美國的數學戰爭
染上「數盲」的美國人
在 2014 年 7 月，《紐約時報》發表了一篇題為「為什麼美國人數學這樣爛？」的文章，文章分析了美國人普遍數學能力低下和造成這種現象的原因。
文中提到這樣的例子：在20 世紀 80 年代，A&W 連鎖快餐為與麥當勞競爭，推出了一種比麥當勞的「1/4 磅牛肉漢堡」價格相同、滋味更佳的「1/3磅牛肉漢堡」。鋪天蓋地的廣告轟炸後，對這一超值之物消費者卻並不買賬。
A&W 進行的市場調研結果讓人哭笑不得。原來，「1/3磅牛肉漢堡」給美國人出了一道分數題，大多數人都答錯了。他們不知道1/3 比1/4更大，反而認為 A&W 的漢堡價格更貴。
用 天 普 大 學 數 學 教 授 和 作 家 約 翰· 保 羅 斯（JohnPaulos）的話說，美國的國民都染上了一種病，他把這種病稱為「數盲」——數學方面的文盲。世界經濟論壇的2012—2013 年全球競爭力報告指出，與其他 65 個工業化國家相比，美國在科學和教學教育質量方面排名第 47 位，美國學生的數學能力排在第31位。多年來，人們清楚地知道，美國在國際評估中的低排名與美國「一英里寬，一英寸深」的課程結構有關。
從廣大的教師、家長，到教育專家，再到美國總統，都普遍地承認美國 K-12 教育，特別是小學、初中教育「一英里寬，一英寸深」的這種現狀。《紐約時報》這篇文章的作者再次強調這種現狀的目的，在於倡導一種有效的數學教育方法，這種方法由美國數學教師委員會（NCTM）在 20 世紀80 年代所倡導，但是按照作者的說法，在此後的二十幾年中，由於執行不力而沒有發揮作用。
事實上，正是這種為很多美國教育人士熟悉的基於建構主義教育理念的數學教育方法，激化了跟數學教學相關的美國教育界兩大派的矛盾，引發了 90 年代的數學「戰爭」。為了理解建構主義教育的概念，我們還得回溯美國式教育的先驅——約翰·杜威（John Dewey）。
20世紀初的進步教育
文藝復興取得的科學和藝術成就，讓人們對人類文明前景的預期非常樂觀。在這個時期，自由平等的思想萌芽了一種進步主義政治哲學，它認為建立民主制度，實現自由平等，社會才能不斷進步發展。同時，進步主義還認為集體與社會公共利益高於個人權利。
這種思想也深深地影響了美國建國之初的領袖。在他們執政期間，美國社會發生了劇烈的社會變革。進步主義思想也波及了美國的教育，認為教育不應當只是以傳授知識為主要任務，而是要以社會公正為準則，追求同等的學習成就，並培養適合國家發展需要的人才。除了關於「教什麼」的教育目標和功能方面的內容，進步教育也提出了「怎樣教」的教育方法或教學理念方面的含義。
進步教育的代表人物杜威對 20 世紀美國教育發揮了巨大的影響。他主張鼓勵學生自我探究和創新，幫助學生在實踐中學習經驗和知識。同時，他也批判了當時美國的 K-12 公共教育系統，認為學校不應教學生那些一輩子都用不到的知識，而應教他們在社會上用得到的知識，因此要根據社會需要設計課程，淘汰那些無用的傳統課程。
於是，從 20 世紀初開始，美國掀起了進步主義潮流。這首先體現在課程中教授有用的知識，如學校開設烹調、駕駛培訓、會計等科目，減少那些所謂抽象、無用的高級學術性課程，如微積分、拉丁語等。學校課程不再按學術科目來安排，而是從學生的需要和興趣出發，他們的口號是「我們在教孩子，而不是教科目！」到了 40 年代，中學數學課程變得著重於消費購買、保險、報稅、家庭收支等實際問題，而削弱了代數、幾何或三角等科目。
從新數學到 NCTM 標準
這件事強烈刺激了美國民眾的數學「卑」情緒，對教育的不滿空前高漲。
在全國發出的重振基礎數學的呼聲下，國會通過了《國防教育法案》，決議加強學校教育。數學家主導了「新數學運動」（New Math Movement），他們第一次參加了中小學教程的編寫，在教材里引進了許多新的內容，如集合、函數、非十進位數等，希望引導孩子們從小就像數學家一樣思考。
然而，從實用算術一下子跨越到了抽象的現代數學，這種矯枉過正的改革讓教師、家長和學生叫苦連天。1962 年，64位數學家聯名發表了一封題為「高中數學課程」的公開信，批評了「新數學」課程，並為課程體系建設提供了一些指導。在「回歸基礎」的呼聲下，這場延續了十多年的「新數學」運動以失敗而告終。
「回歸基礎」的結果是：從 20 世紀70 年代中期到 80 年代初，美國全國統考的數學成績一路下滑，高中畢業生的成績和大學入學標準也一降再降，美國在國際數學評比中的排名低落。隨著 80年代兩份報告躍入公眾視野，一場數學戰爭正在醞釀。
