都是阿拉伯數字，憑什麼1這麼突出！

統計一下世界上所有國家的人口數量，你覺得其中以1開頭的數會佔多大比例？如果你的回答是1/9，恭喜你你是正常人，但是事實卻不是如此：以1開頭的數驚人的佔到了27%，而以9開頭的數卻只佔5%。下圖可以很形象的展示出在各國人口數量問題上，以各個數字開頭的數佔了多大的比例。為什麼會相差這麼大呢？這正是神秘的本福特定律在起作用。

本福特定律，也稱為本福德法則，說明一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現機率約為總數的三成，接近期望值1/9的3倍，推廣來說，越大的數字，以它為首幾位的數出現的機率就越低；精確地數學表述為：在b進位制中，以數n起頭的數出現的機率為logb(n + 1) ? logb(n)。

本福特。圖片來源：oregonaudits.org

在十進位中，首位數字出現的概率為：

這個定律的發現，據說是因為本福特在翻對數表的時候發現前面幾頁被翻得很黑很破爛，越往後越顏色越淺。由此他想到會不會是1開頭的數字就是比其他數多，他統計了一下發現果然如此。其實這個對數表的事情真假難辨了，就像是牛頓說自己是被蘋果砸到了頭才發現的萬有引力定律一樣，只要最後的定律有用就可以了。

本福特定律的適用範圍

這個定律是一個非常神奇的定律，它的適用範圍異常的廣泛，幾乎所有日常生活中沒有人為規則的統計數據都滿足這個定律。比如說世界各國人口數量、各國國土面積、賬本、物理化學常數、數學物理課本後面的答案、放射性半衰期等等數據居然都符合本福特定律。

這些數據必須跨度足夠大，必須橫跨好幾個數量級才能產生這個結果。而有人為規則的數據就不滿足次定律，比如說手機號碼、身份證號、發票編號等數據，明顯不滿足這種對數分布律。也就是說，本福特定律正是沒有任何限制才顯露出來的定律，越是對數據的產生有人為限制，越是不滿足該定律，比如當年著名的安然公司造假案，他們的賬本就沒有滿足本福特定律，因此這個神秘的定律甚至可以用來判別是否財務造假。

那麼到底該如何理解這個神秘的定律呢？為何自然產生的數據會滿足這麼奇特的一個定律、而不是均勻分布呢？

一種直觀的解釋

從數目來說，順序從1開始數，1,2,3,…,9，從這點終結的話，所有數起首的機會似乎相同，但9之後的兩位數10至19，以1起首的數又大大拋離了其他數了。而下一堆9起首的數出現之前，必然會經過一堆以2,3,4,…,8起首的數。若果這樣數法有個終結點，以1起首的數的出現率一般都比9大。

我們以一個城市的所有門牌號為例，有的街道門牌號可能在100多就結束了，有的在500多結束，有的在900多結束。注意到500多結束那條街一定包含了1、10+和100~199這些1開頭的門牌號，而不包含9開頭的百位數，只包含9及90+的以9開頭的數，這樣一來明顯以1打頭的就多於9打頭的了。

另外，值得一提的是，本福特定律滿足尺度不變性，即如果我們換一套單位制，本福特定律仍然成立。其實，這也可以作為大自然產生的統計數據滿足該定律的一個解釋：如果我們把原來的單位是米的統計數據換一個單位，例如換成英尺或者公尺，那麼統計數據的分布應當不變。而唯一滿足這種尺度不變性的分布也就是本文的主角本福特定律。

知識點九年級數學

概率初步

作者：physixfan

編輯：大琳砸

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