數學結構主義的本體論
數學結構主義的本體論
劉傑
人大複印：《科學技術哲學》2018 年 10 期
原發期刊：《自然辯證法通訊》2018 年第 20187 期 第 1-11 頁
關鍵詞：本體論/ 數學結構主義/ 範疇論/ Ontology/ Mathematical structuralism/ Category theory/
摘要：基於數學家探討問題的方式，先後分析了先物結構主義對結構即抽象實體的先物強調、模態結構主義迴避數學本體之消除主張各自面臨的問題，最後以數學實踐為基礎，給出範疇論結構主義的本體論解釋。數學對象即結構，而結構就是數學家們真正討論的「事物」或「主題」——範疇中的對象。
自柏拉圖以來，對「數學對象是否存在」的討論幾乎貫穿著整個數學哲學史。該論題的魅力之所以經久不衰，根本原因在於數學對象的抽象性。數學對象與一般日常接觸的物理對象不同，0，1，2，等數學對象外在於時空，人們無法通過感知經驗與之建立因果鏈條。柏拉圖將數學對象視為一種抽象物，是獨立於物理實例或範例的存在，獨立於人類思想而存在。該觀點始於其所謂的共相論，儘管之後他改變了這種觀點，認為數學是「中介」，即那些共相的完美範例，但其諸多後繼者則認為它仍是關於共相的，數學對象都應以柏拉圖的方式得到分析，從而逐漸形成了各種版本的柏拉圖主義，如集合論柏拉圖主義、新弗雷格主義等。然而所有柏拉圖主義者無法規避的認識論問題是，人類如何能夠獲得獨立於人類思想而存在的數學對象的知識?這一難題促使一批數學家和哲學家嘗試從數學本身出發，反思數學的本質，理解數學對象的本性。
20世紀30年代由布爾巴基學派興起的數學結構主義，正是這種方案的踐行者。他們主張數學的本質在於結構，數學的本性不是抽象、孤立的個體對象，而是數學對象間的結構關係。需要指出的是，布爾巴基學派並非旨在構建哲學體系，對數學本體做出解釋，而只是為其數學基礎提供一種技術框架。事實上，即使只是後者，該學派的最初目標也並未實現。科里(L.Corry)就曾指出在《數學基礎》以及其他數學中並未廣泛使用該理論。[1]原因在於：其一，結構主義方案的一般化程度不足，無法呈現當前甚至20世紀50年代的數學。儘管該方案看似可以作為普遍的基礎，但當人們真正用它來表示度量空間、代數空間等時，其一般化程度都不足以滿足實際需求。其二，對於其一般化程度可以滿足的抽象代數而言，由於對該理論的應用反而會使原先清晰的概念和特徵變得模糊。事實上，在真正的數學研究中，幾乎沒有數學家使用甚至學習過布爾巴基的結構理論。儘管如此，布爾巴基學派對數學的觀念深刻影響著全世界的數學家。該學派將結構關係作為實踐研究方法的強調，更啟發一批哲學家與數學家從結構主義出發反思數學的基礎以及數學的本質。基於對結構之本質的不同理解，主要出現了三種進路：先物結構主義(Ante rem Structuralism)、模態結構主義(Modal Structuralism)與範疇結構主義(Categorical Structuralism)。
一、數學本體之先物抽象
在堅持「數學本質即結構」的同時，夏皮羅(S.Shapiro)，瑞茲尼克(M.Resnik)等學者進一步得到數學對象即「結構中位置」[2]-[6]的本體論論斷。他們主張數學斷言都是客觀真理，數詞即單稱詞。每一個數學對象都根據相同結構中與其他對象間的關係得到唯一確定，如夏皮羅所述，「自然數的本質是它與其他自然數之間的關係……比如數2在自然數結構中不多於也不小於第二個位置；6是第六個位置……」([2]，p.72)這種觀點堅持數學對象的客觀存在，具有柏拉圖主義的典型特徵，因此夏皮羅稱其為先物結構主義。([3]，p.81)
一般來講，這種本體論立場具有兩個優勢。其一，與其他結構主義一樣，將數學本質視為結構，從而能有效回應貝納塞拉夫(P.Benacerraf)提出的「多種化歸」(multiple reductions)問題。[7]其二，忠誠於數學實踐，數學對象的客觀存在確保了數學論述中對單稱詞的指稱，能為實踐中數學家們所關注的對象之間的結構關係提供更為堅實的基礎。但該種本體論解釋存在一些嚴重的問題。將數學對象視作結構中的「位置」，進而對「系統」與「結構」加以區分，以系統作為結構的例示，這種對結構的進一步切割與其結構主義的基本立場不相一致。
1.先物結構、位置與關係