1980 年， 國 家 數 學教 師 委 員 會（NCTM）發表了題為「行動的規劃 」（ An Agenda forAction ）的報告，建議基礎數學教育應著眼於「解決問題」，培養數學的智力、創造力和啟發式思考，並且引進新的教學方法。
1983 年，教育部發表了一份題為「危險中的國家」（ A Nation at Risk ）的報告，批評中學裡充斥著大雜燴式的課程，導致學生質量直線下降。報告警告說：「我們的國家正處於危險中……我們國家的教育基礎正被平庸所侵蝕，威脅著我們國家的未來。」
1983 年的報告指出了 NCTM 的教育存在的問題，但是NCTM 教育專家們並沒有放慢腳步。1989 年，NCTM出版了《學校數學課程和測試標準》，也被稱為「1989 年 NCTM 標準」。這個標準倡導了一個新的理念：「建構主義」（constructivism）。
建構主義
建構主義是一個心理學辭彙，早在20 世紀五六十年代，著名的日內瓦學派創始人、認知心理學家皮亞傑（JeanPiaget）曾明確地提出了人的認識並不是對外在的被動的、簡單的反映，而是一種以已有知識和經驗為基礎的主動建構活動的觀點。
基於杜威和皮亞傑的思想，1986 年，馮·格拉斯菲爾德（VonClasfield）在倫敦舉行的第十屆數學教育心理學會上發表了題為「合成單位及構成它們的運算」的研究報告，支持這一研究的理論框架就是認識建構主義。建構主義運用於教育實務，老師與學生的角色發生了變化。
通常來說，傳統的數學教育方法有固定的課程標準和教科書；老師按照教科書進行講解、指導；學生需要完整理解定義和概念，背誦一些法則（如乘法表），做大量的習題，定期通過測試並按照正確答案進行評估。而建構主義認為，不應把學習看成是對教師所授予的知識的被動接受，而是一個以學生已有的知識和經驗為基礎的主動建構過程。建構主義認為教師是協助學生建構知識的引導者，要以了解學生真實的思維活動為基礎，通過提供適當的問題情景或實例促使學生反思，從而讓學生最終通過其主動的建構獲得新的認知。
在建構主義課堂上，學生不需要背誦並練習無窮無盡的公式，而往往是圍成圈子進行討論，教師的角色是促進討論，他們引導學生提出問題，跟隨學生的問題、興趣，引導他們就這個問題得出自己的結論。
如此一來，不僅學生必須學習如何建構知識，老師也必須學習如何引導學生建構知識，教室溝通由單向的「接發模式」轉化為雙向的「回饋模式」。這樣看來，建構主義不但對數學，而且對其他學科的教育也有正面的意義。在這樣的教學機制下，數學不再枯燥痛苦，而是富有挑戰性、刺激性，甚至很有趣的。學生們某天可能會推導出矩形的面積公式，第二天他們就可以去推導平行四邊形的面積公式。
1989 年 9 月， 布 什 總 統 參 加 了美國歷史上的首個教育峰會，承諾到2000 年將使美國學生在數學和科學領域成為世界第一，並呼籲通過設立全國教學標準來提振教育。由於剛剛發表的NCTM 標準倡導了新的教育理念，又符合「社會公正」的思想，各界都寄厚望於這個國家的數學教育標準。
硝煙瀰漫的數學戰爭
隨著 NCTM 在全美的推廣，各地對這些教科書的質疑、批評之聲四起。這是因為，NCTM 標準把學生小組合作「發現」「探索」當作首選的甚至是唯一的學習模式，而數學家們認為：指望學生自己通過探索找到標準解題方法是不合理的；建構主義課堂上學生的熱烈討論雖然表明他們在行為上是活躍的，但不是真正學習意義上的「認知活躍」；消耗了大部分時間的討論，並不能保證學生最終能夠學到正確的概念。
批評者認為，建構主義無異於讓學生自己「重新發明輪子」。在一個研討會中，美國賓州州立大學的馬丁·西蒙（Martin Simon）教授提出一個問題：試想邀請兩個從未學過棋的學生比賽下棋，如果我們只告訴他們遊戲規則，卻不教導其下棋策略，當對弈一段時間之後，兩人會不會各自發明出贏棋策略？
人們把 NCTM 教材叫作「糊塗數學」，有人甚至嘲諷 NCTM 數學標準大概是體育老師寫的！事實上，編寫「1989 年 NCTM 標準」的 24 名工作組成員中的確沒有一個是數學家。
20 世紀 90 年代前期，加州就已完全採用了NCTM標準。1992—1994年，加州帕洛阿爾托學區八年級學生的數學平均成績從全國的 91 百分位滑落到 81百分位，其中計算部分則從 86 百分位數急劇下降到58百分位。1994年5月，600 多名家長聯名向學區請願，反對使用採用NCTM標準的新教材。從此之後，美國各地湧現出由家長、數學家組成的許多反對 NCTM 標準的各種組織。
