這些好看的動畫片里竟然藏著許多知識點！

撰文/李青

本文選自《知識就是力量》雜誌

嗨，各位小夥伴好！

喜愛動漫的你是不是已經在期待今年有哪些好片可以看了？

今天，知力君先給大家來個小小劇透

2019年觀影日曆（動漫版）

1.《馴龍高手3》 2月22日

2.《遺失的環節》 4月19日

3.《愛寵大機密2》 6月7日

4.《玩具總動員4》 6月21日

5.《憤怒的小鳥2》 8月16日

6.《冰雪奇緣2》 11月22日

怎麼樣，是不是有點期待！

不過，上述上映時間還是美國的上映時間，

但美國都上映了，中國上映還會遠么？

接下來，是提問時間

Question1：

你還記得動畫電影《玩具總動員》里那個忠誠又機靈的牛仔伍迪嗎？

還記得《飛屋環遊記》里那個八歲的探險家小胖羅素嗎？

Question2：

和傳統二維動畫片相比，

你會不會覺得還是三維動畫的色彩更豐富，

人物形象和情景更細膩、更逼真呢？

是的！

因為這類影片是利用日新月異的計算機技術處理、加工而成的新一代動畫片。

那你知道動畫師是如何利用計算機技術製作動畫片的嗎？

那些栩栩如生的人物形象是如何設計出來的呢？

你可能沒有想過，

設計這些形象還和數學有著密不可分的關係呢！

小小動畫 巨大工程

我們在觀看動畫電影的時候往往會感嘆：「為什麼這麼短啊！」好看的動畫電影在我們看來當然是越長越好，但實際上這些「太短」的動畫電影能夠呈現在我們面前可是凝聚了製作人員大量的心血與勞動。

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傳統動畫片是怎麼誕生的？

二維畫面是平面上的畫面。用紙張、照片或計算機屏幕顯示，無論畫面的立體感有多強，終究只是在二維空間上模擬真實的三維空間效果。

我們先來簡單地了解一下像《木偶奇遇記》這類傳統動畫片是如何製作出來的。二維動畫片里的畫面看上去只有寬度和高度，動畫師根據故事腳本用鉛筆在紙上勾畫出其中的人物和故事進展，然後在叫作「透明片」的塑料紙上為這些連續的畫面著色。每一張透明片上的畫面在電影里算作一幀，要製作一部動畫片需要繪製出成千上萬張這樣的畫片。接著，在手繪的彩色背景映襯下，用特殊的照相機把所有著了色的畫片一一拍下，再用膠片把這些照片以每秒24幀的速度翻拍成電影。當然，在製作過程中還要加上對話、音效、音樂等配套工作。

《木偶奇遇記》是傳統的二維動畫片

過去製作二維動畫片是一項非常繁重的工作，現在隨著計算機性能的提高，很多製作環節已經被計算機軟體取代了，比如動畫師可以直接用電子畫板繪製畫面，用計算機軟體著色，模擬攝像機的運動和效果等。

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計算機上完成的三維動畫片

三維動畫看上去既有寬度和高度，同時也有深度，因此表現得更真實生動。製作之前首先得有一個動人的故事腳本，然後繪製出其中的人物、主要場景和故事情節，並根據人物個性設計出他們的造型。接著把故事二維化，此後關鍵，就是在計算機的三維動畫軟體中為這些人物造型設計模型。為了讓模型能做出各種自然的表情和動作，還要配上可操作的虛擬骨骼和肌肉運動工具。一切準備就緒以後，動畫師就開始根據事先編排好的故事情節，像擺弄木偶那樣操控模型的一舉一動，讓他們按照故事進展的需要說話、跳躍、奔跑等。再配上合適的虛擬燈光、背景、道具的效果和人物對話，在一個裝有數百台高性能計算機的叫作「渲染農場」的地方，完成動畫片每幀的製作以及幀的合成。後期加上修補、潤色和音效，一部動畫片就算基本完成了。