在本體論上，先物結構主義是典型的柏拉圖主義支持者。夏皮羅稱之為「本體實在論」(Realism in Ontology)([8]，p.302)這種觀點主張自然數存在，自然數形成一個處於通常算術關係下的系統，該系統的結構是自然數系統。但與傳統柏拉圖主義不同的是，先物結構主義關注結構而不是個體對象。先物結構類似於先物共相，因而它是眾中之一(one-over-many)的先物抽象。相同的結構可以在多個系統中得到例示，而結構獨立於任何可能在非數學領域中出現的例示存在。與性質這種更為常見的共相不同，結構不是個體對象的形式，而是系統的形式，系統是由具有特定關聯的對象組成的集(collection)。
在進一步闡明先物結構的存在性時，夏皮羅強調，這取決於結構中的位置以及位置在結構中的聯繫。位置與結構之間沒有形而上學的優先性，它們對於先物結構都是不可或缺的，都是確保先物結構存在的必要條件。先物結構中的位置類似於辦公室，即「位置是辦公室」(places-are-offices)。([8]，p.302)比如，一個三序數結構，是具有線性序數關係並由三個對象構成的系統的形式。該結構具有三個位置，每一個位置都由例示該結構的某系統中的一個對象填補。結構中的位置不是共相的綁定物，而是共相的組成部分。
每一先物結構都包含某些結構和某些關係，且它們之間的依賴關係是構成性的。一個結構是由其位置和關係構成，就好比任何機構是由它的公司和辦公室之間的聯繫構成一樣，這種結構不是分體論的。當然這並不是說，結構只是其位置的綜合，因為位置必須通過結構的關係彼此相關聯。
然而，在數學實踐中數學家們從不對系統與結構做出區分。對於數學結構是什麼以及結構與系統的區分究竟是什麼，夏皮羅也並未真正闡明。夏皮羅所說的數學系統似乎就是唯一一個系統，即ZF集合，但自然數、實數等系統真的就應該是集合嗎?如果不是，這些系統又是什麼?它們如何與結構相區分?如果是，真有數學家曾使用過這些系統嗎?事實上，幾乎沒有數學家學過也幾乎沒有數學課本提及ZF集合論。三序數結構中三個序數所佔據的是系統中的位置，反映的是系統間的關係，即該系統明確了三個序數之間的次序關係，這種關係非夏皮羅所主張的先物結構的位置確定的，因此如何將它們分別與形而上學意義上的位置(夏皮羅的數學對象)建立聯繫，仍是未知的。他的確指出，「形而上學的觀點是，一個結構由它的位置以及它的關係構成。位置與關係都不先於對方而存在」。([8]，p.304)也就是說，位置與關係即使在形而上學意義上也沒有差別，那麼是不是結構主義可以不去預設位置呢?位置之於夏皮羅來講，只是有助於解釋所謂例示了某結構之系統中的對象，而事實上那些正是數學家真正在討論並使用著的對象，它們因不具有柏拉圖意義的普遍性而不能被視為統一的數學對象。因此，夏皮羅有必要說明，系統和結構之間的本質區別究竟是什麼?「辦公室」與「某個公司或單位的辦公室」是否一樣?夏皮羅的可能回應或許是，前者是形而上學意義上的先物抽象，後者是前者的具體例示。但進一步的問題是，前者與後者之間的區分由誰來裁定?如何加以劃分?顯然，如何闡明先物結構中位置的不可分辨性成為回答上述問題的關鍵。
2.不可分辨物與同一性
遺憾的是，先物結構主義者對結構中位置不可分辨性的說明本身也備受質疑。如上所述，先物結構主義對抽象結構存在性的主張，依賴於其對結構中位置不可分辨性的說明。正如夏皮羅本人所言，「奎因的觀點是，對於給定的理論、語言、框架，都存在識別對象的確定標準。沒有理由認為，結構主義是一個例外」。([2]，p.92)萊特格布(H.Leitgeb)與雷德曼(J.Ladyman)等學者指出上述論斷表明，結構中位置的同一性關係要求一種非平凡定義，即要求一種很強的不可分辨物同一性原則。[9]
(IND)對於同一結構中的任意對象x，y，如果x與y共享相對於該結構的所有結構性質，則x=y。
該原則表明每一個數學對象根據其結構性質都應得到唯一的特性描述。如作為素數的性質是一個算術結構性質，因為它根據乘法和加法是可定義的。而樹上的鳥有幾隻所表達的數量則不是結構性質。根據複數的定義，「-1的復平方根」這一性質是複數的結構性質，但不是算術的。通常複數定義為數a+bi，其中i被定義為「-1的復平方根」。但由於對任意數x，都有，該定義同時會給出數-i，因此，i與-i這兩個複數具有完全相同的代數性質。從複數a+bi到其共軛a-bi是一個複數的代數自同構，即每一個複數a+bi都具有與其共軛a-bi的相同代數結構。由此可知，Φ(a+bi)當且僅當Φ(a-bi)。特別地，Φ(i)當且僅當Φ(-i)，它們共享代數上的所有結構性質。因此，先物結構主義應主張i=-i。