NCTM 標準支持者認為學生成績的暫時下滑並不是因為教育方法的錯誤，而是這些方法還沒有很好地在課堂中貫徹執行。
他們指出，新的教育方法需要老師具備大量的專業知識，而在學校里這方面的師資不足；在教堂上，不稱職的教師沒有設計有效的教學導向，而只是依靠學生髮現或構建自己的基本信息。這時，原本只是數學家與數學老師兩個陣營的論戰開始泛政治化，有支NCTM 標準的人給反對者貼上了「保守派」的標籤。
於是，數學戰爭彷彿成了「黨派」之爭：保守黨傾向於支持傳統的高標準嚴要求的數學教育，反對課程改革；而進步教育思想由於帶著反精英主義和追求社會公正的元素，而吸引了很多自由派人士，這些人群正是民主黨的選民基礎。
阿 倫· 舍 恩 費 爾 德（AlanSchoenfeld） 在《 數 學 戰 爭》（ TheMath Wars ）一文中寫道：「NCTM 標準是建立在『每個人都重要』的平等信念的基礎上，是響應『為所有人的數學』的召喚，是站在『教育為民主平等』的陣營里……傳統課程對學生的過濾機制帶來高不及格率和輟學率，對於某些少數族裔尤其如此，使得這些群體在社會底層的地位固化。」不過，2000 年 1月《華爾街日報》的一篇社論則強調：NCTM 課程輕視計算的結果將會關閉學生學習代數的大門，也將關閉學生畢業後成為工程師與科學家的大門。
中庸的「共同核心標準」
由於美國的教育體制，各個州都有很大的決策權。90 年代末，加州通過了由斯坦福數學家修訂的新標準，麻省也採用了哈佛數學家參與撰寫的教材。這些教材相對 NCTM 標準有了很大的提升。
2006 年 4 月 18 日， 布 什 總 統創建了國家數學顧問小（NationalMathematics Advisory Panel），呼籲結束數學戰爭，並得出論：「概念理解、計算和程序流暢性以及解決問題的技巧同等重要，並相互加強。關於數學各組成部分的相對重要性的爭論是錯誤的。」其實，從 2001 年開始，美國就開始了名為「美國學位項目」（AmericanDiploma Project，ADP）的研究工程，目標是建立一套國家學科標準和相關考試系統，這就是「共同核心標準」（Common Core）的起源。2008 年，ADP 敘述了如何將各州的教育標準整合為一個統一的國家標準，並正式更名為「共同核心州立標準」（Common CoreState Standards）。2010 年全美 45 個州和華盛頓特區都宣布加入「共同核心標準」，美國實現了歷史上第一個國家化的教育標準。
「共同核心標準」的撰稿人也清楚地表明，「共同核心標準」在教學方法上是中性的，教師可以自由地選擇：傳統的、建構主義的或任何其他的。然而，自「共同核心標準」頒布以來，支持和反對的聲音也是此起彼伏。爭論的中心也仍然在教育標準高低和教育方法上。
從 20 世紀 20 年代的進步主義教育，到如今的「共同核心標準」，美國中小學數學教育一直都在改革，經歷著充滿火藥味的「戰爭」。建構主義究竟是否能夠提高美國人的數學水平，從目前來看仍然是個未知數。然而，隨著數學家和家長反對呼聲的不斷升高，建構主義在美國的地位似乎不再固若金湯，就像美國數學家大衛·克萊因（DavidKlein）在他的論文結尾處寫的那樣：「具有諷刺意味的是，進步教育家在推行他們的進步主義數學教育上所取得的異乎尋常的成功，從長期看可能是導致它們衰亡的主要原因。」
曾 任 NCTM 委員 會 成員 的美 國數學教育學教授道格拉斯· 格勞斯（Douglas Grouws）在談到數學教育問題時說：「數學如何教往往取決於老師或社會對數學抱有什麼信念。當數學被看作是一種工具或一套技能時，它的教學方式通常是反覆操練；當數學被視為了解周圍事物的一項重要知識時，老師也會構建一種架構來幫助學生把握各種技能之間的聯繫；只有當老師認為數學的真正價值在於發現新聯繫的過程時，他自然會引導學生通過分析歸納法來學習。」
美國著名數學家、國家圖書獎獲得者魯本·赫什（Reuben Hersh）在談到數學的教學方式時說：「那麼，問題不在於，最好的教學方式是什麼，而是在於，數學到底是什麼。不解決數學本質的問題就無法解決有關教學方式的爭議。」
附上美國數學教育100年的發展史~
本文刊登於2017年12月出版的「少年時」系列《數學在西方》的其中一篇專題文章——美國的數學戰爭，作者為南希，是「少年時」專題編輯。（完）
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