量子力學的路徑積分和退相干詮釋

轉自：演算法與數學之美

哲學園鳴謝

與相對論一出現就用顛覆靜態時空觀念給人巨大震撼不同，量子力學第一次出現時只是假設能量不連續，好像對人們並沒有什麼衝擊。但是隨著時間推移，量子力學給人們帶來的衝擊越來越大，遠遠超過了相對論，連愛因斯坦都無法接受。

物理學的精髓是做出預測，只要能給出公式做精確計算，只要能自圓其說，所有解釋就都是完全等價的。量子力學的正統詮釋是二戰前出現的哥本哈根詮釋，引入了波粒二象性、坍縮、疊加態等一系列讓人三觀崩潰的概念，路徑積分和以路徑積分為基礎的退相干詮釋出現在二戰後，這個詮釋向經典物理做了一定程度的回歸，根據這個詮釋，我們可以扔掉難以理解的波粒二象性，回到熟悉的粒子世界，粒子，也就是可以被當做質點處理的物體。當然，質量可以為零，比如光子。

01

顛覆慣性定律

按照哥本哈根正統詮釋，正如相對論中不只光具有光速一樣，在量子力學中，也不是只有光具有波粒二象性，而是所有的物體都具有波粒二象性。而路徑積分拋開波粒二象性概念的關鍵是：顛覆慣性定律。

慣性定律：在不受外力的情況下，物體要麼保持靜止，要麼保持勻速直線運動。怎麼顛覆呢？慣性定律說的都反對就行了：在不受外力的情況下，物體既不保持靜止，又不做勻速直線運動。否定容易，還得給出新結論，新結論是：在不受外力的情況下，物體做一種非常混亂的運動。不過，混亂確實夠混亂，但還是有規律的，這個規律就是波函數。完整表述：在不受外力的情況下，物體按照波函數運動。

物體按照波函數運動是什麼意思？先看典型的經典波動——水波，經典水波運動，把水的最小不可分單位當做質點處理，這些質點按照經典波動方程運動起來就形成了水波。要理解量子力學的波動，只要看看和水波之間的區別就行。

第一點區別：水波需要波源提供能量輸入，一旦停止能量輸入，波動就會逐漸停止。而量子力學裡面的波動不需要波源，不需要能量輸入，是這些質點自身的屬性。

運動的物體都有動量，也就是能量，那麼質點自身在永不停歇的波動，豈不是有源源不斷的能量？豈不是可以製造永動機了？原則上說，量子力學裡面的質點確實擁有源源不斷的能量，稱為能級。但是說到永動機，從目前的理論上來說，沒有辦法持續提取這份能量。

第二點區別：水波的邊界是明確的，局限在有限範圍內。而量子力學的波動，無論是薛定諤方程還是狄拉克方程，都沒有明確邊界，理論上充滿整個宇宙。

第三點區別：在水波運動裡面，單個質點的運動遵守牛頓力學定律，波動運動是大量按照牛頓力學運動的質點，累加後表現出來的現象。而量子力學裡面，單個質點也不遵守牛頓力學定律，也在做波動運動。給定位置，從單粒子的波函數可以解出這個位置的一個數值，這個值的含義是：質點出現在這個位置的概率。

單質點波動方程的解的意義是概率，這一點非常重要，值得花費一個小節來說明。先說一下「質點」：量子力學把基本粒子看做不佔體積的物體，也就是基本粒子可以看做質點。

02

概率、坍縮、觀測、疊加態

按照哥本哈根正統詮釋，在不被觀測時，粒子是不存在的，只有一個彌散在整個宇宙空間的波，或者有人喜歡說是場，總之是一個不能被處理成質點的東西。一旦被觀測，也就是想要獲取它的位置、動量數據，它就變成了能被處理成質點的粒子，從波或者說場變成粒子的過程叫做坍縮。當然，在物體保持波或者場的狀態時，它在空間各點的分布並不均勻，它是按照波動方程解出的概率值來分布的。等價的說法是，它的位置處於空間各點的疊加態。