這一結果顯然是夏皮羅不能接受的。他承認「……如果我們要發展一種結構理論，那麼結構間必定存在一種確定的同一性關係……不是主張，把結構看成對象，留下結構間的同一性關係不加確定。當然對於某給定結構中的位置也是如此……當探討數學對象——給定結構中的位置時，同一性必須是確定的」，([4]，p.140)但同時強調，同一性的確定性並不是要求以非平凡的方式給出結構同一性，也就是說「不要求數學對象以非平凡的方式得到個體化，形而上學的原則與直覺反之也不適於說明日常的數學實踐。日常數學實踐預設了在某種意義上不能被定義的同一性關係。如復系統中-1的兩個平方根是不可分辨的：滿足其中一個的性質也滿足另一個。……『i』在自然演繹系統中的作用就像一個參數」。([8]，p.285)從而提出如下的二階版本同一性原則：
在標準語義學中，(ID)右邊事實上表達了同一性關係。但是元理論中，同一性是在標準語義學下被預設的。為了表明公式表達了同一性，我們考慮一個只被a滿足的性質或集合P。即P只滿足a而其他都不滿足：如果b≠a，則Pb。換言之，在元理論中使用同一性關係是為了表明上述定義的確表達了對象語言中的同一性關係。夏皮羅指出，在數學實踐中我們是通過給出公理定義一個結構。這些隱定義通常都使用了適用於該結構的非邏輯術語以及一個同一性符號。同一性符號不只是另一個非邏輯項，而更像是對於合取或者對於全稱量詞的符號。正如在具有同一性的一階邏輯中，我們認為或預設，a=b在一個解釋下成立，當且僅當a和b指示相同的對象。([8]，pp.4-293)因此，在預設同一性關係時，先物結構主義與數學實踐做出的假設一樣。比如人們可以定義具有下述範疇性公理的二基數結構：([8]，p.294)
除了不包含非邏輯術語且本身是平凡的，該定義與其他的公理化沒有區別。複數結構同樣有一個如上的標準公理化形式，即
因此，只存在二基數結構的兩個不同成員，且只存在-1的兩個不同的復平方根。除此之外，數學實踐與先物結構主義對同一性或個體性都不做任何其他要求。
可以說，夏皮羅依據數學實踐的要求以及對數學實踐的忠誠限制，是對其無法提供不可分辨物辨識標準的有力回應。無論是數學家還是哲學家，沒有人會對遵循數學實踐這一準則提出質疑。然而，從先物結構主義的哲學立場來看，其論證是不一致的。一方面，夏皮羅主張抽象結構的客觀存在性，主張抽象結構中位置的確定性，這要求他闡明，在指稱數學對象——結構中的位置時，能夠辨識該對象，成功達成對其的指稱，並說明我們如何能獲得對其的認知。比如，有能力辨識複數結構中「i」的位置。而另一方面，他基於數學實踐的忠誠，否認存在任何以非平凡方式能夠辨認「i」的機制，從而數學對象——結構中位置的同一性來自數學實踐的預設。如果後者成立，那麼先物結構主義的論證就是以數學實踐的預設為基礎，這顯然與夏皮羅先物的本體論不相一致。正如赫爾曼(G.Hellman)的評論，就夏皮羅的方法而言，「在沒有從『結構關係』(實際上是結構本身)的結構主義觀點實質性脫離出來的情況下，把『對象』看作『被關係項』的純粹結構主義觀點站不住腳」[10]。其根本原因在於，先物結構主義無法說明數學家們如何以純粹結構的方式真正成功地處理結構。
事實上，結構主義的初衷正是遵循真正的數學實踐，任何基於哲學上的考慮而設置的本體承諾並不值得堅守。換言之，在無需對數學本體做出任何先物承諾的情況下，結構主義仍可以符合真正數學實踐的方式得到呈現。因此，可行的出路是：要麼放棄對數學實踐的忠誠，顯然沒有人願意選擇這樣做；要麼放棄先物結構主義的本體論立場，進一步反思數學結構的本質，為數學實踐提供新的解釋如赫爾曼的模態結構主義，或者從數學本身出發，闡釋結構主義的真義所在，如範疇結構主義進路。
二、數學本體之模態中立
在普特南(H.Putnam)模態思想[11]的影響下，赫爾曼將模態邏輯與結構主義相結合，試圖對算術、分析、代數與幾何等數學理論進行重解，通過模態結構主義重塑數學。他強調，我們應避免對結構或位置進行逐個量化，而應將結構主義建立在某個域以及該域上恰當關係(這些關係滿足由公理系統給出的隱定義條件)的二階邏輯可能性上。[12]反對任何形式的本體論化歸，以消除對任何數學對象的指稱，因此其模態結構主義亦被稱為消除結構主義(Eliminative Structuralism)。
1.模態中立與二階邏輯
模態結構主義的理論框架是建立在模態邏輯與二階邏輯之上的。在赫爾曼看來，通過一個表示二階邏輯可能性的初始模態運算元、數學結構中含有模態運算元的量詞以及對二階邏輯概括原則的限制，可以避免對可能對象、類或這種關係的承諾。一旦背景二階邏輯得到確定，就可以在所討論的特定數學理論上加入模態存在性假設，這對於超出三階或四階數論的理論同樣適用。因此，赫爾曼的模態結構主義用「模態中立主義」(modal neutralism)而不是「模態唯名論」(modal-nominalism)來定位更為準確。他始終強調，對象的本質與數學是完全無關的，「對象是有待抽象，而不是抽象對象」。([12]，p.199)
