分形：科學與藝術的完美結合

知識 12-24

你見過這種椰菜花嗎？

分形椰菜花 | 圖片來源：Wikipedia

它的樣子是不是特別魔性？整個椰菜花由一個個尖尖組成，而每個尖尖上面又有尖尖，就像一個小的椰菜花，如此重複……

這種椰菜花就是一種分形，你可以在超市買到的，看得見摸得著的分形。

說起分形，可能大家只會不明覺厲。但要辨別分形其實很簡單：給你一個形狀，如果將它一部分放大之後，差不多就是原來的形狀，那麼它多半就是個分形。

比如說一棵樹，如果砍下它的一根枝條，你會發現枝條本身跟樹長得差不多，都是枝枝丫丫各有分叉，就是尺寸小了點，所以說樹的形狀差不多就是分形。反過來看一個球的話，放大它的一部分，只是個有點彎曲的平面，根本不是一個球，所以球就不是分形。

一棵大樹 | 圖片來源：Wikipedia

當然，在數學裡可不能這樣定義。我們說分形就是放大之後跟本身「差不多」的形狀，而這個「差不多」，就需要用數學來具體量化。如果要求放大之後形狀完全一致的話，就是最經典的分形。龍形曲線、謝爾平斯基地毯、門格海綿，就都是經典的分形。

龍形曲線 | 圖片來源：Wikipedia

謝爾平斯基地毯 | 圖片來源：Wikipedia

門格海綿 | 圖片來源：Wikipedia

當然，現實中哪有那麼多「完全一致」，所以數學家也拓展了分形的定義。某種隨機產生的形狀，只要放大之後在數學的意義上「差不多」（用術語來說，就是來自同一種概率分布），那麼這種形狀也算是分形。用這種定義的話，分形椰菜花和樹都是名正言順的分形，而海岸線、雲的邊沿、甚至股市的走勢，統統都是分形。甚至在某種意義上，拿起一張紙揉成一團，得到的也是個分形。

一團紙 | 圖片來源：Wikipedia

很多分形看起來都很奇幻。比如說龍形曲線，明明只是一根線，卻搞出了一大片實體的效果；門格海綿明明應該是三維的實體，卻看上去好像什麼都被挖乾淨了，不像是有三維的樣子。這是因為，我們平時接觸的東西，維度都是整數，但分形的維度卻可以是一個小數，處於兩個整數之間，比上不足比下有餘。所以，我們看分形，經常會覺得它由某種東西摺疊而來，但這種摺疊卻突破了維度，看起來非常酷炫。

朱利亞集 | 圖片來源：Wikipedia

很多介紹分形的文章都會說分形無處不在，這話雖然奇怪，倒是千真萬確。雖然你在日常生活中大概看不到什麼分形，但實際上你身上就自帶好幾個！大腦皮層、肺泡網路、腎臟血管，這些都是分形。

分形的好處，就是可以通過分數維度的特性，用「平面」把「立體」塞滿，最大化平面的面積。大腦皮層皺皺地摺疊在一起，大大增加了皮層可以擁有的面積，給計算能力來了一個飛躍，讓人類得到思考（和刷手機，還有發明手機讓你刷）的能力。肺作為交換氣體的場所，表面積自然也是越大越好，而分形的肺泡網路恰好能最大化血液和空氣接觸的表面積。過濾血液廢物的腎臟也是一樣。

圖片來源：《工作細胞》

經過自然演化的鬼斧神工，人體內的分形已經將「把平面塞到空間」做到了極致。我們可以用分形維度來衡量這一點。分形維度越接近3，表明空間塞得越滿。人類大腦皮層的分形維度已經到達大概2.79，肺泡網路甚至達到了2.97！多虧了它們的分形結構，我們才能活著並且思考。

但最能體現分形無處不在的，還不是我們身體內的這些器官。宇宙中的所有星系，本身就組成了一個分形。星系組成了星系團，星系團又組成了超星系團，超星系團之間互相勾連，又組成了大尺度的纖維狀結構，可以橫跨十億甚至百億光年。光從這種纖維狀結構的一端走到另一端，可能需要超過宇宙年齡十分之一的時間。但這些纖維狀結構本身，跟超星系團的結構又不無類似，組成了一個多尺度上多尺度上的分形。

宇宙的大尺度結構 | 圖片來源：Wikipedia

而「分形無處不在」，最終極的例子是我們所生活的空間本身。物理學家在嘗試統一量子力學和廣義相對論的時候，提出了不少所謂「量子引力」的模型。在二維的量子引力模型里，空間由一個個小三角形組成，而這些小三角形還會不停地隨機漲落，構成所謂的「布朗地圖」，這也是一種分形。在我們生活的四維時空中，很可能也有類似的分形結構。所以，可能我們就活在一個巨大的分形之中，那麼分形自然也就無處不在了。