從 112出發

作者 | 沈雷東

112？有沒有弄錯？讀者朋友可能要問。沒錯，我們就要從這兒出發，悄悄地進入奇妙的數學王國漫遊，來到蔥鬱的百草園擷趣。你可以遇見奇異的角色、不同的對象，邂逅「貪食蛇」，窺探「金角大王」，觀察「兔子家族」，動手搭建「金字塔」，仰望「星空」，說不定你還會有什麼發現呢？

1

數

人之初，咿呀學語，認字識數。我們識數是從「1」開始的。一個指頭、一個人、一棵樹、一朵花兒、一隻小狗兒、一間房子、一顆星星等等，給了我們數字「1」的概念。《道德經》上說，道生一，一生二，二生三，三生萬物。從 「1」開始我們認識了10以內的數字以及個、十、百、千、萬、億等基數，以至於無窮。

上小學時，我們學會了「＋、－、×、÷」四則運算和乘方、開方等運算。做乘法算術題，兩位數乘法就有點煩瑣。可是當遇到一個乘數是11時，我們難得喘口粗氣；因為無論被乘數多大，只要乘數是11，乘法就變成了加法——列乘法豎式時，先在豎式橫杠下面照寫一遍被乘數，然後在下一行把被乘數的數字逐位向左移一位，最後把這兩行數字相加即可。

有例為證：

這是連機器也會做的算術題。可不是嗎？電子計算機就是這樣運算的。不僅如此，而且它運算的是二進位數字，它用「開」、「關」兩種電路狀態分別表示 「0」、「1」數字。

如果被乘數也是11，那麼我們簡直樂開了花！

再來一個，複雜一點：

再算一個：

1112=111×111怎麼樣呢?

看呢！數字排成了隊，首尾對稱！這裡蘊藏著什麼規律嗎？

我們來尋找11的自然數次乘冪，即11? 的各位數字之間的關係。把這些數字排列、堆疊成一座積木，會怎麼樣呢？

可以看出圖（1-1）的第0（我們不妨假設頂點為第0層）至4層數字依次對應11的0至4次乘冪，而且數字積木每一層中間的數字都是它左、右肩上兩個數字之和（如果從第1層起，把首（尾）位的「1」的在積木外面的左（右）肩數字視為 「0」，那麼首（尾）位數字也符合這個規律），好像「貪食蛇」，一口吞併前頭的兩個數字到腹中，又各生長出新的「頭」、「尾」。如第4層數字為：1 4 6 4 1，其中4=1 3,6=3 3，均為其左、右肩上兩個數字之和 。

第5層呢？第5層對應11的5次乘冪，我們用豎式計算如下：

（1-6）式中相加時，百位和千位的上、下數字之和大於或等於10，超過了1位十進位數字，我們把超過1位數字的和仍然寫在本位上，這不影響11的乘冪結果，卻為我們考察多項式乘方展開式的係數的規律帶來了方便。

為了保持不同數字位的間隔，我們索性把11變成1 i（其中i為字母），於是求解二項式乘方展開式係數，也可以用求解 (1 i)? 展開式的辦法。

2

式

用字母代表數，如用a、b、c等代表數字，施以四則運算、乘方、開方等，我們有單項式（如a、ab等）、多項式（如a b， a b c等）。

又由加法、乘法的運算律：

這些臨時已足夠，我們對二項式乘方(a b)?展開。為了便於觀察，我們列出豎式：

又有

對比可以看出本節中的多項式相乘豎式與第一節中的多位數相乘豎式本質上是一致的：我們把按字母a的降冪排列的多項式的係數單獨拿出來排成一行，如a b的係數排列為

1 1

然後把它整體左移一位（這裡的位，表示字母a的冪次），按位與原數字相加，如（1-2）式，得

1 2 1

以此類推，即得二項式n次乘方展開式的各項係數，與第一節中的數字積木（圖（1-1））相應層的數字一致。

現在我們用組合的觀點觀察二項式乘方展開式的各項：

先看 (a b)2 的展開式，它由3個二次項相加，這3個二次項按照字母a的降冪（a的冪指數分別為2、1、0，同時是字母b的升冪）排列，即為

a2 ab b2

而二次項的係數是多少呢？

考察(a b)2=(a b)(a b)，它的展開式的每一項是從2個二項式因式中分別取出1個字母，然後相乘得到的。如a2項的係數為1，只有1種取法：從2個二項式因式中取出2個因式(有1種取法)，同時從每一個二項式因式a b中都取出1項a(只有1種取法)。ab項的係數為2，有2種取法：從2個二項式因式中取出1個因式(有2種取法)，同時從這個因式中取出1項a(只有1種取法)，而且從另一個因式中取出1項b(只有1種取法)。同理，b2項的係數為1，只有1種取法。

