡科學院《萊布尼茨全集》編輯部主任李文潮先生, 並應邀參加了2017年中德萊布尼茨國際研究會 (作大會報告) , 獲得了一些第一手珍貴資料。本文擬在前人研究基礎上[1,2,3], 在哲學視野下以「為什麼微積分」為切入點, 分析萊布尼茨部分數學手稿中的創新數學思想, 探賾大師的「思想魅力」和「火熱思考」。

圖1 萊布尼茨微分學手稿Fig.1 A differential calculus manuscript of Leibniz

1 微分學之創新火花

1.1 洞察微分本質

在萊布尼茨眾多手跡中, 最令人嘆服的是其1673年11月11日 (可見, 1675年中的「5」後被改成「3」) 所寫數學手稿。其中給出了微分學基本思想:試把曲邊梯形分割成許多小矩形, 每個小矩形與曲線之間微小直角三角形兩邊分別是曲線上相鄰兩點的縱坐標和橫坐標之差。當這兩個差均無限減小時, 曲線上相鄰兩點則無限接近[4]。萊布尼茨用dx表示兩個相鄰x值之差, 用dy表示相鄰y值之差, 即曲線上相鄰兩點縱坐標之差, 並稱之「微差」。他認為dy和dx可任意小, 並構造出一個包含dx, dy的「特徵三角形」, 體現了「以直代曲」的創新思想。他寫道:橫坐標x的微分dx是個任意量, 而縱坐標y的微分dy則可定義為它與dx之比等於縱坐標與次切距之比。即

因y與次切距之比就是切線斜率, 故該定義與導數定義一致。但萊布尼茨未給出嚴格切線定義, 只是說「求切線就是畫一條連接曲線上距離為無窮小的兩點之間的直線。」用現代數學語言可表述為, 切線是割線的極限位置。

籍此, 1684年10月萊布尼茨在萊比錫《教師學報》 (Acta Eruditorum) 發表了論文《一種求極值和求切線的新方法, 亦能應用於分數和無理量情形及非尋常類型的有關計算》 (Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationals quantitates moratur, et singular pro illi calculi genus。簡記《新方法》) 。儘管全文只有6頁, 且理論尚不成熟, 論證也不太嚴謹, 但卻具有里程碑似的重要歷史意義, 因為這是數學史上第一篇正式發表的微分學文獻。此乃萊布尼茨對1673年以來其微分學研究的概括總結, 著重介紹了微分定義、運演算法則及曲線的極值、拐點等問題[5]。

圖2 萊布尼茨特徵三角形Fig.2 Characteristic triangle of Leibniz

史料表明:早在1666年, 萊布尼茨就考察了平方數序列各階之差, 他將此與微分相聯繫:一階差相當於dy, 其和等於y。這種和與差間的互逆性, 與依賴於坐標之差的切線問題及依賴於坐標之和的求積問題之互逆性是一樣的。故他在考慮無窮小量和差運算時, 已將其與有限量和差可逆性關係的研究相互聯繫起來。

在求量之差時, 萊布尼茨初用「x/d」表示對x的微分, 即表示求差就會引起量的逐次降低, 若同時出現不同階微分時, 則只留下最低階, 去掉所有高階。後他又用「dx」來代替「x/d」。並給出一系列微分基本公式, 如微分公式:

在推導過程中, 分別給變數x, y一個微小增量dx, dy, 則

於是

因dxdy是比xdy+ydx高一階的無限小量, 可以捨去, 故d (xy) =xdy+ydx。

萊布尼茨宣稱運用微分基本運演算法則, 可得整指數冪導數公式dxn=nxn-1dx。並斷定, 當n取任意實數時結論仍成立。後又推出指數、對數等超越函數的微分公式[6]。

1.2 泰勒公式還是萊布尼茨公式

從圖3手稿可看出, 萊布尼茨熟悉冪級數展開式, 並寫出收斂於根號2的無窮級數 (文字為拉丁文) , 這應是泰勒公式初等形式。

雖然現尚不清楚該手稿書寫的具體日期, 但可推測展開式應是萊布尼茨獨立推出, 而未受到泰勒 (B.Taylor, 1685—1731) 的影響。這主要從歷史事件上推測, 1699年初英國皇家學會開始指控萊布尼茨剽竊了牛頓 (Isaac Newton, 1642—1727) 微積分成果, 相關爭論在1711年幾乎全面爆發。泰勒最早是在1712年書信給友人告知其研究成果, 而於1715年出版的《正和反的增量法》中第一次公開陳述了泰勒公式 (未考慮級數收斂性) 。故從時間上看泰勒公式公開發表之時, 正是微積分優先權爭執激烈時期, 牛頓學派不會和萊布尼茨學派交流其研究成果, 為了避嫌萊布尼茨更不會應用牛頓學派的成果。這樣一來, 該手稿書寫應該早於1715年, 若是此推測成立的話, 泰勒公式應該冠名為萊布尼茨公式。