物體可以從波或者說場瞬變為可以被處理成質點的粒子，而觸發條件是觀測！真玄乎啊，還是看看路徑積分詮釋吧。按照路徑積分詮釋，簡單地說，粒子始終是粒子，被觀測前，它在整個宇宙空間急速運動。整個宇宙中間極速運動？豈不是超光速了？後面再討論超光速的問題，這裡先接著說物體在整個宇宙空間急速運動，當然是按照波函數運動的，也就是物體在運動過程中，經過空間各點的次數是不同的，波動方程求出的概率，就是反映物體路過指定位置次數多少的度量。這個概率是由頻率得出來的。正統詮釋裡面玄玄乎乎的坍縮、疊加態，都用不著了。本來就是實在的質點粒子，觀測時它當然仍然是粒子形態了。

繼續說起來，就要說到測不準和不確定性的爭辯了。在繼續之前，先看看雙縫實驗，看看觀測是怎麼被牽扯進來的。

03

雙縫實驗

很多文章對雙縫實驗說得令人費解，是因為沒有從單縫說起。雙縫實驗最初是用光做的，後來改用有質量的粒子做，首先用的是電子，之後發展到各種各樣的粒子，甚至用了質量、體積都很大的分子，都能得出同樣的實驗結果。這裡用電子來描述，如圖所示，經典物體過單縫，波會衍射，粒子走直線，表現截然不同：

根據經典波動和經典粒子過單縫的表現來預測，如果電子是波，那麼在單縫後面的檢測板上應該檢測到明暗相間的條紋。如果電子是粒子，檢測板上應該檢測到一條亮帶，中間最亮，向兩邊逐漸變暗，直到消失。實驗檢測到的電子過單縫是什麼表現呢？一條亮帶，是經典粒子的表現。

經典物體過雙縫仍然有截然不同的表現：

根據經典波動和經典粒子過雙縫的表現來預測，跟單縫類似，如果電子是波，那麼檢測板上應該檢測到明暗相間的條紋。如果電子是粒子，那麼檢測板上應該檢測到兩條亮帶，中間最亮，向兩邊逐漸變暗，直到消失。實驗檢測到的電子過雙縫是什麼表現呢？是明暗相間的條紋，這是經典波動的表現。

這就是波粒二象性的來源：電子過單縫表現為粒子，過雙縫表現為波。隨後有人設計改進雙縫實驗，在雙縫後安裝檢測裝置，想看看電子究竟走的哪條路徑，得到了如圖所示的實驗結果：

雙縫後的檢測裝置被設計為電子必須走直線才能被檢測到，之前的實驗結果已經清楚地表明電子過雙縫應該發生衍射，那麼電子應該可以繞過檢測裝置，檢測板上仍然應該出現干涉條紋，當然會發生一點變化。然而這次的實驗結果是，檢測裝置可以檢測到所有電子，而看不到干涉條紋！檢測裝置安裝在縫隙後面，電子到達檢測裝置時已經通過了雙縫，按理說不影響電子的行為，也就是電子應該仍然表現為波，先衍射再干涉。然而事實卻是檢測裝置居然影響到了電子。這就是哥本哈根正統詮釋引入「觀測」這個概念的原因。由於做了觀測，波坍縮為粒子了。

04

測不準和不確定性

不確定性原理，有人喜歡說是測不準原理，連有些教材都說成是測不準原理。兩者的區別很清楚，不確定性是說在測量前，不存在確定的粒子動量、位置。測不準原理是說在測量前粒子的動量、位置是確定的，只是沒辦法測量出來。很明顯，測不準更符合經典物理。那麼究竟是不確定還是測不準呢？

以電子雙縫實驗為例，根據哥本哈根正統詮釋，在被觀測前，沒發生坍縮的時候，電子保持波的狀態，這種狀態連粒子都不存在，遑論確定的粒子位置和動量，所以是不確定，不是測不準。只有在遇到檢測裝置的時候，波才坍縮為粒子，生成位置和動量這兩個信息。