一般地，我們有

稱為二項式定理，其中為從n件物品中取出k件物品的組合數：

式中n!=1×2×3×…×n，為n的階乘。

滿足楊輝恆等式：

表示(a b)?的展開式中含ak的單項式（即akbn-k）共有個，即從n個因式（a b）中選取k個因式相乘，完成這件事情有兩條途徑：一是這k個因式包含n個因式中某個特定因式，再是這k個因式不包含該特定因式。第一種途徑由於已經有1個因式，只要從其餘n-1個因式中選取k-1個即可（有種取法），第二種途徑是從不包含該特定因式的其餘n-1個因式中選取k個（有種取法）。

我們按照n、k角標對的數值進行排列（令，n=0,1,2,…；k=0,1,2,…,n），即得

呈三角形，即第一節中的數字積木（圖（1-1）），稱為楊輝三角。它可稱得上數學王國的「金角大王」，它見首不見尾，常常只露出一面，內部陰藏著多少秘密呢？

離開二項式乘方，我們進一步考察多項式乘方的情形。最簡單的三項式乘方 (a b c)? 的展開式是什麼？它的展開式的係數又是怎樣的呢？

讀者可以動手動筆驗算、描畫，悄悄窺探它的「芳姿」。

3

列

現在我們用「x光」對楊輝三角進行透視。在楊輝三角中，左腰上的數字為

1 1 1 1 1 ……

為常數列；

鄰近左腰的第一條平行線上的數字為

1 2 3 4 5 ……

即自然數列，為等差數列；

而底邊及其平行線即每一行上的數字之和依次為（請思考為什麼？）

1 2 4 … 2? …

為等比數列，描述生物界的細胞分裂等；

現在把「x光」的入射角度調到左腰與底邊夾角的一半，入射線及其平行線上的數字之和依次為

1 1 2 3 5 8……

即為斐波那契數列 。

在第一節中，我們看到「貪食蛇」數字串中後面的數字是它前面相鄰的兩個數字之和，斐波那契數列就是這種數字串首尾相連，它的遞推關係式為

形象地用兔子家族的繁衍來描述斐波那契數列：假設頭一個月有一對小兔子，隔1個月發育成年，以後每一個月生下一對小兔子，如此繁殖下去，每個月的兔子對數即為斐波那契數列。反過來，斐波那契數列為諸如生物繁衍的數學模型；顯然，它未考慮生物的衰老、死亡等因素。

最初1對小兔子，隔1個月後又生下1對小兔子，我們用「」表示繁殖（或複製）趨向，作數字流圖如下：

本位保留「1」，並複製一份，加到右邊一位「0」上：

保留原位的「1」、「1」，並分別複製一份，加到右邊一位「1」、「0」上（也可以把「1 1」作為一個整體，右移1位，與原數字相加）：

保留原位的「1」、「2」、「1」，並分別複製一份，依次加到右邊一位「2」、「1」、「0」上（也可以把「1 2 1」作為一個整體，右移1位，與原數字相加）：

以此類推。

通過簡單的操作（複製、移位、相加），我們得到了二項式定理展開式的係數。

在圖（3-5）中，我們用豎線（|）標誌原有的兔子，用橫線（—）標誌新生的兔子。頭一個月有1對小兔子（F1），經歷1個月即在第二個月仍然為1對兔子（F2），不過現在是1對成年的兔子了，第三個月時它們生下了1對小兔子，即現在有2對兔子了（F3）。余此類推。

為便於進一步分析，我們假設兔子一個月為一歲，圖（3-5）中豎線（列）為兔子的代際，即第一代、第二代、第三代等等的兔子，而虛斜線為兔子的生長月份，各月份F1、F2、F3等前面的數字之和，表示本月份兔子對數，即得到斐波那契數列，而各行F1、F2、F3等前面的數字排列即為楊輝三角。讀者朋友，你知道圖中的橫線（行）代表兔子家族的什麼倫理關係呢？第4月斜線與第2代豎線交叉點的2 F4表示什麼呢？

怎樣推導斐波那契數列的通項呢？這基本上用到初等數學的知識，你通過獨立思考，加上猜測、驗證，是能夠做出了的。讀者朋友，不妨試試。這裡只寫出答案：

4

陣

在二項式定理的展開式中，我們把二元n次項按照字母a的降冪（a的冪指數分別為n、n-1、……、1、0,同時是字母b的升冪）排列稱為二元n次項陣，如

其中T表示矩陣轉置，即矩陣行列互換。

我們把楊輝三角的第n層數字構成的矩陣稱為二元n次項係數陣，為一維的線陣，行陣，記為Y?。

n=2,3的情形為

如果再把(a b)? 記為X?，省去角標，那麼二項式定理可以簡化為矩陣形式:

三項式定理的矩陣形式是怎樣的呢？

n=0,1,2,3的情形為

考慮到計算三項式乘方時，展開式中的三元n次項包含二元n次項（即可以只取a、b、c中的2個字母），三元n次項係數陣的排列包含二元n次項係數陣的排列即楊輝三角，更進一步，就是三項式乘方(a b c)?展開式的三元n次項係數陣的排列包含二項式乘方(a b)?、(b c)?、(c a)?展開式的二元n次項係數陣的排列即3個楊輝三角，它們同一個頂點，第n行底邊相連，如圖（4-1）所示：