但是，二階邏輯本身的合法性很大程度上依賴於集合論的發展。在二階邏輯的語義學中，連續統假設、良序公理是否二階有效等問題都實質上是集合論問題。奎因就曾指出，二階邏輯實際上披著「集合論」的外衣，其中涉及「集合」的討論，在論題上沒有中立性，而邏輯應該在論題上保持中立，即它的有效性不應依賴於某些特殊的數學對象如集合的預設性質。顯然，二階邏輯在論題上的特殊性與模態結構主義的「模態中立」宗旨是相衝突的。秉承普特南的思想，模態結構主義的最初動機是用數學可能性替代數學存在性的概念，迴避對數學實體的本體論承諾。進一步用「在一個模型中滿足」概念來闡明「數學可能性」，使數學完全可以在沒有任何特殊基礎的情況下得以保留與發展。然而，對二階邏輯的依賴導致模態結構主義無法做到脫離對數學的集合論化歸。
2.模態重解的動機與可行性
赫爾曼的模態結構主義試圖用模態理論來重解全體數學，並說明模態結構主義數學與原有數學的等價性，用同等方式對待集合與全域V，分析與實數域R，算術與自然數系N。其動機並不是要代替ZF集合論基礎，而是要試圖在不依賴ZF集合論的情況下，直接用模態結構主義來闡釋所有的數學理論。比如，普特南指出，並不是說費馬最後定理對於現實的自然數是真的，而是說，對於以自然數彼此聯繫的方式彼此關聯的每一個可能的對象系統，費馬最後定理必然成立。[13]奎因對此策略表示反對，在其關於本體論的經典論文中提出，「模態邏輯搭建了一個『可能性的貧民窟』，使之成為無序元素的溫床」[14]。因此，模態邏輯只是混淆了本體論論題，沒有真正迴避本體承諾，而只是把它變得更為複雜。
赫爾曼對於模態結構主義有另外的動機。他堅信專註於可能性而不是現實的對象，將推進數學的創造性：「數學是通過(或多或少)嚴格推演的方式對結構可能性的自由探索。」([12]，p.6)但在數學實踐中，產生創新性工作的真實情況並非如此。比如，康托爾在取得關於超限數理論這一偉大成就時就不只是認為它們是可能的。相反，他堅信「數學是現實或存在的……因此它們以特定方式影響我們的心靈實體」。[15]縱觀數學的歷史發展，數學創造性的途徑歷來都是通過特定的數學需要和成就而來，它應該一直都是這樣，而不僅僅是思想的可能性。
事實上，對於任何一種基礎的過度依賴，都會阻礙數學實踐中創造性成果的產生。正如麥克萊恩(S.Mac Lane)給出的忠告，「任何確定的基礎都會阻礙從新形式的發現可能得來的創新性」。[16]這不僅適用於任何的確定基礎主義，對於模態結構主義亦是如此。數學家不可能只是通過稱目前的想法是可能的而非現實的來發現新的思想，也不會認為任何這種可能系統或結構是現實的。在真正的數學實踐中，沒有數學家會去懷疑他所處理的數學對象不是現實的，儘管這些對象與中等大小的物理對象截然不同。模態結構主義對數學的模態重解除了將把原本清晰的數學理論複雜化，對數學實踐本身並沒有提供任何新的貢獻。因此，要澄清結構主義的本質，揭示數學對象的本性就應從真正的數學實踐中來，也就是說，我們應考察數學家們是如何在數學內部開展研究的。正如瑪戴(P.Maddy)所言：「所有第二哲學家的動機都是方法論的，即那些產生好科學的東西……她不是『像當地人』那樣談論科學的語言；她就是當地人。」[17]
三、數學本體之範疇實在
在20世紀30年代著名代數學家諾特(E.Noether)結構化方法的影響下，麥克萊恩與艾倫伯格(S.Eilenberg)於1942年—1945年間先後給出自然同構(natural isomorphism)[18]、函子(functor)[19]與範疇(category)[20]的數學概念，在他們看來，「在元數學的意義上，我們的理論提供了可用於所有數學分支的一般概念，因此有助於推進將不同數學學科進行統一處理的當前趨勢」。([20]，p.236)在其後幾十年間，以上述概念為基礎，他們確立了數學的結構理論，成為代數、幾何、拓撲等結構數學的標準數學框架。需要指出的是，麥克萊恩與艾倫伯格的結構理論產生於數學實踐本身，而不是出於任何哲學的考量。直至1963年艾倫伯格的研究生勞威爾(W.Lawvere)用範疇論來描述自然數以及函數幾何等基本數學，範疇結構主義作為一種結構主義進路才進入哲學視域。