再來看路徑積分詮釋。在路徑積分詮釋裡面，粒子始終是粒子，但是由於粒子在按照波函數永不停歇地運動，我們只能得到粒子出現在各個位置的概率，不能百分百得出粒子下一刻將會運動到哪裡，也就沒辦法得到物體精確的運動速度，更無從談起動量了。為什麼加裝檢測裝置後，電子就走直線了呢？因為根據波函數計算，電子進入檢測裝置這個概率接近一。這個描述，看起來似乎更像是測不準，而不是不確定。

用猜骰子來舉例，用扣碗把量子態的骰子扣到桌子上讓你猜點數。根據正統詮釋，在你打開扣碗看到骰子的點數之前，骰子並不是一個實在的骰子，而是一個波。連骰子都不存在，當然談不上點數了。只有在你看到骰子的一瞬間，骰子才變成骰子，顯示出它的點數。

根據路徑積分詮釋，骰子還是骰子，只不過這個骰子在按照波函數急速運動，急速運動中的骰子自然是沒有確定的點數的，觀測相當於給骰子拍一個快照，可以得到骰子在觀測瞬間的點數。從這例子來說，骰子在每個瞬間都是有確定的點數的，只是測不準。

不過，還有個骰子例子沒辦法體現出來的重要的一點，粒子的位置和動量這兩個信息之間是不對易的，沒辦法在同時得出精確結果。大概可以理解為獲取粒子位置和動量總有個先後順序，每一個獲取動作都會改變這個粒子的狀態，所以先獲取位置還是先獲取動量，得到的兩個信息是不一樣的。這個不對易關係是哥本哈根正統詮釋和路徑積分詮釋的共同點。這一層意思，嗯還是更像測不準，不像不確定。好，繼續看下一節。

05

從薛定諤方程到狄拉克方程

波函數經歷了從薛定諤方程到狄拉克方程的發展過程，這兩個方程的區別是狄拉克方程引入了洛倫茲變換，這一點區別決定了薛定諤方程是非相對論的，或者說不含時的，而狄拉克方程是相對論的，或者說是含時的。什麼叫含時？就是包含了時間這個因素，薛定諤方程是基於三維空間，狄拉克方程基於四維時空。

包含了時間，或者說引入相對論，就又可以引出一些新結論了。前面說到，粒子波動運動的範圍是整個宇宙，換句話說，甚至有概率瞬間跨越上百億光年，嚴重超光速啊！相對論的公式都是基於有質量物體無法達到光速得出來的，現在這些粒子超光速了，代入相對論的公式能得到什麼結果呢？通常的結果是：時間、空間變成了虛數。也有物理學家加入一些其他條件，可以藉助超光速得出負數時空。虛數、負數的時空，代表了什麼物理含義？

基本粒子的距離可以無限小，使得粒子相互間的作用力無窮大。其中電磁力、強力和弱力的無窮大可以通過重整化技巧消除掉，但是引力卻是特殊的，引力來自時空彎曲，而重整化要求平直時空，所以無法用重整化技巧消除掉引力的無窮大。超弦理論通過引入高維空間解決了這個問題，不過由於超弦理論迄今還沒有被實驗證實，我們這裡先不管超弦，仍然在量子力學的範圍內討論：無窮大的引力會引起什麼？把無窮大的引力代入廣義相對論方程，得到了跟超光速一樣的東西：虛數和負數的時空，它們的物理含義被解釋為黑洞、蟲洞、時間倒流等。基本粒子製造的黑洞蟲洞，當然是跟基本粒子量級的微型黑洞、蟲洞，只允許基本粒子通過，只有基本粒子的時間能倒流。

回頭看看粒子超光速引起的虛數和負數時空，既然都是虛數和負數時空，那應該是一樣的物理含義，也就是黑洞、蟲洞、時間倒流。其實這些東西歸根結底都是同一個效果：使基本粒子能在時空中跳躍。好我們就拋開這些中間概念，直接說引入相對論後，基本粒子獲得了時空跳躍能力。