在這裡, 萊布尼茨可取根據公式:

取x=1, x0=0,

代入計算得到結果。從展開式可見, 萊布尼茨未應用階乘符號, 數與數相乘以「·」來表示。用符號「×」代表乘號是由英國數學家奧特雷德 (W.Oughtred, 1574—1660) 首創, 他於1631年出版的《數學之鑰》中引入該記法。乘號曾有過10餘種表達形式, 現在通用的只有兩種。用「·」表示乘號源於英國數學家哈里奧特 (T.Harriot, 1560—1621) 。萊布尼茨認為, 「×」有些像拉丁字母「X」, 故反對其作為乘法符號, 倡議用「·」表示乘號。還提出用「∩」表示相乘, 該符號現廣泛應用於集合論。

萊布尼茨在展開式中應用了等號。「=」最早出現於英國數學家雷科德 (R.Recorde, 1510—1558) 的《礪智石》, 源自「世上沒有比兩條平行線更相似」。但當時歐洲關於符號「=」還有其他含義, 如韋達 (Francois Viète, 1540—1603) 表示兩個數字之差, 還有人表示小數點, 如316.857寫成316=857。而笛卡兒 (RenéDescartes, 1596—1650) 則應用符號∝表示等號。

萊布尼茨的根號書寫與現代稍有不同。在1480年前後, 德國人曾用「·」表示平方根, 如·3根號3表示, 至16世紀初, 小點帶上了一條小尾巴, 這許是書寫快時所致, 籍此逐漸演變成了「√」。如1525年, 魯道夫 (C.Rudoff) 在其《求根式》中用√8表示根號8。萊布尼茨的書寫形式與他相同, 大概是借鑒其經驗。實際上, 笛卡兒在1637年第一個使用了根號, 他為了防止被開方數較多, 上面加了一條橫線, 並且比魯道夫多了一個小鉤, 這樣看上去更為美觀。可推測, 萊布尼茨應看到了笛卡兒的符號表示, 但他未採用笛卡兒的根號表示。

另展開式中還有分號的使用, 在現在亦可理解為乘積之意。

圖4 萊布尼茨積分表示和運算Fig.4 Leibniz's integral representation and operation

2 積分學之靈光閃現

簡而不凡的數學符號具有神奇科學力量, 一旦釋放能產生幾乎爆炸般威力。萊布尼茨所創建的一系列優美微積分符號就具有這般功效。他謹慎引入每一個數學符號, 總是選擇富有啟發性的符號, 以「最大限度減少人的思維勞動」。如他曾用類似根號符號來表示積分, 並帶有小尾巴「d」, 在圖4中, 對於3~5式, 萊布尼茨擬求累次積分, 其把積分號變長, 把第一步積分函數寫在裡面, 並配上dx, 他未區分積分變數, 均以x表之, 且用xx表示x2, 但三次冪萊布尼茨選用了現代符號表示。應用現代積分符號所給9個積分式為 (其中第2式由作者推測而來, 從上下文來看, 第5式積分變數應是y) :

圖5 萊布尼茨微積分運算小結Fig.5 Leibniz's summary of calculus

此時, 萊布尼茨對微積分研究已較深入, 符號也有了雛形。同時印證了其所討論積分為定積分[7]。在圖5手稿中, 萊布尼茨以變數x為分界線, 向右依次求對x的定積分、二重積分和三重積分, 注意到積分號下沒有dx;向左依次求對x的一階、二階和三階微分, 注意到微分符號採用dd和ddd。第二行為第一行的計算結果, 呈現出經微分和積分運算後未知數x冪的齊次變化規律性。第三行的排列更能看出規律, 對x微分次數越多, 其次數越小, 而對x積分次數越多, 其次數越大。從指數為負整數到零, 再到正整數, 分別對應著微分運算、元變數和積分運算, 進一步印證了萊布尼茨關於微分和積分是一對互逆運算的新發現。只有確立了這一基本運算關係, 才能構建出系統的微積分理論。他還推廣到對各種函數的微分和求積運算, 從中總結出共同的演算法程序和數學規律, 使得微積分方法普遍化, 進而發展成用符號表示的微積分運演算法則。