範疇結構主義的核心思想是：數學結構完全是由它們彼此之間的結構關係，具體而言，是通過結構之間的映射或態射得到定義。目前有兩種範疇結構主義，初等集合範疇論(Elementary Theory of the Category of Sets)，簡稱ETCS，與作為一種數學基礎的範疇之範疇(Category of Categories as a Foundation for Mathematics)，簡稱CCAF。這兩種範疇結構主義都深受勞威爾的影響。ETCS作為數學的公理化基礎，是由勞威爾1965年首先給出的。這一版本的範疇結構主義稱所有數學都是處理集合的且集合是在結構的、範疇的形式下得到公理化。只要數學沒有使用很多不同種類的結構，ETCS公理作為初等數論、代數、微積分，包括最前沿的微分方程理論的基礎是非常充分的。CCAF則使用了勞威爾1966年給出的公理。這種版本的範疇結構主義承認存在許多不同的範疇，更直接地適用於不同代數或幾何結構的深入論題。麥克萊恩主張ETCS，而勞威爾自己則支持CCAF。這兩個版本的範疇結構主義都認為，任何數學基礎都不可能滿足未來所有的數學發展，但現有基礎就是目前最好的基礎。範疇結構主義最初出現並不是以哲學為目的的，並沒有附帶任何一種特定的哲學本體論，但我們仍可以通過對範疇本質的反思，呈現其基本的本體論態度。
1.範疇的實在性
與其他結構主義進路一致的是，範疇結構主義也主張數學的本質是結構，但進一步主張結構的本質是範疇。勞威爾認為ETCS和CCAF以及其他的範疇都是實在的，不像模態結構主義那樣僅認為它們是可能的。集合的範疇、範疇的範疇、甚至是人們還未想到的範疇等都是實在的。[21]
19世紀結構主義數學家戴德金主張，我們在數學中通過構想得到新的對象：「我們不可否認地具有創造能力，不只是在物質事物(電報與鐵路等)，更特殊的是在思想事物上。」[22]其後結構主義者通常都贊同，我們通過構想這些對象來創造他們的結構，但在描述我們如何操作時有不同的方式。麥克萊恩20世紀30年代在德國研究數學時，深受希爾伯特(D.Hilbert)哲學與蓋格(M.Geiger)現象學的影響，他把形式與結構作為同義詞，並做出這樣的總結：「基於思想……實在世界根據多種不同的數學形式得到理解……」([16]，pp.441-444)但對他而言，這些思想不是像柏拉圖的理念那樣，它們通常是不完美的，甚至數學思想在最初引入的時候可以是含糊和晦澀難懂的。因此，他認為「數學是正確的，但不是真的。」這意味著「數學不做出本體論承諾」。([16]，p.443)
不做出本體論承諾，並不意味著他否認數學的實在性，麥克萊恩堅信數學不是心理學或主觀性的，而是客觀正確的，並且能正確地應用於物理測量。但迴避本體論承諾而選擇對數學陳述進行「正確」與「真」的區分，這實際上是把情況變得更為複雜。由於他承認正確的數學能夠具有真的物理應用，那麼他有必要說明在正確與真之間的真正區別是什麼。
勞威爾主張正確的數學就是真的。他贊同黑格爾與馬克思的哲學，堅持認為，所有知識都是辯證地得到發展。數學與經驗科學不是一回事，與哲學也不是一回事，但卻是與它們共同發展而來的。回顧過去150年數學的真實發展過程，他總結道：「通過對集合與映射思想的持續考察」，數學家們發現了許多事情。特別是，他們發現人們可以推演得到一些陳述，並稱之為公理；且經驗表明這些陳述足以推演絕大部分其他的(關於集合與函數的)真陳述。[23]在他看來，這些關於集合與函數的陳述對於真正的集合與函數是真的。因為數學真理與實在和所有的真理與實在一樣：永遠不會僅僅是經驗的或是柏拉圖式的，它們通過科學的進步辯證地被發現。[24]
麥克萊恩與勞威爾都承認數學對象的實在性，認為即使在邏輯學家為數學對象創造任何形式的基礎之前，它們都是存在的。二者的分歧在於，麥克萊恩把集合作為空間和代數結構以及其他結構的基礎，認為數學應該全部圍繞集合範疇得到組織；而勞威爾則認為許多其他的範疇結構與集合範疇結構一樣基礎。因此，集合、集合範疇與範疇之範疇對於範疇結構主義哪一個更為基本，成為探究範疇論結構主義本體論特徵的關鍵點。
2.集合、集合範疇與範疇之範疇
歷史地看，遠在戴德金和康托爾等數學家確立集合論基礎之前，數學家們就已發現大量代數和幾何理論，包括實微積分和復微積分。在關於實數的ZF集合論定義給出很久之前，黎曼就已發展了大量的拓撲、複分析以及彎曲空間的微分幾何學。誠然，我們不會僅因為一些數學成果的出現在時間上先於ZF集合論，就將其作為否認ZF集合論基礎地位的理由。事實上，相較於ZF集合論，範疇論的確立時間更晚。在數學實踐中，也沒有數學家會否認ZF集合論是數學強有力的組織工具。但需要明確的是，集合範疇並不比其他範疇更為基本。[25]20世紀50年代在勞威爾還是一名學生時就發現，數學研究中使用了許多不同的範疇，那些範疇太大以至於不能作為ZF集合來處理。基於這些歷史與邏輯原因，我們認為將CCAF作為範疇結構主義的恰當理論框架是合理的。
