無緣無故的愛：愛の數學推導

知識 12-08

利維坦按：拋一次硬幣，正面朝上的概率是多少？中學時代老師會告訴你，可以拋一百次硬幣來估算每次拋硬幣結果的概率，拋兩百次的話你的估算結果會更準確。但如果讓你預測某場足球賽某一方獲勝的概率呢？我們總不能讓雙方先來個一百局比賽，再去評估某一方獲勝的概率吧。

這個時候我們就會需要信息。我們會儘可能去獲取關於兩支球隊過往所有比賽的勝負率，個體球員的表現等等所有能夠幫助我們計算獲勝概率的信息，然後再綜合所有信息提供的參考價值，計算出一個概率值。

這是兩種截然不同的看到事件發生概率的方式。前者我們稱之為頻率論，而後者我們就需要用到貝葉斯概率（Bayesian probability）理論。用一句話講，貝葉斯概率理論就是通過信息獲取來提高概率計算的準確度。之於愛情，貝葉斯概率論依然適用。

文/Suki Finn

譯/斬光

校對/喬琦

原文/aeon.co/ideas/beyond-reason-the-mathematical-equation-for-unconditional-love

本文基於創作共同協議（BY-NC），由斬光在利維坦發布

文章僅為作者觀點，不代表利維坦立場

《街上的一對情侶》（The Couple in the Street，1887），查爾斯·安格朗（Charles Angrand）作。圖源：Musée d"Orsay/Wikipedia

此時此刻，在廣袤大地上的無數卧室里，痴男怨女們正在為愛情哀嘆。愛情很重要，許多人等待著它的降臨，或是期望著出門遇見愛，還有人讓自己的一生圍著愛情轉。但愛情究竟是什麼呢？在這篇文章里，

我將仔細闡述我本人發現愛情本質的過程——出人意料的是，貝葉斯概率統計幫了我大忙。

請考慮兩種類型的愛：

有理由

的愛

和

無理由的愛

。這兩種愛情究竟意味著什麼？

這世上真的存在無

理由

的愛嗎？

如果真的存在，那麼它符合理性嗎？為了搞清楚這種我們稱之為「愛」的令人暈頭轉向的複雜情感，我將在「有理由/無理由的愛」和「有

理由

/無

理由

的信念強度」之間做一組對比。

這並不是說，我認為愛情是一種信念。我只是想通過比對有

理由

/無

理由

的信念這組參照，從中得出具有啟發性的潛在有益類比。

信念的強度叫作

置信度

（credence）。我們可以用0到1之間的數值來表示置信度，0是完全不相信，1就是完全相信。不過，重要的一點是，這些數值不是一成不變的，每當有新的信息進入時，置信度也會隨之改變。

比如說，我相信這篇文章是個爆款！我對此相當有信心，想想看，這篇文章的主題這麼棒，網站讀者群體這麼大，有什麼理由不火呢？所以，我的置信度在0.8左右。

圖源：Clipart Library

儘管我想不到任何這篇文章不火的理由，但還是做點假設，設想我收到了一些壞消息——或許編輯告訴我，他們將在發表這篇文章的時候貼上警告：「

讀了這篇文章，你會連倒7年霉。

」

有了這條新的信息，我就會把這篇文章火爆的置信度從0.8下調到0.4，畢竟我覺得，有些讀者還是挺迷信的，他們為了不冒倒上7年霉的風險，寧可不看我對愛情的精闢見解。嗯，我完全理解。

但是，你應該如何根據已有的信息，去理性地改變自己的置信度，並將之調整到合理的數值呢？可以使用貝葉斯概率論來計算有

理由

的置信度（conditional credence）。

如果評估某個置信度的過程與某條信息有關，也就是這條信念的強度對這條信息敏感，會隨著這條信息而更新

，那麼我們就說，

這是一個依賴於信息的有

理由

的置信度。

聽起來完全行得通吧？——有了新證據，我當然得及時改變信念的強度。

但如果我的置信度對證據完全沒反應呢？如果這條信念堅如磐石不轉移呢？這種情況就是置信度為1，換句話說，這是一條完全確信的信念，強到不能再強，也不會再有變化。它既不會變強

（因為已經是最強）

，也不會隨著證據而變弱

（因為它根本不是建立在證據之上的）

。

無論信息會對別人的信念造成何種影響，如果你的置信度為1，那你就會毫不動搖。

正如貝葉斯統計告訴我們的那樣，無論負面信息有多強，你的置信度就是1，它就是不會變。這麼說來，置信度為1就真的完全不能改變了。

或者，會有意外？

圖源：Brain Pickings

以上所述的都是理性地改變置信度，在這種情況下，都是根據相關的信息來改變對某事的信念強度，這很理性。

但是，我們也可以

不理性地改變信念強度

，甚至可以隨機改變！

有理由地做某事就是理性的行動，沒理由地做某事就是不理性的行動。所以，

雖然貝葉斯理論告訴我們，置信度1不能理性地改變，但或許它可以

不理性

地改變啊。

接下來，我將展示如何把這個理論應用到理性的有

理由

之愛和不理性的無

理由

之愛上——無

理由

的愛就像是擁有置信度1。

有

理由

的愛意味著什麼呢？問問你自己，你為什麼愛某個人？或許，她很善良、有趣，或者很聰明——你是有理由的！或許他有很多可愛的特質，你愛他就是因為他是這樣可愛的人，因為他給你的感受正是如此可愛。所以，有

理由

的愛就是這樣基於理由的愛，會隨著這些理由的改變而改變。這就像是置信度落在了0和1之間，卻不包括0和1。

你可能有點愛她，愛到0.3，或許很愛很愛她，愛到了0.9。也許開始的時候是0.3，但隨著獲得的信息越來越多，也就是你在他身上發現了越來越多正面特質，你對他的愛就會上升到0.9。或許，她幹了什麼傷害你的事兒

