震驚數學界的「希爾伯特計劃」差點就成功，竟被哥德爾搞黃了

兩個天才的

Battle

19世紀末到20世紀初，數學正處於空前興旺發達的時期。

但是，事物的發展都具有兩面性，表面看上去越是繁榮昌盛，背後就越容易隱藏著危機——第三次數學危機。

集合論作為數學的最重要的基礎之一，已經滲透到眾多的數學分支，但是卻有人在集合論中找到致命的悖論。它直接衝擊了以嚴謹著稱的數學和邏輯學科，動搖了傳統的數學概念、數學命題和數學方法的可信性標準。

就好比突然有一天，我們被告知，從小開始背的乘法口訣可能全是錯的。

其中最具代表性的就是羅素於1919年提出的「理髮悖論」了。

某村理髮師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。

悖論性質："理髮師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。

為了捍衛數學的嚴謹性和科學性，一位巨人站了出來——希爾伯特。

戴維·希爾伯特，德國著名數學家

希爾伯特被稱為「數學界最後一位全才」。他最擅長的「非構造性證明」和「排中律」是數學界最具特色也是最具爭議性的證明方法之一。

舉個栗子：

「非構造性證明」：一個教室里有100個座位，但只坐99名學生。可以斷定的是，一定還有一個空位，但是我們卻無法確定那個空位具體在哪個地方。

而「排中律」就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。

希爾伯特就是受到「非構造性證明」和「排中律」的啟發，於1920年提出了著名的「證明論計劃」，又稱為「希爾伯特計劃」。

「希爾伯特計劃」有點類似於程序員編碼時使用的C語言，欲把所有數學形式化——所有數學表述都應該用一套具有統一標準的數學語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。

而且，無論多深奧、多複雜的數學猜想，只要我們按照這個方法來做，「真相大白」只是時間問題而已。

超模君說了那麼多，希爾伯特計划到底意義何在？

第一，捨棄了自然語言之後，數學表述變得更加嚴謹。

比如：「存在一個集合是空的」 。

第二，數學具有完備性。換句話說，只有這個數學陳述是正確的，我們就一定可以用這個方法來證明它的真偽性。

第三，數學具有一致性。也就是說，不會出現自相矛盾的數學陳述，這就確保了，我們在不違背邏輯的前提下獲得的結果是有意義的。不會出現一個陳述，它既是真的又是假的。

希爾伯特的最終設想其實就是，找到一個合理的演算法，就可以套用這個方法來判定所有數學表述的真偽性。

這聽上去，好像的確是一個不錯的計劃，而實際上，希爾伯特卻是「搬起石頭砸自己的腳」。

1900年8月8日，希爾伯特在第二屆國際數學家大會上作了一個被稱為「20世紀數學至高點」的演講，演講中，希爾伯特提出了23個數學問題。

當全世界的數學家們都在致力於解決這「23個數學問題」時，哥德爾卻仍惦記著希爾伯特計劃，最讓人驚訝的是，他居然把「希爾伯特計劃」給推翻了。

庫爾特·哥德爾，數學家、邏輯學家和哲學家

可以說，哥德爾就是因為希爾伯特才開始喜歡搗鼓數理邏輯的。

他讀完希爾伯特的《數理邏輯原理》後，乾脆就從論文中選了一個話題當作他的博士論文主題——「在形式系統中，真的命題是否都是可證明的？」

哥德爾這篇博士論文的結論便是鮮為人知的「哥德爾完全性定理」——一階謂詞演算是完備的。但是這個定理卻有個致命的缺點：一階邏輯的局限性過高，甚至它連自然數都定義不了，就更別說做算術了。

哥德爾發現這個問題後，用了一年的時間來做更深層次的研究，卻得到了一個完全相反結論——哥德爾不完全性定理。（其中包含了第一定理和第二定理）

第一定理：任意一個包含一階邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否。

也就是說，要是我們能在一個數學系統中做算術的話，那麼要麼這個系統是自相矛盾的，要麼有那麼一些結論，它們是真的，我們卻無法證明。

第二定理，如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。

說得通俗點就是，哥德爾在希爾伯特的方法證明數學陳述時，產生了邏輯矛盾，得到了一個又真又假的的悖論，否定了希爾伯特提出的一致性。

那為什麼說希爾伯特有種「搬起石頭砸自己的腳」的感覺呢？

因為哥德爾推翻希爾伯特計劃和證明這兩個定理的過程當中，運用的就是希爾伯特計劃提及的：形式化。而且哥德爾還完美的解答了希爾伯特提出的「23個數學問題」中的第二個問題。

首先，哥德爾按照希爾伯特的思路，他將所有的數學陳述用嚴格的符號表達；

然後再把它們全用自然數來代替（哥德爾數化）；

最後再通過數學歸納法的遞推性來加以證明；

然而哥德爾發現他得到的結果仍是一個自然數。

說白了就是，這個數學陳述陳述了它自己——自指。

超模君給模友們舉一個很簡單的例子，「這句話是錯的」，那它到底是對的還是錯的？

同理，引起第三次數學危機的「理髮悖論」也是一個邏輯爆炸的自指過程，這也代表著哥德爾成功推翻了希爾伯特計劃。

「理髮悖論」的數學表達：如果存在一個集合A=，那麼A∈A是否成立？如果它成立，那麼A∈A，不滿足A的特徵性質；

如果它不成立，A就滿足了特徵性質。

不得不承認，天才就是天才。哥德爾巧妙地利用了「自指悖論」，構造了一個其自身就不可證明的命題，從而得出這幾個結論：

一、如果它是真的，那麼我們得到了一個真的而又不可證明的命題，則系統不具備完備性。

二、如果它是假的，那麼存在一個它的證明，這樣它應該是真的，說明系統是自相矛盾的、不一致的。

三、最後，我們假設系統是一致的，但這樣又會與上述的「命題的不可證明性」相互矛盾。

這就是哥德爾不完全性定理第一定理的思路，前兩點（第一定理）針對解答了希爾伯特計劃中指的完備性，第三點（第二定理）則是關於一致性的解答。

哥德爾這波神一般的操作，不僅把人們從「23個數學問題」中吸引了過來，還徹底粉碎了「希爾伯特計劃」，如果我們假定數學不會自相矛盾的話，我們就必須承認數學是不完備的，也就是說有這麼一些數學命題是不可判定的：我們既不能證明它們為真，也不能證明它們為假。

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