貝納塞拉夫1965年在其著名論文《數不可能是什麼》(What Numbers Could not Be)中，將矛頭直指集合論的多重基礎問題。在ZF集合論中，同一自然數比如2，可化歸為兩種形式，其策梅羅集合形式為，而馮諾依曼集合形式為。究竟哪一個才表示了真正的自然數呢?自然數的集合論處理會導致一些矛盾的結果。可以說，這正是開啟當前數學哲學中結構主義的主要動因。但如前所述，先物結構主義、模態結構主義都支持二階邏輯，因而對集合論有著直接或間接的依賴，範疇結構主義則強調在元數學的意義上範疇是比集合更為基本的概念。下面我們不妨以自然數結構為例，闡明範疇論如何在不引入任何特殊集合的前提下，給出自然數的結構。
與ZF集合論解釋相反，勞威爾首先在ETCS中定義自然數如下：
定義1：一個自然數對象即一個集合N，一個函數s：NN，一個元素0∈N，使得對於任意集合S，函數f：SS，以及元素x∈S，都有一個唯一的函數u：NS，其中u(0)=x，且us=fu。
圖1
ETCS自然數定義箭頭圖
u是S中的一個序列，其中u(0)=x，u(s0)=f(x)且u(ss0)=f(f(x))，依此類推。數學實踐中，數學家們都是用這種方式定義某集合S中的序列，而幾乎沒人使用ZFC中的馮諾依曼數或策梅羅數。
定義1表明了如何根據自然數集合N與其他集合之間的函數定義自然數的集合N。基於數學基礎的嚴格性，我們不妨進一步說明集合範疇論如何定義一個單元素集1。
定義2：一個單元素集1是一個集合，它滿足對於每一個集合S都有且僅有一個函數f：S1。
直觀上講，一個單元素集1隻有一個元素，每一個集合S有且僅有一個到1的函數。因為這個函數必須把每一個S中的元素都變為1中唯一的這個元素上。不難看出，定義2是純粹結構上的，它不討論1的元素，而僅說明1如何與所有集合有關。任何包含ZF集合論的集合論都主張，一個集合S中的每個元素x∈S都確定了一個唯一的函數x：1S，它挑選出那個唯一的元素。為了實現純粹的結構化，ETCS只是表明了元素是函數x：1S。
定義1表明0∈N，因為0是一個函數1N。將後繼函數作用到0，則得到s0∈N。再將s作用到s0上則得到ss0∈N，以此類推。我們寫作0，1，2，3……而不是0，s0，ss0，sss0……
圖2
自然數後繼關係箭頭圖
結構主義的核心主張是，我們不單個列舉0，s0，ss0，而只通過函數s將他們聯繫起來。另有ETCS公理表明存在其他的集合。由此可見，ETCS公理足以成為大部分算術、分析與幾何的基礎。[26],[27]但需指出的是，所有集合的範疇不是ETCS的現實對象。這與ZF集合論一樣，後者描述所有集合的域，而該域並不是ZF中的現實對象。
當前某些數學分支已在使用和探討集合範疇Set或拓撲空間範疇Top這類大範疇。如集合範疇，記為Set，將集合作為對象，函數作為箭頭；拓撲空間範疇，記作Top，把拓撲空間作為對象，連續函數作為箭頭；群範疇，記為Grp，把群作為對象，把群同態作為箭頭。目前這些不同範疇已成為組織不同種類結構的方便途徑。
範疇論不僅局限於刻畫某特定數學領域的內部結構，更重要的是，通過範疇間的函子它可以把不同種類的結構關聯起來。比如，拓撲學家可以通過考察第一同調群研究拓撲空間S。[24]的代數揭示了有關S幾何的信息。對於每一個連續函數f：ST，都有一個群同態。拓撲空間範疇到群範疇存在一個同調函子：：TopGrp。它把每個空間S變為，把每個連續函數f：ST變為群同態。把Top作為一個空間與函數的網路。函子將該網路轉換為Grp中的群與同態形成的網路。該函子承接了空間中的所有拓撲關係，並將這些關係描述為群之間的代數關係。其他更高維的同調函子描述拓撲與代數之間更為深入的關係。通過這種做法，解決某些拓撲問題的難度被大大降低。
進一步地，函子間可複合。我們可以對任意函子F：SetTop與進行複合，得到一個從Set到Grp的函子。(見圖3)
圖3
Set、Grp與Top之間的函子複合關係圖
基於此，Set、Grp、Top以及其他的一般範疇是某更大範疇的對象，該更大範疇具有函子作為箭頭。如果僅止步於把ZFC或ETCS作為終極數學基礎，就會導致無法說明為什麼不存在所有集合的集合，也不存在所有集合的範疇Set以及所有Grp或所有Top這類範疇。儘管目前出現許多集合論方法如用格羅騰迪克域[29]來替換這些範疇，但實際情況是幾乎沒有數學家願意如此深入的思考集合論。