一座立體的數字「金字塔」突兀面前,讓我們近前仔細觀瞧：它的形狀呈三角錐體，由同一頂點的三個側面組成，每一個側面都是楊輝三角，每一層底面也是一個三角。它是楊輝三角在三維情形下的推廣。

我們繼續考察每一層底面的情況，即研究三項式定理展開式是什麼？

類似地，我們把三元n次項按照字母a的降冪（從上到下a的降冪同時是字母b的升冪，從左到右 b的降冪同時是c的升冪）排列稱為三元n次項陣。為了便於觀察，我們按照楊輝三角的形式進行排列，三角陣內元素的排列順序為：從左到右按照列、列內從上到下。它不同於一般的矩陣，實質上是一維的列陣，如

三元1次項陣

三元2次項陣

三元3次項陣

三元n次項陣

三元n次項係數陣是怎樣的呢？

三元1次項陣

三元2次項係數陣

三元3次項係數陣

三元n次項係數陣是由三元n-1次項係數陣經過複製，然後分別向右和向下移動1位，再與原係數陣相加得到。按照第二節中的方法，三元2次項係數陣生成三元3次項係數陣的數字流圖為：

三元n次項係數陣

排列成三角形,它兩條腰上的數字為

它的第k條底邊上的數字以為最大公約數，提取後與楊輝三角相同位置的數字相等，即三元n次項係數陣在它的每條底邊上的數字互素化後為楊輝三角，我們稱之為加權楊輝三角。可見，楊輝三角為多項式定理的「基因」。

三元n次項係數陣內元素的排列順序為：從上到下按照行、行內從左到右，它實質上是一維的行陣。三元n次項陣及其係數陣內元素的順序也可以是沿著三角形的周邊按照逆時針或順時針順序，由外到內。這源於該三角陣的對稱性。

通過以上分析，容易推出

稱為三項式定理。其中三元n次項的係數為從n件物品中取出3堆（分別為n-k、k-l、件）物品的組合數，即有

容易證明

類似地，三項式定理也可以簡化為矩陣形式，如式（4-3）。

5

空間

我們考察多項式乘方中一元的情況，即單項式

形成單項式序列，a?（a≠0,n=0,1,2, ……）表徵序列不同的點位（坐標），把該序列看作由a?生成的位置空間，為一維的離散點空間，點的位置可以用坐標n表示；如生命基礎的細胞分裂，形成一維的離散點空間。單項式的係數序列為

1 1 1 1 ……

表示在每一個點取值為1，形成由離散點組成的線，也成為表示二元n次項係數陣列的楊輝三角的腰或者表示三元n次項係數陣列的「金字塔」的棱。

如果取a=2，由2?生成的位置空間構成二進位數系；或者取a=10，由10?生成的位置空間構成十進位數系。我們又回到第一節的數。

我們把二元n次項陣

（n=0，1,2, ……）排列為

用位置(坐標)空間的觀點來觀察：二元n次項表徵不同的點位（坐標），二元n次項陣的排列可以看作一種矢量，張成二維的離散的位置空間，我們稱為二元n次項星空；如果把二元n次項係數看作該位置空間中不同點位（坐標）上的取值，那麼楊輝三角可以看作二維的離散的賦值位置空間，稱之為二元n次項星系。

二元n次項的係數的坐標為（n,k）,記為

如在圖（2-1）中,第2行第1列（我們把左腰視為第0列，其鄰近第一條平行線視為第1列，以此類推）的數字「2」即：

相應地，楊輝恆等式化為

同樣地，我們用三元n次項表徵不同的點位（坐標），三元n次項陣列也張成三維的離散的位置空間，我們稱為三元n次項星空；作為三元n次項係數陣列的「金字塔」可以看作三維的賦值位置空間，為離散點構成的三角錐體，稱之為三元n次項星系。

如第二節中，通過實際豎式驗算，我們看到，多項式乘法轉化為移位、相加等步驟。在多元n次項位置空間中，某個多元n次項陣乘以一個字母（如a）,等價於該陣按該字母升冪方向移動一位，變為多元n 1次項陣。

三元n次項係數在三角錐體位置空間中坐標為（n,k,l）,記為Y（n,k,l）。即有

由式（4-10），三元n次項係數滿足如下遞推關係式：

式（5-5）表明：三項式定理展開式的係數組成的數字三角塔第n層、（第n層加權楊輝三角）第k行、第l列數值（)，等於它頂上第n-1層、（第n-1層加權楊輝三角）第k行、第列數值（)及其在第n-1層加權楊輝三角中兩肩上（第k-1行、第l-1列和第k-1行、第l列）的數值（和）之和。

親愛的讀者朋友，我們本次的旅行就到這兒了，你有何感觸呢？神奇的數學王國像迷宮一樣等待著你去探究。

參考文獻：

1.華羅庚《從楊輝三角談起》

2.陳希孺《概率論與數理統計》

好玩的數學

微信號：mathfun

好玩的數學以數學學習為主題，以傳播數學文化為己任，以激發學習者學習數學的興趣為目標，分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等，為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！