費曼是這樣用時間倒流來解釋反粒子的：以電子和正電子相遇後湮滅並釋放出一個光子這個現象為例，費曼認為這正負兩個電子其實是同一個電子，這個電子釋放出光子，然後變成正電子，再逆著時間往回運動，從我們正常的時序看起來就感覺是正負兩個電子發生了湮滅。

量子漲落、量子隧穿也可以用時空跳躍來解釋。量子漲落是說，在一無所有的真空中，可以憑空出現基本粒子，很快又消失，復歸於一無所有。量子隧穿是說，在粒子旁邊設置一個叫做勢壘的障礙，直觀理解的話可以當做一堵牆，本來以粒子的能量打不破這堵牆，但是實際發現粒子居然有時候可以穿過勢壘。這兩個現象都是從不確定性原理直接推導出來的，但是物理含義呢？一種解釋是從宇宙中臨時借到了能量。量子漲落是用借到的能量生成粒子，粒子瞬間又變回能量還給宇宙。量子隧穿是用借到的能量提升了粒子能級，穿過勢壘後再降低能級，釋放能量還給宇宙。

從宇宙中借能量？說得好像宇宙中有一個能量管理機構一樣，太玄乎了。如果把時空跳躍引入，解釋起來就自然多了：量子漲落是粒子跳躍到了真空中，瞬間又跳了回去。量子隧穿更簡單，粒子跳過了勢壘。

用時空跳躍也可以很自然地解釋量子糾纏。一對處於糾纏態的粒子，它們的波函數是互相關聯的，比如兩個粒子的自旋方向相反，不論把它們分開多遠，哪怕距離以光年計，只要觀測到了其中一個粒子的狀態，比如觀測到是上旋，那麼另一個就會立即變成下旋狀態。根據哥本哈根正統詮釋，在觀測前，這一對糾纏態粒子是一個整體，可以認為是一個擁有兩份粒子能量的波，哪怕相隔光年級的距離，它也是只有一個波，當然也就只能坍縮一次，一次坍縮為兩個粒子。

如果換成用時空跳躍來解釋，那就是這兩個粒子一直在進行時空跳躍，互相跳到對方的時空，所以看起來距離以光年計，實際上在同一處，所以它們的運動狀態一直關聯在一起。

當粒子可以進行時空跳躍，能夠在整個宇宙空間，過去未來隨意穿行，還能說它具有確定的位置和動量嗎？

06

重新認識「力」：顛覆加速度定律和反作用力定律

加速度定律和反作用力定律是牛頓第二和第三定律，加速度定律是說物體受到外力後會沿著力的方向產生一個加速度。反作用力定律是說給物體施加一個力，施力物體會受到大小相等方向相反的力。

加速度定律和反作用力定律的共同點是，都在描述「力」。那麼，「力」是什麼東西？按照牛頓的定義，力是物體間的相互作用。怎麼判斷物體受力了呢？這要通過物體運動狀態的改變來判斷。也就是說，質量、運動狀態是基礎定義，力是建立在基礎定義上的派生定義。

在量子力學創立的時代，物體間的相互作用只有兩種，一種是引力，另一種是電磁力，後來在轟開原子核得到的粒子上面又發現了強力和弱力。宏觀上，除引力之外的力，比如人去推或拉一個物體，物體之間的碰撞，等等，都是電磁力。相對論用時空彎曲完美解釋了引力的成因，引力符合加速度定律和反作用力定律。但是電磁力、強力和弱力就不同了，這三種力的成因都是交換信使粒子。以最先發現的電磁力為例，電磁力是帶電粒子通過交換光子產生的。

