如何證明圓周率為無理數？

在三千多年前，人們就已經開始使用圓周率。但直到兩百多年前，圓周率是無理數才被德國數學家蘭伯特所證明。

所謂的無理數是指無法用分數表示的數，只能寫作無限不循環的小數。當年，蘭伯特發現，tan(x)可用如下的連分式展開表示：

然後，他證明了倘若x是非零的有理數，那麼，上述表達式肯定就是一個無理數。由於tan(π/4)=1，1是有理數，所以π/4是一個無理數，由此就證明了圓周率π是一個無理數。

其他證明π是無理數的方法大都是用到微積分和反證法，下面介紹一下由美國數學家伊萬·尼文（Ivan M. Niven）在1947年證明π是無理數的方法。

假設π是有理數，那麼，它可以由分數表示，令π=a/b，其中a和b均為整數。

定義如下的函數f(x)和F(x)：

上述兩式中的n都是正整數。

根據上式可知，f(x)及其任意階導數f^k(x)都滿足f(x)=f(π-x)，並且它們都在x=0和x=π處可積。此外，f^k(0)和f^k(π)都是整數。顯然，F(0)和F(π)也都是整數。

通過對F"(x)sinx-F(x)cosx進行求導可得：

由此可得下式：

由於F(0)和F(π)均為整數，所以F(0)+F(π)也是整數。當x∈(0, π)時，f(x)>0，並且sinx>0，所以f(x)sinx>0，這也意味著F(π)+F(0)>0。也就是說，f(x)sinx在[0, π]上的積分是一個正整數。

另一方面，當x∈(0, π)時，a-bx

從上式可以看出，當n趨於無窮時，f(x)sinx趨於零，這意味著f(x)sinx在[0, π]上的積分也會趨於零，這與該積分是正整數相矛盾。因此，π≠a/b，這意味著圓周率是一個無理數，由此得證。

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