1686年, 萊布尼茨又在《教師學報》發表論文《論一種深奧幾何學與不可分量及其無窮分析》 (De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum) 。該文以討論積分學為主, 謂之《新方法》續篇[8]。

圖6 萊布尼茨積分原理Fig.6 Leibniz's integral principle

萊布尼茨用縱坐標y表示平面曲線同坐標軸圍成的曲邊梯形面積 (說明

的正確性) 。這樣所形成曲邊梯形面積變數便與曲線縱坐標構建了聯繫。他首先從最簡情形y=x開始, 以x表示相鄰兩項次序, 序數差為1, 設l為相鄰兩項實際差。用拉丁文omnia縮寫omn表示求和, 記為omn.l=y (即y=∫dy) , 則omn.l就表示首項為0的序列一階差之和。即當l很小時, 其和就是三角形ABC面積「y2/2」, 「從0起逐漸增長的直線, 每一個用與它相應增長元素相乘, 組成一個三角形。」再次印證萊布尼茨所討論積分是定積分, 儘管未明確給出上下限, 但積分區間是為0到y。

萊布尼茨先用「Sydx」表示, 後改為「∫」表示積分符號, 顯然其是「Sum」的第一個字母「S」的拉伸。他在手稿中寫有若干積分計算。

由於萊布尼茨從有限差值開始無窮小運算, 故他最初曾試圖將實無窮小代之以與其成比例的有限數量, 即不用dx, dy本身, 而用比值dy/dx。他曾以為把dx, dy看成有限量, 不嚴密問題就解決了。但dy/dx同樣需要說清dx, dy含義。故萊布尼茨提出用「充分大」和「充分小」代替無窮大和無窮小, 「我們可不用無窮大、無窮小, 而用充分大和充分小的量, 使得誤差小於給定誤差限度, 故我們和阿基米德方式的不同之處僅僅在於表述, 而我們的表達更為直接, 更適於發明家藝術。」[9]

為此, 萊布尼茨不得不訴諸於物理或幾何模型, 應用現實中量的不同層次相對性詮釋無窮大和無窮小。「當談到不同階的無窮大與無窮小時, 就像對恆星距離而言, 把太陽看作一個點;而對地球半徑而言, 則把普通球看作一個點。這樣, 恆星距離對於普通球半徑而言是無窮的無窮大, 或無窮倍的無窮大。」而「若你不承認無限長、無限短線段具有形而上學的嚴密性, 也不承認它們是實際東西, 則你一定可把它們當作一種能夠縮短論證思想的東西來使用, 正如在普通分析中使用虛根一樣, 我不十分相信除了把無限大、無限小看作理想東西, 看作有根據的假設, 還有什麼必要去考察他們。」甚至「我不相信確有無限大量和無限小量存在, 它們只是虛構, 但對於縮短論證和在一般敘述中則是有用的虛構。」[10]

可見, 萊布尼茨僅是把微積分當作一種數學運算方法, 只要按照該方法去計算, 就能得出正確結果, 而不必關心其基本理論概念。正是這種理論上的不嚴謹、不嚴密, 使人對「無窮小」認識模糊, 其既不是有限量, 也不是無限小, 又不是零, 難道是消逝量的鬼魂?進而導致了第二次數學危機。事實上, 萊布尼茨對於微積分理論基礎的這種看似冒失的大膽相信態度, 反倒可能促進了微積分及其應用的迅速發展。

圖7 萊布尼茨計算連分數Fig.7 Leibniz computed continued fraction

3 其他數學手跡

萊布尼茨治學風格從其文稿可窺一二, 從中所表現出來的富有創造性、跳躍化的思維使人驚嘆不已, 而其符號化思維常常又帶有某種神秘性, 使得讀者小心翼翼。他好像不過分追求結果的準確性, 例如連分數的計算 (見圖7) , 而更執著於數學推導過程, 他會把他的思考或作題過程一步一步地展現出來, 他富有想像、粗線條式的思維讓他在微積分的世界裡天馬行空、自由翱翔, 而文稿內容在現在看來還不夠嚴謹、不合理、難以理解的地方, 在這位偉大的數學家的眼裡根本就是腳下的一粒沙子, 一腳就踏過去了, 而後來的讀者卻要在這個地方糾纏困惑不止, 如其堅定支持者約翰·伯努利 (John Bernoulli, 1667—1748) 所說, 「如其說是解釋, 不如說是謎。」[11]