通過交換信使粒子產生的這三種力就不符合加速度定律和反作用力定律了。還是以電磁力為例，給電子施加電磁力，也就是電子釋放或吸收光子後，它運動狀態的改變是修改波函數的一些參數，參數變動後的運動軌跡仍然要用波函數來描述。與其說是運動狀態改變了，更準確的說法是動量改變了，換個說法是：能級躍遷。那麼，這個電磁力的施力者情況怎麼樣呢？電磁力施力者，同樣是釋放或者吸收光子，當然也就產生了同樣的能級躍遷。強力、弱力也都是類似情況，數學上說是波函數參數變化，物理上說是產生了能級躍遷。

需要特別指出的是，這裡說的「同樣的能級躍遷」，指的是施力和受力的粒子都產生了能級躍遷，並不是說它們的狀態變化完全一樣。其實，這裡也不存在經典意義上的「施力者」「受力者」。歸根到底，之所以加速度定律和反作用力定律不再使用，如果按照路徑積分詮釋，那麼本質原因還是因為粒子在永不停歇地按照波函數高速運動，這種複雜的運動無法進行簡單的速度合成，也無法簡單計算反作用力，只能描述整體運動狀態。如果按照哥本哈根正統詮釋，那麼本質原因是因為不存在能夠被簡化為質點的粒子。

這段描述是針對單個粒子的。對於多粒子系統怎麼處理呢？只能一個個計算。隨著粒子數量增加，計算量也會急劇增加，很快計算機都算不出來了。不過好在，粒子數目足夠多的時候就會變成宏觀物體，可以用牛頓力學來計算了。微觀和宏觀之間當然不存在明確的界限。這個從微觀量子力學計算得到宏觀結論的過程，就要用以路徑積分為基礎的退相干來解釋了。

07

退相干詮釋薛定諤的貓

薛定諤的貓可能是量子力學裡面最為大眾熟知的名詞了。一隻貓待在一個黑箱子里，黑箱子里有個毒氣開關，這個毒氣開關由一個放射性原子控制。如果原子核衰變則放出毒氣毒死貓，如果原子核不衰變則不釋放毒氣，貓就可以活著。在打開箱子觀測前，貓是死還是活？

原子核衰變是由於原子核內部粒子的運動和相互作用，引起粒子從原子核內跑到外面的過程。而原子核內部粒子的運動用波函數描述，這是一個典型的量子事件，只能得到概率，不能得出確定的結果。根據哥本哈根正統詮釋，在觀測前，原子核的狀態處於衰變和不衰變的疊加態。那麼由此導致，貓也處於死和活的疊加態。

死活疊加態的貓？這正是薛定諤貓的驚世駭俗之處，它連通了微觀和宏觀。人們對微觀世界沒有直觀體驗，還可以接受波函數、疊加態這些概念描述。但是宏觀世界是可以直觀感受的，從來沒人感受到過波函數、疊加態這樣的東西，處於生死疊加態的貓就實在太難以想像了，所以薛定諤本人認為死活疊加態的貓是謬論，進而他認為微觀粒子的疊加態也是謬論。

基於路徑積分的退相干詮釋，讓我們可以平穩地從量子態的微觀粒子過渡到經典的宏觀物體。退相干詮釋認為，如果只有單個原子核，粒子留在原子核內部，或者跑到原子核外面的概率由波函數解出，其中跑出來的粒子有可能再跑回去，也有可能再跑出來，總之粒子各種運動路徑都是有可能的，我們能得到的只有最終的概率。但是現在跑出來的粒子要跟毒氣開關發生相互作用，毒氣開關要跟毒氣相互作用，進而再把跟貓牽扯進來，這些東西都包含巨量的粒子，他們已經變成了一個整體系統，必須把這巨量粒子的波函數和他們之間的相互作用全部拉進來，得出一個統一的波函數，這個最終的波函數，就退化成了經典物理的確定值。退相干詮釋的核心要點是，宏觀世界的經典物理規律，可以從微觀粒子按照量子力學規律計算得到，他們是等價的。而薛定諤的貓，由於粒子數目已經足夠多，完全是個宏觀系統了，所以在打開箱子觀測前，它是死是活都是確定的，不存在處於生死疊加態的貓。

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