（提供了更多的信息）

，那麼愛的程度就會下降。

如果你的情感強度會隨著相關信息改變，哲學家就會說你理性。總結一下，理性之愛就是：理由越多，愛得越深；理由沒了，愛也就沒了。

這種有

理由

的愛可以類比為0到1之間的置信度

（不包括0和1）

，會隨著證據的改變而改變。

圖源：Thinking Animation

而另一種情況，無

理由

的愛，則不會隨著任何信息而改變，因為它根本不是建立在信息之上的。

這就是沒理由的愛，沒有任何證據或信息能改變它。你為什麼愛某人？沒有為什麼！正如男孩地帶（Boyzone）和奧斯蒙家族（the Osmonds）在歌中唱的那樣：「不要把愛當成玩鬧，女孩/讓我成為你的真命天子，女孩/給一個愛我的理由/那個理由就是愛。」

【譯者注，這兩個樂隊有一首同名歌曲《給我一個愛的理由》（Love Me For A Reason），本段選自男孩地帶的那首。】

如果這類「為什麼」的問題除了愛本身沒有別的答案，如果你的愛不依賴任何外物，如果你的愛不隨任何事情而改變，那這就是無條件的愛。這種愛本身就有一種不可觸及的不理性本質。就像置信度1一樣，它只可不理性地改變——因為它不遵守任何貝葉斯定律，不會隨著證據而改變。

強烈如置信度1一般的愛不會因為任何原因而小於1，因為它是無條件的，不會響應任何狀況。你陷入或者脫離這種無條件的愛，都要聽憑愛情本身處置，別無他法。

當這種沒來由的愛突如其來地擊中你，那它就能一直持續下去，不會因為任何負面的理由、證據或信息而有一絲動搖。

這就是不顧一切的愛，比起有理由的愛，它不會被任何理由改變。

正如莎士比亞所說：「若是遇有變節的機會就改變，愛就不是愛。」

但這並不意味著穩定！這種愛只是脫離了你的控制，會毫無理由地消失！

（真的，毫無理由地消失就是這種愛消失的唯一方式！）

說了這麼多，我並不是意在證明一種愛比另一種愛更有價值——畢竟，我們珍視理性之愛的過程，也嚮往不顧一切的愛之極致。基於證據、步步為營地走向有條件之愛更為可控，而且也正如貝葉斯理論的類比那般更為理性。但是，

這種有

理由

之愛的理性增長，最後能臻至無

理由

之愛的極致嗎？它能夠通過理性最後抵達置信度1嗎？

如果不能的話，那麼在一場「因為」某種原因的戀愛里，你就牢牢地把自己限制住了，永遠不能抵達無

理由

之愛的「無限風光在險峰」。這種愛就跟置信度1一樣本自具足、確定無疑、不可動搖。

圖源：Monster GIF

這裡給出了證明，僅供數學家一哂。

通過新條件來更新置信度的公式如下所示：

_更新

(p)=Cr

_初始

(p|e)

Cr是置信度。

p是某個命題或事件，Cr(p)就是p發生的概率，數值在0到1之間。

e是作為證據的某個命題或事件，Cr(e)就是e發生的概率，數值在0到1之間。

下角標「更新」的意思是，當考慮到新證據e之後，「初始」置信度變成了「更新」置信度。

下角標「初始」就代表還沒有新證據e之前的「初始」置信度。

p和e之間的豎線「|」可以讀作「基於新的條件」。

那麼我們如何計算Cr_初始(p|e)呢？就像這樣：

Cr(p|e) = Cr(e

∩

p)/Cr(e)

如果p的置信度為1，那麼無論e的置信度有多大，p的置信度也不會有變化。

可以通過如下方法證明：先假設Cr_初始(p)=1，然後證明Cr_更新(p)只能等於1。

如果

Cr(p)=1

，那麼有定理

Cr(e)=Cr(e

∩

這一定理是根據概率的第三公理「可加性」得來的

e等價於(e∩p)∪(e∩?p)

所以，Cr(e)=Cr(e∩p)+Cr(e∩?p)

所以，很明顯Cr(e∩?p)=0

再次使用「可加性」公理，推導可得：

Cr(?p)=Cr(e∩?p)+Cr(?e∩?p)

既然我們規定Cr(p)=1，那麼必定有Cr(?p)=0

所以，既然Cr(e∩?p)與Cr(?e∩?p)之和為0，而它們又都是非負數，那麼二者必定都為0

這麼一來，Cr(e)=Cr(e∩p)+Cr(e∩?p) 中的Cr(e∩?p)=0

所以，Cr(e)=Cr(e∩p)

利用這個結果，就能證得結論：

Cr(p|e)= Cr(e∩p)/Cr(e)=1

已知Cr_更新(p)=Cr_初始(p|e)，而剛剛已證明Cr_初始(p|e)=1，

那麼當Cr_初始(p)=1時，對於任何e，

只要Cr(e)≠0，就有Cr_更新(p)=1

所以，置信度1是理性上不可動搖的。無條件的愛也是如此。誰說數學裡沒有浪漫呢？

這個想法是某個項目的一部分。該項目受到了歐洲研究委員會的資助，資金來源於歐盟的《地平線2020研究和創新計劃》，基金項目號679586。

本文作者蘇琪·芬恩（Suki Finn）是英國南安普頓大學哲學系的博士後研究員，研究項目為歐洲研究委員會資助的《更好地理解懷孕的形而上學》（Better Understanding the Metaphysics of Pregnancy）。她的研究領域還有形而上形而上學（metametaphysics）和邏輯哲學，已經在各種哲學刊物上發表了自己的研究成果。