萊布尼茨曾與數百人有著書信交流, 其中既有名流也有凡夫。今仍能從中找到雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli, 1654—1705) 等人寄來的「隨筆短箋」。萊布尼茨對數學問題的探討, 絕大部分都體現在通信中。如萊布尼茨與約翰·伯努利從1694年開始通信, 一直保持到1716年。在長達20餘年的通信中, 他們主要討論了數學和物理學問題及其與形而上學之聯繫[12]。

圖8 雅各布·伯努利給萊布尼茨寄來的「隨筆短箋」Fig.8"Essay notes"of Jacob Bernoulli to Leibniz

4 餘論

萊布尼茨的博學多才罕有所比, 其研究領域涉及諸多學科。他不僅從哲學視角對數學本質進行了詮釋, 還醉心於微積分研究, 溝通了微分學和積分學的相互聯繫, 並創建了一系列優美的數學符號。

對於數學性質, 萊布尼茨認為, 數學 (主要指算術和幾何學) 是一種真理, 它是以一種潛在方式存在於我們心中, 是具有天賦性之學科。可通過考慮其來源而進行學習, 或採用經驗證實的方式進行學習。萊布尼茨否認「凡是人所學到東西都不是天賦的」。數學命題的觀念是天賦的, 這樣天賦不是就其現實知識而言, 而是指潛在知識是天賦的, 數學知識的獲得並非依靠感覺材料, 在數學知識產生過程中, 感覺經驗只起到「暗示、證實和確認」的作用。他認為, 以數為研究對象的算術就蘊含諸事物的各種動力, 成為宇宙的靜力學。數學天賦性及數學研究對象的形而上學性使得數學具有一種崇高且重要地位[13]。

萊布尼茨指出, 數學是人類推理傑作, 不僅可改變普通人生活方式, 也能使得政治制度更加完善, 且可提升人類理解度甚至消除我們與世俱來的惡。故萊布尼茨數學化思想是以數學理論為基礎並超越了數學方法, 是一種形式化、模式化、嚴謹的邏輯思維方式。萊布尼茨科學奮鬥目標是尋求一種可獲得知識和創造發明的普遍方法, 正是這種努力導致其諸多科學發現。他倡議社會科學與數學科學進行類比, 並將數學原理應用於社會科學研究之中[14]。其一系列重要數學理論為近現代數學發展奠定了基礎。他曾討論負數和複數性質, 探討線性方程組消元法, 並首次引入行列式概念, 創立符號邏輯學基本概念, 發明二進位和能進行四則運算及開方運算的計算機等, 當然翹楚還是創立微積分。正是微積分的創建使得數學變得更加美妙、奇妙, 且極大拓展了數學疆域[15]。

參考文獻

[1]李文潮, (德) H.波塞爾.萊布尼茨與中國:《中國近事》發表300周年國際學術討論會論文集[C].北京:科學出版社, 2002.

[2]尼古拉斯·喬里.萊布尼茨[M].杜娟, 譯.廣州:華夏出版社, 2013.

[3]吳文俊.世界著名數學家傳記[M].北京:科學出版社, 2003.

[4]LEIBNIZ G.W.Leibniz"s Mathematische Schriften, Erster Band[M].Berlin:Nabu Verlag, 2010.

[5]LEIBNIZ G.W.Leibnizens Mathematische Schriften.7vols[M].Hildesheim:Georg Olms, 1971.

[6]AARSLEFF H.The Study and Use of Etymology in Leibniz[C].From Locke to Saussure:Essays on the Study of Language and Intel-lectual History, London:Athlone Press, 1982:84-100.

[7]李文林.數學珍寶[M].北京:科學出版社, 1998.

[8]克萊因.古今數學思想[M].張理京, 譯.上海:上海科學技術出版社, 2009.

[9]LEIBNIZ G.W.New essays on human understanding[M].Cambridge:Cambridge University Press, 1981.

[10]LEIBNIZ G.W.Philosophical Papers and Letters[M].Chicago:Chicago University Press, 1976.

[11]段德智.萊布尼茨哲學研究[M].北京:人民出版社, 2011.

[12]LEIBNIZ G.W.Philosophical texts[M].Oxford/New York:Oxford University Press, 1998.

[13]萊布尼茨.人類理智新論[M].陳修齋, 譯.北京:商務印書館, 2010.

[14]萊布尼茨.萊布尼茨自然哲學著作選[M].祖慶年, 譯.北京:中國社會科學出版社, 1985.

[15]徐傳勝, 周厚春.數學史講義概要[M].北京:電子工業出版社, 2011.

CAJ下

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