在沒有給出任何邏輯基礎的情況下，數學家們仍在探討上述大範疇以及函子的相關工作。對於數學而言，真正重要的其實是範疇之間的函子網路。基於這一發現，勞威爾給出了邏輯上正確的相關公理，這些公理直接用範疇論術語描述上述模式，因此被稱為CCAF公理，即作為一種基礎的範疇之範疇。[30]CCAF並不依賴集合論或任何特定理論來定義範疇或函子，無需預設任何對象的集合或箭頭的集合，而只通過描述範疇之間的函子網路來揭示範疇之間的純結構關係。
具體來看，CCAF公理分別給出了單元範疇與由兩個對象構成的範疇公理。
CCAF公理1：存在一個範疇1，使得每個範疇A有且僅有一個函子1A。我們稱之為單元範疇。
範疇1有且僅有一個對象，這與只具有一個元素的ETCS集合1一樣。形式上，定義某範疇A中的一個對象為一個函子A：1A。這就像定義某ETCS集合S中的一個元素x為一個函數x：1A。
CCAF公理2：存在一個範疇2。該範疇有且僅有兩個對象，有且僅有三個函子。
範疇2具有兩個對象和三個箭頭：兩個對象分別是0和1，對象0與1是函子0∶12與1∶12；箭頭分別是01以及到0與1的單位箭頭，即2上的單位函子22，把2中所有東西都變為0的函子以及把所有東西都變為1的函子。這些函子是0∶212與1∶212的複合。形式上，CCAF定義某範疇A中的箭頭f為一個函子f：2A。因此根據定義，在定義的範疇2中只存在三個箭頭，這三個箭頭對應於22的三個函子。直觀來看，一個函子f：2A把箭頭α映射到範疇A中，以挑選出一個A的箭頭f。A中的箭頭f是一個從2到A的函子。範疇2中對象與箭頭(見圖4)。
圖4
範疇2中對象與關係的關係圖
在此基礎上，其他CCAF公理斷言其他範疇的存在。特別是，我們通常使用這樣一條公理，該公理表明一個範疇存在，該範疇的對象與箭頭滿足ETCS公理。我們可稱該範疇Set。用這種方式CCAF可使用範疇集合論的所有結論，同時具有遠大於集合的範疇，比如Grp與Top。需要指出，不存在最大範疇，任何範疇仍可作為另一個範疇的對象，因此所有範疇的範疇並不存在，不能將其作為CCAF的一個對象。
對於函數x：1A能否真正成為集合A中的一個元素，一個函子f：2A能否真正成為A中的一個箭頭，仍存有爭議。一些哲學家認為集合的元素必須出現在函數之前，範疇的箭頭必須出現在函子之前。但結構主義的根本宗旨是，我們並不試圖說明事物究竟是什麼，而只是說明事物如何彼此關聯。ETCS與CCAF的定義將對象與函子彼此關聯起來，就像元素與函數在集合論基礎中彼此關聯的方式一樣。但與ZFC情況不同的是，ETCS與CCAF公理的焦點完全放在結構關係上。反映數學家們如何真正在其工作中關注結構關係，正是勞威爾給出上述公理的主要動因。
正如阿沃第(S.Awodey)對範疇的描述，「範疇為給定的數學結構提供了一種表徵和描述的方式，即在具有所討論的結構的數學對象之間映射的保存方面。範疇可以理解為包含具有某種結構的對象以及保有該結構的對象間的映射。」[31]
3.同一性、同構與相對於範疇的同構
結構主義的根本宗旨是強調數學的本質在於結構，數學對象就是數學結構，認識數學對象的方式就是揭示其結構特徵。揭示數學結構之間保持結構的過程，以及何為同構是所有結構主義所共同關注的核心。對於任何結構主義者而言，同構完全揭示並體現了數學的基本信息，因而無需探究特定數學對象的同一性。在這個意義上，將同構等同於同一，進而對結構主義提出的批判並不合理。
範疇論對同構的一般定義可概述為：一個不起任何作用的態射，兩個解除彼此作用的態射。該定義由艾倫伯格與麥克萊恩給出：在任何範疇中，每一個對象A具有一個單位態射1A：AA，由以下性質得到定義：它與任何一個從A或到A的態射複合，只是留下那個態射：
圖5
單位態射性質圖
把看做什麼都沒有做。於是，態射f是一個同構，當某個態射g：BA有複合態射gf等於：AA，且複合態射fg等於∶BB：
此處f與g彼此解除。
圖6
同構的定義
範疇論對同構的定義統一了許多傳統的同構定義，如模型論中模型的基本嵌入被看成是態射。需注意的是，同構定義儘管是一般性的，但同構都是相對於某個範疇而言的，這一點在數學實踐中非常重要。不妨考慮下述三個著名論斷：
(1)橢圓曲線都是環面。
(2)環面都彼此同構。
(3)橢圓曲線不是都彼此同構。
上述論斷最早在19世紀70年代就被提出，在數學上都正確。但其中蘊含了顯然的矛盾。出現矛盾的原因在於，人們混淆了不同範疇中的同構，因此可將上述陳述修改如下：
(2")環面都彼此拓撲同構(在拓撲空間範疇中同構)。
(3")橢圓曲線不是都彼此分析同構(在複流形範疇中同構)
魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass)1863年在分析中對橢圓曲線進行了分類。其分類依賴於黎曼(B.Riemann)1851年的發現，而黎曼的發現表明這些曲線在拓撲上都是等價的。儘管黎曼與維爾特拉斯認識到拓撲中的同構與分析中的同構存在差別，遠在範疇論出現之前，但這些差別至今仍必須嚴格、謹慎處理。事實上，我們不僅只是在拓撲與分析中對同構進行區分，而應在不同數學分支中都使用與之相關的同構，顯然範疇論是滿足這一需求。
僅依據單位態射與兩個態射的複合而給出的範疇論同構定義可適用於任何數學。但在不同的範疇中，同構是各範疇中的同構，更不能把不同範疇中的同構視為是同一的。比如對於自同構[32]來說，許多數學結構S具有不同一的自同構。也就是說，它們具有到自身的同構SS，不同於其單位態射：SS。
但這對結構主義能構成挑戰嗎?回答是否定的，我們不妨通過下例說明。
所有結構主義者都承認復共軛是複數C中的一個自同構。複數記為a+bi，其中a，b為實數，復單位i定義為=-1。共軛把任意a+bi變為a-bi。換句話說，它固定了任意實數a，b不變，而把i變成了-i。當然也有=-1。一個自同構應該保留所有的結構性質不變，但共軛把i變成-i，反之亦然。這表明了，即使i≠-i，但是二者在結構上同一，因此結構主義者不能對它們進行區分。關鍵的問題是，結構主義者應該有必要或者有能力對它們加以區分嗎?
在實踐中，數學家們對上述問題有嚴格的解答，儘管他們不是出於哲學的需要。稱共軛是C中的一個自同構，這一論斷過於簡化。在某些語境中，復共軛是複數中的一個自同構，在其他語境中則不是。代數中稱共軛是C的一個自同構，這在複分析中不成立。相反，複分析中稱對於每個複數，都有一個C的自同構把每個z∈C對應到z+，這一點在代數中則不成立。實際上，代數學家與分析學家都能達成共識，因為他們通常是同一批人。而在代數與分析中都在使用關於C的代數與分析事實。代數學家在實代數範疇與代數同態中考察C。復共軛是該範疇中的一個態射，也是它本身的逆。加上一個常量則不是一個代數同態，除非=0。分析學家則是在複流形與全純映射中考察C。復共軛在該範疇中不是一個態射，但加上任意固定的∈C則是，其中減去是它的逆。全純映射的定義使i和-i具有幾何上的差別，因為i處於虛數軸上由實數1逆時針方向旋轉的位置，而-i則在順時針旋轉的位置。復共軛把平面反轉了，它不是全純的，因此在複流形範疇中不是一個自同構。如圖7所示：
圖7
複流形範疇中的共軛關係
另一方面，由於復共軛是實代數範疇中的共軛，i與-i具有相同的實代數關係。該範疇符合代數學家的目的，因而代數學家絕不會對i與-i進行區分，更不會也沒有必要給出對二者加以區分的理由。
數學家們通過使用結構數學的常規工具來區分i與-i。即使他們只關注數論時，也會在不同範疇中來看待C。[33]在某些範疇中共軛是一個同構，但某些範疇中則不是，數學家們實際上用不同方式來區分在不同語境中的i與-i。對於範疇結構主義而言，i與-i之間的區分僅僅在於二者結構上的區分，即二者之間是否同構——依賴於範疇的同構。
總之，同構是特定範疇中的同構。在某一範疇中兩個對象同構，在其他一些範疇中則可能不同構。兩個對象可以既在一個範疇中又在另一個範疇中，是否意味著對象是獨立於範疇而存在的?回答是否定的。從本體論上來理解，數學對象即結構，而結構就是數學家們真正討論的「事物」或「主題」——範疇中的對象。具體而言，數學對象就是數、集合、群以及範疇空間等。這些不都是範疇，但它們都是範疇中的對象。範疇本身也是數學對象，因為範疇是範疇之範疇中的對象。換言之，所有結構都是範疇中的結構，每一個範疇都是一個結構，但並不是所有結構都是一個範疇。
在某些範疇中，同構可能就是同一性，而不同範疇之間的同構可能是同一性也可能不是，這取決於我們在哪個範疇中對其進行探討。但不管所探討的主題是什麼，我們所關注的數學結構是能夠對其進行抽象，並通過能反映其間關聯的映射或箭頭所呈現出來的範疇。有時這是一個高度抽象化的過程，但反過來，正是由於範疇之範疇作為最根本的出發點，適用於任何特定的主題，從而得到不同的範疇。因此，在這個意義上，我們可以把範疇的範疇作為一種現實的數學基礎。範疇是現實存在的，給出一個範疇，我們同時就有範疇的對象與箭頭，這都是現實可達的。
注釋：
一個性質為「結構的」，即它可根據一個給定結構中的關係得到定義。
實際上是戴德金關於自然數歸納函數定義的定理126。
我們稱一個結構S的自同構為任何到S自身的同構。庫里(T.Kouri)對同構的哲學爭論進行了專門討論。
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