《玩具總動員3》

製作一部長約90分鐘的三維動畫電影，其投入是巨大的。20年前的《玩具總動員1》是世界上首部完全用計算機製作的動畫電影，具有里程碑的意義。當時動用了27位動畫師、22位技術指導、61位藝術家和工程師，設計了400個計算機三維模型。製作這部電影總共花了80萬個機器工時、完成了114240幀的動畫。而且渲染階段相當耗時，就當時的計算機性能而言，117台計算機全天運行，1周能渲染完成3分鐘的動畫片段，90分鐘的片子光渲染就需要花30周，7個多月的時間，而寫故事竟然花了他們3年的時間，因此，用3、4年的時間製作完成一部動畫片並不足為奇，有的甚至要花更長的時間。

牛仔伍迪是影片《玩具總動員》的主角，因此製作團隊對他的模型設計要求特別高：他身上需要控制的活動點多達723個，其中臉部有212個，僅嘴巴就有58個。整部影片的合成渲染使用了117台計算機、300個計算機處理器。他的製作簡直可以說是精益求精。

牛仔伍迪

數學概念 無處不在

在生活中，我們看得見摸得到的任何物體都有形狀，而大多數物體的形狀都是由連續圓滑的曲線和曲面組成的。藝術家和動畫師關心的是事物的形象和形狀，而計算機能懂的只有一串串數字和方程式。如何讓計算機模擬出看似簡單的圓滑曲面或者說自然立體的形狀呢？換個專業的問法就是，如何找出合理的計算機演算法生成這樣的圖像呢？這就需要先找到合理的算術、幾何、代數的運演算法則，然後將這些數學運演算法則翻譯成計算機可以操作的語言來實現。

如果你仔細觀看動畫片，可能不難覺察到，其實數學的概念無所不在。比如，《玩具總動員》里的伍迪從A點走到B點，就可以用方程式XB=XA LAB表達伍迪現在在直角坐標系裡的位置。

動畫人物伍迪在直角坐標系裡平移的呈現

如果突然看到一個人物或者道具隨著鏡頭的拉近比原先的大了，比如說大了兩倍，那就可以用方程得到變大的那個數。如果有物體旋轉，就要涉及到更為複雜的包括正弦函數和餘弦函數在內的三角函數理論，而平移、按比例縮/放、旋轉都離不開坐標幾何的應用。

真實視效 數學助力

上面曾提到，對於三維動畫片來說，要解決的關鍵問題是，如何讓人物和道具看上去像真的那樣有著自然流暢的曲線和曲面。皮克斯動畫工作室的科學家們找到了一種非常精妙的數學方法，解決了這個難題，這就是中點細分法，其中還用到了拋物線的原理。獲得完美曲線的基本思路是從一條線段開始的，先把線段從中間對分，然後再把對分過的兩段線再分別對分，按照這個規律一直分下去，找到每次對分線段的中點坐標。這一過程是可以用方程表現的。

用這個基本解析幾何原理，我們就可以把一個四邊形變成一個橢圓形。首先畫一個等邊四邊形（a），然後均分每個邊獲得8個點、8條線段（b），這時候圖形基本沒有變化。接著，把這8個點都按照順時針方向移動線段長的1/2（c）。然後均分里圈上的線段（d），得到16個點。再把這16個點按照順時針方向移動線段長的1/2，就形成了（e）比較圓滑的曲線。再細分下去就得到32個點的圖形（f），如果還不滿意，可以繼續細分到64個點的曲線。

用中點細分法不僅能生成曲線和自然形狀，而且還能生成平滑的曲面。在三維動畫計算機軟體里，這些點和線組成的網格就像虛擬的骨骼和肌肉，可以任由動畫師隨意操縱。中點細分次數越多，物體表面越圓滑自然。

動畫師可以操控點和線組成的網格

一部動畫片是否好看，不僅要看人物的臉部是否逼真，還要看他們運動時，以及周圍道具和自然景觀是否同樣具有真實感，而這些視效也必須以數學為基礎。

動畫片里用到的數學原理，有簡單的算術，也有複雜的幾何、函數、代數，甚至高等數學，如微分、積分。看完了今天的介紹，當你下次欣賞動畫片的時候，不要忘了在那些美麗動人的故事背後還有數學的功勞喲！

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